球座標を用いた変数分離 の履歴(No.3)

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量子力学Ⅰ

極座標†

&math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} );

微分の変換†

f が f(r,\theta,\phi) のように球座標で表示されているとする。

x が微小量 dx だけ変化した際、 それに伴って r,\theta,\phi がそれぞれ dr,d\theta,d\phi だけ変化し、 その結果、 f が df だけ変化したとする。

このとき、

　 df=\frac{\PD f}{\PD r}dr+\frac{\PD f}{\PD \theta}d\theta+\frac{\PD f}{\PD \phi}d\phi

に、 dr=\frac{\PD r}{\PD x}dx,\ d\theta=\frac{\PD \theta}{\PD x}dx,\ d\phi=\frac{\PD \phi}{\PD x}dx を代入すれば、

　 df=\frac{\PD f}{\PD r}\frac{\PD r}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \theta}\frac{\PD \theta}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \phi}\frac{\PD \phi}{\PD x}dx

一方、 df=\frac{\PD f}{\PD x}dx であるから、

　 \frac{\PD }{\PD x}f=\Big(\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\Big)f

したがって、

　&math(\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ );

同様にして、

　&math( \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD y}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD z}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ \end{cases} );

のように変換される。

演習：偏微分の計算†

以下、全微分の時と異なり \frac{\PD r}{\PD x}\ne\Big(\frac{\PD x}{\PD r}\Big)^{-1} であることに注意せよ。

(1) r^2=x^2+y^2+z^2 の関係を用いて、 \frac{\PD r}{\PD x},\frac{\PD r}{\PD y},\frac{\PD r}{\PD z} を r,\theta,\phi で書き表せ。

(2) \tan^2\theta=\frac{x^2+y^2}{z^2} の関係を用いて、 \frac{\PD \theta}{\PD x},\frac{\PD \theta}{\PD y},\frac{\PD \theta}{\PD z} を r,\theta,\phi で書き表せ。

(3) \tan\phi=\frac{y}{x} の関係を用いて、 \frac{\PD \phi}{\PD x},\frac{\PD \phi}{\PD y},\frac{\PD \phi}{\PD z} を r,\theta,\phi で書き表せ。

上記結果を代入すれば、

　&math( \begin{cases}

\displaystyle\frac{\PD}{\PD x}= \sin\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD r}

  1. \frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
  • \frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle\frac{\PD}{\PD y}= \sin\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD r}

  1. \frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
  2. \frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle \frac{\PD}{\PD z}= \cos\theta \frac{\PD}{\PD r}

  • \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\\[4mm]

\end{cases} );

球座標表示のラプラシアン†

　 \triangle=\nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD y^2}+\frac{\PD^2}{\PD z^2}

に上記を代入するだけ！　・・・　実際やってみるとえらい大変。→ 計算の詳細

結果だけまとめると、

　 \nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r} \frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda

ただし、

　&math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

球座標の角運動量演算子†

単に代入すればよいのだけれど、これも計算は大変 → 詳細はこちら

&math( \begin{cases} \displaystyle \hat l_x=-i\hbar\Big(y\frac{\PD}{\PD z}-z\frac{\PD}{\PD y}\Big) =i\hbar\Big(\sin\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_y=-i\hbar\Big(z\frac{\PD}{\PD x}-x\frac{\PD}{\PD z}\Big) =i\hbar\Big(-\cos\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_z=-i\hbar\Big(x\frac{\PD}{\PD y}-y\frac{\PD}{\PD x}\Big) =-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} \end{cases} );

全角運動量は、

　&math( \hat{\bm l}^2&=\hat l_x^2+\hat l_y^2+\hat l_z^2 =-\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\PD}{\PD\theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD\theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\PD^2}{\PD\phi^2}\Big] =-\hbar^2\hat\Lambda );

となって、ラプラシアンの 1/r^2 の項の係数は全角運動量を表わす演算子から -\hbar^2 の係数を取っただけの物であることが分かる。

極座標で表わしたシュレーディンガー方程式†

　&math( \Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\Big)+V(r)\Big]\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi) );

変数を分離する†

\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi) と置けば、

　&math( &\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\Big)\varphi(r,\theta,\phi)+\Big(\varepsilon-V(r)\Big)\varphi(r,\theta,\phi)=0\\);

　&math( &\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\);

　&math( &\frac{\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}\\ );

左辺は r のみの関数、右辺は \theta,\phi のみの関数であるから定数である。 その定数を後を見越して l(l+1) と置いておく。すなわち、

　&math( &\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1) R(r)\\);

　&math( &-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}-\frac{l(l+1)}{r^2}+V(r)\Big)R(r)=\varepsilon R(r)\\ );

　&math( \hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0 );

のように、動径方向の方程式と回転方向の方程式に分離された。

回転方向の方程式には V(r) が含まれないため、 具体的なポテンシャルの形状に依らず解くことができる。

球関数 $Y^m_l(\theta,\phi)$：角運動量の固有関数†

回転方向の方程式に -\hbar^2 を掛けると、 \hat{\bm l^2}=-\hbar^2\hat\Lambda であるから、

　&math(

  • \hbar^2\hat\Lambda Y(\theta,\phi)=\hat{\bm l^2}Y(\theta,\phi)=\underbrace{\hbar^2l(l+1)}_{固有値}Y(\theta,\phi) );

となって、全角運動量の固有値問題になっていることが分かる。

具体的に方程式を書き下せば、

　&math( \Big[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Big]Y(\theta,\phi)=-l(l+1)Y(\theta,\phi) );

これをさらに変数分離するため、 Y(\theta,\phi)=\Theta(\theta)\Phi(\phi) を代入すれば、

　&math( &\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Big]Y(\theta,\phi)=-l(l+1)\sin^2\theta Y(\theta,\phi)\\ );

　&math( &\frac{1}{\Theta(\theta)}\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1)\sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)\\ );

共通の定数を後を見越して m^2 と置くと、

　 \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)=-m^2\Phi(\phi)

より、

　 \Phi(\phi)\propto e^{im\phi}

一方、

　&math(\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1) \sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=m^2\Theta(\theta));

は、 l,m が

　 l=0,1,2,3,\dots

　 m=-l,-(l-1),\dots,-1,0,1,\dots,l-1,l

の範囲の整数になるときのみ解を持ち、その固有関数はルジャンドルの陪関数と呼ばれている。

　 P_l^{|m|}(\zeta)=(1-\zeta^2)^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d\zeta^{|m|}}P_l(\zeta)

ただし、 P_l(\zeta) はルジャンドルの多項式で、

　 P_l(\zeta)=\frac{1}{\,2^l\,l!\,}\,\frac{d^l}{\,d\zeta^l\,}(\zeta^2-1)^l

によって与えられる。これらを用いれば、規格直交完全な固有関数を

　 Y_l^m(\theta,\phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos\theta)e^{im\phi}

と表せる。この関数は 球面調和関数 と呼ばれる。

Y_0^0=\frac{1}{2 \sqrt{\pi }}

Y_1^0=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi }} \cos (\theta )

Y_1^1=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta )

Y_2^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{\pi }} \left(3 \cos ^2(\theta )-1\right)

Y_2^1=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta )

Y_2^2=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta )

Y_3^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{7}{\pi }} \left(5 \cos ^3(\theta )-3 \cos (\theta )\right)

Y_3^1=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right)

Y_3^2=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )

Y_3^3=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{3 i \phi } \sin ^3(\theta )

・・・

性質†

  • (m-|m|)/2=\begin{cases}0&m>=0\\m&m<0\end{cases} より、 &math((-1)^{(m-|m|)/2}=\begin{cases}
  1. 1\hspace{0.5cm}&m>0\ または\ m\,が偶数\\
  • 1&m<0\ かつ\ m\,が奇数 \end{cases});
  • \sin\theta と \cos\theta の l 次同次関数になっている ( 3\cos^2\theta-1=2\cos^2\theta-\sin^2\theta などとなることに注意せよ)
  • \hat{\bm l^2}Y_l^m=-\hbar^2l(l+1) すなわち、全角運動量は -\hbar^2l(l+1) である
  • \hat l_zY_l^m=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi}Y_l^m=\hbar mY_l^m すなわち、 z 軸周りの角運動量は \hbar m である

形状†

\theta,\phi 方向別に |Y_l^m(\theta,\phi)|^2 の大きさをプロットした。

  • \phi 方向は位相が回転するだけで大きさは変化しない
  • Y_l^m と Y_l^{-m} は位相のみが異なり、同じ形になる
  • Y_0^0 は球形
  • Y_l^0 ( l>0 )は原点に節を持ち z 方向に長く、 原点周りに l-1 枚のひだを持つ。 l が大きいほど z 方向への伸びが長くなる。
  • Y_l^m ( |m|>0 ) は z 方向には値を持たず、 z 軸を取り囲むように l+1-|m| 枚のひだを持つ。
  • Y_l^l はドーナツ型になる。 l が大きいほど扁平で、半径も大きい。

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l=0 File not found: "Y0-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

l=1 File not found: "Y1-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y1-1.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

l=2 File not found: "Y2-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y2-1.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y2-2.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

l=3 File not found: "Y3-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y3-1.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y3-2.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y3-3.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

l=4 File not found: "Y4-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y4-1.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y4-2.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y4-3.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y4-4.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

　　　　　 m=0 　　 　　 m=1 　 　　　 m=2 　　 　　 m=3 　　 　　 m=4

$z$ が特殊なわけではない†

上のグラフを見るとあたかも z が特殊な方向であるかのように錯覚するがそんなことはない。

　 \frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)+Y_1^{1}(\theta,\phi)\big)

や、

　 \frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)-Y_1^{1}(\theta,\phi)\big)

は、 \big(Y_1^{0}(\theta,\phi) とそっくり同じ形で、それぞれ x,y 方向を向いた関数となる。

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同じ量子数 l に属する、縮退した 2l+1 個の固有関数からなる任意の線形結合は すべて同じ固有値に属する固有関数となる。その中で特に \hat l_z の固有関数でもある物を Y_l^m と名付けたに過ぎない。

\hat l_z の固有関数であるように選んだのだから z が特殊な軸になっているというだけ。

　 \frac{1}{2l+1}\sum_{m=-1}^l|Y_l^m(\theta,\phi)|^2=\frac{1}{2\sqrt\pi}

すなわち、球対称な定数関数となる。下図は l=1 の場合。

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動径方向の固有関数†

球形の箱形ポテンシャル†

３次元調和振動子†

水素原子（静電ポテンシャル）†

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