量子力学Ⅰ/調和振動子 の履歴(No.3)

エネルギー固有値†

がゼロ点エネルギーとなる。 すなわち、調和振動子は基底状態においても運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーがゼロではない。

また、 より、エネルギー固有値は等間隔に並ぶ。

ここでは示さないが、古典論と同様にポテンシャルエネルギーの期待値は であり、
運動エネルギーの期待値も であり、両者は等しくなる。

固有関数†

• のとき
• のとき
• のとき
• のとき
• のとき
• ・・・

ここでもポテンシャルの対称性を反映して は偶関数であり、 は奇関数である。

エルミート多項式†

はエルミート多項式と呼ばれる一連の多項式 の定数倍になっている。

ただし は、母関数 をテイラー展開した際に現れる係数として定義される。

　&math( S(\xi,t)=e^{-t^2+2\xi t}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n );

上の に対する方程式の を で書き換えれば、 は次の方程式を満たさなければならない。

　

がこれを満たすことは、 母関数を や で微分した形を調べることで証明できる。 → 詳しくはこちら

また関数系 の漸化式、

　&math( H_{n+1}(\xi)e^{-\xi^2/2}=\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)\left(H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\right) );

　&math( 2nH_{n-1}(\xi)e^{-\xi^2/2}=\left(\xi+\frac{d}{d\xi}\right)\left(H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\right) );

直交性、

　&math(\int_{-\infty}^\infty H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}H_m(\xi)e^{-\xi^2/2}d\xi= \left\{\begin{array}{ll} 0&n\ne m\\ 2^nn!\sqrt\pi & n=m \end{array}\right. );

なども母関数を使って証明できる。 → 詳しくはこちら

および漸化式を用いれば、

• ・・・

が得られる。

固有関数の性質†

上記エルミート多項式の直交性を表わす式から を正規化できて、

　

このとき正規直交性は、

　

漸化式は、

　&math( \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\varphi_n(x)=\sqrt{n+1}\,\varphi_{n+1}(x) );

　&math( \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x+\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\varphi_n(x)=\sqrt{n}\,\varphi_{n-1}(x) );

となる。

この漸化式は を用いて、

　

　

を定義すれば、*4教科書では２つ目の式が として書かれているが、 なので正しくない。 、 なので と書くのが正しい。

　

　

と書ける。ここから、

　

　

　

　

が得られる。これらを

　

　

　

のように書くこともできる。

ここで学んだ生成・消滅演算子（ ）、 数演算子（ ）の考え方は、 第二量子化後の波動関数においてフェルミ粒子・ボーズ粒子を扱う際に多用する。 また、上記の交換関係 はボーズ粒子のそれに相当する。 応用範囲の広い内容であるため、しっかり復習しておくこと。

固有関数の形†

および を下から の範囲でプロットした。それぞれ上方向に 分だけオフセットしてある。

二次曲線は であり、古典的な調和振動子ではこの外には出られない。 有限な箱形ポテンシャルの場合と同様、量子力学的な解は外側にも少しはみ出している。

は が偶数では偶関数、奇数では奇関数になっている。

を波数とすれば、

　

の関係が成り立つから、 が大きいところの解では の近辺で波長が短く、端の方で波長が長くなっているのが分かる。

同様に、振幅は中央で小さく両端で大きくなっている。 上図の の付近を拡大して下に示す。

紺はポテンシャル障壁位置であり、これが古典的な粒子の振幅を表わす。 網を掛けた黄土色の線は古典粒子の存在確率を表わしている。 古典論では中央部では速度が速く、両端では速度が遅いため、比較的中央部の存在確率が低くなる。*5古典的な場合の存在確率は で与えられる。ただし は振動周期、&math(v(x; は速度である。))

細かく振動していること、古典振幅を越えて染み出すこと、 の２点を除いて量子力学的な解が古典力学の解と類似していることが分かる。

演習†

(1) などと置けば、 と表せることを確かめよ。

(2) のように変数分離できるとして、 の固有方程式を求めよ。またそのとき、エネルギー固有値がそれぞれの固有値の和として、 のように表せることも示せ。

(3) 基底状態、第１励起状態、第２励起状態は、第３励起状態がそれぞれ何重に縮退しているか答えよ。