線形代数Ｉ/行列式 の履歴(No.4)

更新

線形代数Ｉ

２次の行列式†

２次の正方行列 A の行列式は、

\det A=|A|=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc

であることを高校で学んだ。

ここで、 \left|\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\right| と書く代わりに \left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right| と書くことに注意せよ。

一般に n 次の正方行列に行列式が定義される。

例：３次の場合
\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-fha

n 次の行列式はこのように、 n 個の要素を掛け合わせたものに符号を付けて足し合わせた形で表せる。

１つの項の中に現れる n 個の因子には、 １つの行から、あるいは、１つの列から複数の要素が含まれることは無い。

  • aei は (1,1), (2,2), (3,3)
  • bfg は (1,2), (2,3), (3,1)
  • cdh は (1,3), (2,1), (3,2)
  • \vdots

必ず１つの行、１つの列から１つずつ取られていることを確認せよ。

３次の場合、このようにダブらずに項を作る作り方は上記の６つしか存在しない。

順列†

行列式を定義するのに「順列」を考える。

n 次の順列とは、 1\sim n の数字を任意の順に並べ替えて丸括弧でくくった物。

  • １次：(1)
  • ２次：(1 2), (2 1)
  • ３次：(1 2 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1), (2 1 3), (1 3 2)
  • \vdots

(１つの順列の中には同じ数字は複数回現れないことに注意せよ）

n 次の順列は n! 個存在する†

{}_nP_n=n! 個存在する。

1!=1 , 2!=2\cdot 1=2 , 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 , 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 , 5!=120 , 6!=720 , 7!=5040 , ・・・

文字で書くときは†

(p_1\ p_2\ p_3\ \cdots\ p_n) などと書く。

p_1, p_2, p_3, \cdots, p_n には 1\sim n の自然数が１回ずつ現れる。

転倒数†

p_i と p_j が、 i<j にもかかわらず p_i>p_j となるとき、 p_i,p_j は「転倒している」と言う。
（ (1\ 2\ 3\ \cdots\ n) の順を基準として、入れ替わっていると言う意味）

  • (1 2 3)　転倒はない → 転倒数 0
  • (1 3 2)　3 と 2 が転倒 → 転倒数 1
  • (2 3 1) 2 と 1, 3 と 1 が転倒 → 転倒数 2
  • (3 2 1)　3 と 2, 3 と 1, 2 と 1 が転倒 → 転倒数 3

間違いなく数えるには、それぞれの数字に対して、 自身よりも右にあって、自身よりも小さな数字の出現回数を数えて、 最後に全て加えればいい。

(2\ 5\ 1\ 3\ 7\ 4\ 6)
\phantom{(}1+3+0+0+2+0+0=6

順列の符号†

\varepsilon(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n) と書く。

順列の符号は \pm 1 の値を取り、

  • +1 : 転倒数が偶数の場合
  • -1 : 転倒数が奇数の場合

両方まとめると、転倒数が r の時に

\varepsilon(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)=(-1)^r

隣り合う要素の入れ替えで符号は反転する†

\varepsilon(\cdots\ p_i\ p_{i+1}\ \cdots)&=\\-\varepsilon(\cdots\ p_{i+1}\ p_i\ \cdots)&

∵ p_i,p_{i+1} 以外の要素の組については転倒数が変化しない。
したがって、
(1) p_i<p_{i+1} の時、入れ替えにより転倒数は１増える
(2) p_i>p_{i+1} の時、入れ替えにより転倒数は１減る

どちらの場合も、符号は反転する。

任意の要素の入れ替えで符号は反転する†

\varepsilon(\cdots\ p_i\ \cdots\ p_j\ \cdots)&=\\-\varepsilon(\cdots\ p_j\ \cdots\ p_i\ \cdots)&

∵ i<j とすれば、
i 番目と i+1 番目、 i+1 番目と i+2 番目、…、 j-1 番目と j 番目をこの順に入れ替えると、入れ替え階数は j-i 回であるから

(左辺) =(-1)^{j-i}\varepsilon(\cdots\ p_{i+1}\ \cdots\ p_j\ p_i\ \cdots)

となる。

さらに、 j-2 番目と j-1 番目、 j-3 番目と j-2 番目、…、 i 番目と i+1 番目をこの順に入れ替えると、入れ替え階数は j-i-1 回であるから

=(-1)^{2(j-i)-1}\varepsilon(\cdots\ p_j\ p_{i+1}\ \cdots\ p_{j-1}\ p_i\ \cdots)= (右辺)

となる。

n次正方行列の行列式†

A=[a_{ij}] とすると、行列式は次のように定義される。

|A|=\sum_{(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}

  • \sum_{(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)} は、 n 次の順列全てについて、それぞれ \varepsilon(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} の値を計算し、 できた n! 個の項を足し合わせた値を意味する。

例１： n=2 の時：２次の順列を転倒数で分類すれば、

+1:\ (1\ 2)\\-1:\ (2\ 1)

したがって、

\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|&=\sum_{(p_1\ p_2)}\varepsilon(p_1\ p_2)a_{1p_1}a_{2p_2}\\&=\varepsilon(1\ 2)a_{11}a_{22}+\varepsilon(2\ 1)a_{12}a_{21}\\&=ad-bc

例２： n=3 の時：３次の順列を転倒数で分類すれば、

+1:\ (1\ 2\ 3), (2\ 3\ 1), (3\ 1\ 2)\\-1:\ (3\ 2\ 1), (2\ 1\ 3), (1\ 3\ 2)

したがって、

\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|=\sum_{(p_1\ p_2\ p_3)}\varepsilon(p_1\ p_2\ p_3)a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}

\begin{array}{r@{\hspace{1cm}}c@{\hspace{1cm}}l}=\varepsilon(1\ 2\ 3)a_{11}a_{22}a_{33}&\rightarrow&+aei\\+\varepsilon(2\ 3\ 1)a_{12}a_{23}a_{31}&\rightarrow&+bfg\\+\varepsilon(3\ 1\ 2)a_{13}a_{21}a_{32}&\rightarrow&+cdh\\+\varepsilon(3\ 2\ 1)a_{13}a_{22}a_{31}&\rightarrow&-ceg\\+\varepsilon(2\ 1\ 3)a_{12}a_{21}a_{32}&\rightarrow&-bdi\\+\varepsilon(1\ 3\ 2)a_{11}a_{23}a_{32}&\rightarrow&-afh\end{array}

=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh

行列式の性質†

すぐ分かる内容†

  • A=[a] なら |A|=a
    \because|A|=|a|=\sum_{(p_1)}\varepsilon(p_1)a_{1p_1}=+a_{11}=a
  • |A| は正にも負にもなる
  • A が整数のみからなる行列なら |A| も整数となる

行に対する多重線形性†

「線形」とは、
\begin{cases}f(ax)=af(x)\\f(x+y)=f(x)+f(y)\end{cases}

を満たすような関数 f を表す性質。

  • f(x)=Ax なら線形
  • f(x)=Ax+B だと線形ではない

行列式の多重線形性は、 A=\begin{bmatrix}\hspace{5mm}\bm a_1\hspace{5mm}\\\bm a_2\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_n\end{bmatrix} を行列 A の行ベクトル分解として次の２つが成り立つこと。

\begin{cases}\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]c\bm a_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}=c\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}\\\phantom{0}\\\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_k+\bm a'_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a'_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}\end{cases}

これは、行列式を「行ベクトルを与えると数値を返す関数」と見たときに、

f(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n)=\begin{vmatrix}\hspace{5mm}\bm a_1\hspace{5mm}\\\bm a_2\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_n\end{vmatrix}

すべての引数 \bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n に対して線形性を持つと言うことであり、この意味で「多重」と言われる。

証明†

(第１式左辺)
=&\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots (ca_{kp_k})\dots a_{np_n}\\=&c\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots a_{kp_k}\dots a_{np_n}
=(第１式右辺)

\sum 中で、 k 行目の要素が現れるのは ca_{kp_k} の部分しかないことに注意せよ。

同様に、

(第２式左辺)
=&\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots (a_{kp_k}+a'_{kp_k})\dots a_{np_n}\\=&\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots a_{kp_k}\dots a_{np_n}\\+&\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots a'_{kp_k}\dots a_{np_n}
=(第２式右辺)

行に対する交代性†

行を入れ替えると符号が反転する

\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}

証明†

(左辺）
=&\phantom{-}\sum_{(\dots p_i\dots p_j\ \dots)}\varepsilon(\dots p_i\dots p_j\ \dots)\dots a_{ip_i}\dots a_{jp_j}\dots\\=&\phantom{-}\sum_{(\dots p_i\dots p_j\ \dots)}\varepsilon(\dots p_i\dots p_j\ \dots)\dots a_{ip_j}\dots a_{jp_i}\dots\\=&-\sum_{(\dots p_i\dots p_j\ \dots)}\varepsilon(\dots p_j\dots p_i\ \dots)\dots a_{ip_j}\dots a_{jp_i}\dots\\=&-\sum_{(\dots p_j\dots p_i\ \dots)}\varepsilon(\dots p_j\dots p_i\ \dots)\dots a_{ip_j}\dots a_{jp_i}\dots
=(右辺)

  • １行目→２行目：実数の積の交換法則
  • ２行目→３行目：順列要素の入れ替え
  • ３行目→４行目：Σの添え字が変更になることで和を取る順番が変化するが、 n 次の順列すべてについて和を取れば、全体として現れる項は等しくなる。

行に対するその他の性質†

同じ値を持つ行が複数存在すると行列式はゼロ†

等しい値の行を入れ替えても行列式の値は変わらないが、 同時に符号は反転するはず。

[Math Conversion Error]


x=-x の解は x=0 であるから、この行列式の値はゼロ。

ゼロ行を含む行列式はゼロ†

\bm o=0\bm o より、

\because\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm o\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=0\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm o\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=0

ある行の定数倍を別の行に加えても行列式の値は変化しない†

\because&\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j+c\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]c\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}

次数の低下（行方向）†

１列目が a_{11} を残してすべてゼロであるとき、 行列式を１つ次数の小さな行列式で表せる。

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\0&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}

証明†

(左辺)

&=\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n}\\&=\sum_{(1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{11}a_{2p_2}\dots a_{np_n}\\&=a_{11}\sum_{(1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{2p_2}\dots a_{np_n}

ここで、 n 次の順列 (1\ p_2\ \dots\ p_n) と n-1 次の順列 (p_2\!-\!1\ \dots\ p_n\!-\!1) とは同じ転倒数を持ち、符号も等しい。

さらに、前者が n 次の順列すべてを動くとき、後者は n-1 次の順列全てを動く。

したがって、 (p_2\!-\!1\ \dots\ p_n\!-\!1)=(p'_1\ \dots\ p'_n) と書けば、

=a_{11}\sum_{(p'_1\ \dots\ p'_{n-1})}\varepsilon(p'_1\ \dots\ p'_{n-1})a_{2(p'_1+1)}\dots a_{n(p'_{n-1}+1)}

=(右辺)

系†

  • 上三角行列の行列式は対角成分の積に等しい

    \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\&a_{22}&\dots&a_{2n}\\&&\ddots&\vdots\\O&&&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}
  • 単位行列の行列式は１

    |I|=1

行に対する基本変形†

ある行を c 倍†

|P_i(c)A|=c|A|

|P_i(c)|=|P_i(c)I|=c|I|=c だから |P_i(c)A|=|P_i(c)||A| とも書ける

ある行に別の行の c 倍を加えると行列式は変化しない†

|P_{ij}(c)A|=|A|

|P_{ij}(c)|=1 だから |P_{ij}(c)A|=|P_{ij}(c)||A| とも書ける

ある行と別の行とを入れ替えると行列式は反転†

|P_{ij}A|=-|A|

|P_{ij}|=-1 だから |P_{ij}A|=|P_{ij}||A| とも書ける

基本行列の行列式はゼロではない†

基本行列との積†

P を基本行列とすると、すべての場合に |PA|=|P||A| と書ける。

正則行列の行列式†

任意の正則行列 A は基本行列の積で書けるから、

|A|=|P_k\cdots P_2P_1|=|P_k||P_{k-1}\cdots P_2P_1|=|P_k||P_{k-1}|\cdots|P_2||P_1|\ne 0

となり、

  • A が正則であること
  • \rank A=n
  • |A|\ne 0

はすべて同値な条件となる。

行列の積と行列式†

A,B を正則行列とすれば |AB|=|A||B| が成り立つ。

証明†

(1) A が正則な場合

A は基本行列の積で書けるから、 A=P_k\cdots P_2P_1

|AB|=|P_k\cdots P_2P_1B|=|P_k|\cdots|P_2||P_1||B|=|A||B|

(2) A が正則でない場合

|A|=0 であり、また AB も正則でないため |AB|=0

したがって、 |AB|=|A||B|=0

行列の転置と行列式†

基本行列の転置をとっても行列式は変化しない†

P_i(c) および P_{ij} は対称行列であるから自明。

P_{ij}(c) については、

\left|\transpose P_{ij}(c)\right|=\left|P_{ji}(c)\right|=1=\left|P_{ij}(c)\right|

転置をとっても行列式は変化しない†

A が正則でなければ \transpose A も正則でないので、 |A|=|\transpose A|=0

A が正則ならば、基本行列の積で書けて

|\transpose A|=|\transpose (P_k\dots P_2P_1)|=|\transpose P_1 \transpose P_2\dots \transpose P_k|=|\transpose P_1||\transpose P_2|\dots|\transpose P_k|=|P_1||P_2|\dots|P_k|=|P_1P_2\dots P_k|=|A|

列に対する性質†

転置に対する定理のおかげで、行に対する性質はすべて列に対しても成立する。

  1. {行or列}に対する多重線形性
  2. {行or列}に対する交代性
  3. {行or列}に対する基本変形
    1. ある{行or列}を c 倍すると行列式も c 倍
    2. ある{行or列}に別の{行or列}の c 倍を加えると行列式は変化しない
    3. ある{行or列}と別の{行or列}とを入れ替えると行列式は反転
  4. 次数の低下（{行or列}方向）
  5. {行or列}に対するその他の性質
    1. 同じ値を持つ{行or列}が複数存在すると行列式はゼロ
    2. ゼロ{行or列}を含む行列式はゼロ

次数の低下の一般公式†

ある行、あるいはある列が、１つの要素を除いてゼロの時、要素の添え字に依存する符号を付けて次数を低下できる。

\begin{vmatrix}A&\vdots&B\\\bm o&a_{ij}&\bm o\\C&\vdots&D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&\bm o&B\\\dots&a_{ij}&\dots\\C&\bm o&D\end{vmatrix}=(-1)^{i+j}a_{ij}\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}

行方向に i 回、列方向に j 回、行を入れ替えることで、それぞれ

=(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}a_{ij}&\bm o&\bm o\\\vdots&A&B\\\vdots&C&D\end{vmatrix} =(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}a_{ij}&\dots&\dots\\\bm o&A&B\\\bm o&C&D\end{vmatrix}

の形にでき、(1,1) 要素を前に出せば上記公式を得る。

一般の行列式の求め方†

  • 行および列に対する基本変形で、ある行または列を掃き出す
  • 次数を低下する

を繰り返すことで、大きな行列でも行列式の値を計算できる。

行列式の展開†

余因子†

ある行列 A を、 a_{ij} を中心に次のように分割する。

|A|=\begin{vmatrix}B&\bm ?&C\\\bm ?&a_{ij}&\bm ?\\D&\bm ?&E\end{vmatrix}

このとき、 i 行目と j 列目を除いてできる行列式に符号を付けた

\Tilde a_{ij}=(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}B&C\\D&E\end{vmatrix}

を、 A の (i,j) 余因子と呼ぶ。

\Tilde a_{ij} の表式は a_{ij} を含まないことに注意せよ。

\begin{vmatrix}B&\bm o&C\\\bm ?&a_{ij}&\bm ?\\D&\bm o&E\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}B&\bm ?&C\\\bm o&a_{ij}&\bm o\\D&\bm ?&E\end{vmatrix}=a_{ij}\Tilde a_{ij} である。

i 行目に対して展開する†

\begin{vmatrix}&&\text{\Large $\ast$}&&\\[10pt]a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}&\hdots&a_{in}\\[10pt]&&\text{\Large $\ast$}&&\\\end{vmatrix}

=\begin{vmatrix}&&\text{\Large $\ast$}&&\\[10pt]a_{i1}&0&0&\hdots&0\\[10pt]&&\text{\Large $\ast$}&&\\\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}&&\text{\Large $\ast$}&&\\[10pt]0&a_{i2}&0&\hdots&0\\[10pt]&&\text{\Large $\ast$}&&\\\end{vmatrix}+\dots+\begin{vmatrix}&&\text{\Large $\ast$}&&\\[10pt]0&0&0&\hdots&a_{in}\\[10pt]&&\text{\Large $\ast$}&&\\\end{vmatrix}

=a_{i1}\Tilde a_{i1}+a_{i2}\Tilde a_{i2}+\dots+a_{in}\Tilde a_{in}

=\sum_{k=1}^n a_{ik}\Tilde a_{ik}=|A|

j 列目に対して展開する†

\sum_{k=1}^n a_{kj}\Tilde a_{kj}=|A|

ゼロとなる和†

i\ne i' あるいは j\ne j' の時、

\sum_{k=1}^n a_{i'k}\Tilde a_{ik}=0

\sum_{k=1}^n a_{kj'}\Tilde a_{kj}=0

となる。

なぜならこれらは、

  • A の i 行目に i' 行目と同じ行を持ってきた
  • A の j 列目に j' 行目と同じ行を持ってきた

行列の行列式となるため。

|A'|=\because\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a'_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a'_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=0

A の (i,j) 余因子と、
A' の (i,j) 余因子とが等しいことに注目せよ。

余因子行列と逆行列†

余因子行列†

\Tilde A=\transpose \,[\Tilde a_{ij}]=[\Tilde a_{ji}]

余因子行列の性質†

A \Tilde A=\left[\,\sum_{k=1}^n a_{ik}\Tilde a_{jk}\,\right]=\Big[\,|A|\delta_{ij}\,\Big]

\Tilde A A=\left[\,\sum_{k=1}^n \Tilde a_{ki}a_{kj}\,\right]=\Big[\,|A|\delta_{ij}\,\Big]

すなわち、

A\Tilde A=\Tilde AA=|A|I

\frac{1}{|A|}\Tilde A=A^{-1}

ここからも、 |A|\ne 0 であれば A が正則であることを確認できる。

クラメル(Cramer)の公式†

連立一次方程式を A\bm x=\bm b 、その解を \bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} とすると、 |A|\ne 0 のとき

x_1=\frac{|\bm b\ \bm a_2\ \bm a_3\ \dots\ \bm a_n|}{|A|}

x_2=\frac{|\bm a_1\ \bm b\ \bm a_3\ \dots\ \bm a_n|}{|A|}

・・・

x_n=\frac{|\bm a_1\ \bm a_2\ \bm a_3\ \dots\ \bm b|}{|A|}

と表せる。

証明†

A=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\hdots&a_n\end{bmatrix} のように列ベクトルに分割する。

\bm b=A\bm x=x_1\bm a_1+x_2\bm a_2+\dots x_n\bm a_n=\sum_{k=1}^n x_k\bm a_k

したがって、

\Big|\bm a_1\ \dots\ \bm a_{i-1}\ \bm b\ \bm a_{i+1}\ \dots\ \bm a_n\Big|

=\left|\bm a_1\ \dots\ \bm a_{i-1}\ \left(\sum_{k=1}^n x_k\bm a_k\right)\ \bm a_{i+1}\ \dots\ \bm a_n\right|

=\sum_{k=1}^n x_k\Big|\bm a_1\ \dots\ \bm a_{i-1}\ \bm a_k\ \bm a_{i+1}\ \dots\ \bm a_n\Big|

=x_i\Big|\bm a_1\ \dots\ \bm a_{i-1}\ \bm a_i\ \bm a_{i+1}\ \dots\ \bm a_n\Big|

=x_i|A|

両辺を |A| で割れば与式を得る。

コメント†




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