固有値問題・固有空間・スペクトル分解 の履歴(No.4)

練習†

&math( A=\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{pmatrix} ); について固有値問題を解け。ただし

は回転を表わす行列。一方で、固有値問題は だから、 を掛けても向きの変わらないベクトルを探す問題。すなわち・・・解無しになるのでは？　と思うのが正しい感覚。

実際、実数の範囲では固有値は存在しない。一方、複素数の範囲ではどんな行列にも必ず重複度を含めて コの固有値が存在し、それぞれの固有値に対して最低１コの固有ベクトルが見付かる。

回転を表わす上記の に対しても、複素数の範囲ならばちゃんと固有値・固有ベクトルが見付かることを確認せよ。

練習†

の２次以下の多項式からなる線形空間 において、 次の線形変換を考える。

　　

の固有値、固有ベクトルを求めよ。

　　&math( T(ax^2+bx+c) &=a(x+1)^2+b(x+1)+c\\ &=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c) );

基底を と取れば、

　　&math( T_B=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 2&1&0\\ 1&1&1\\ \end{pmatrix} );

であるから、

　　&math( |T_B-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda&0&0\\ 2&1-\lambda&0\\ 1&1&1-\lambda\\ \end{vmatrix}=(1-\lambda)^3=0 );

　　&math( (T_B-E)\bm x=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 2&0&0\\ 1&1&0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=\bm 0 );

　　

　　 と置けば、

　　&math( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}= s \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} );

&math( \bm x_B=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} ); に対応するベクトルは

すなわち、固有値 、固有ベクトル が答えになる。

エルミート変換の固有値は実数になる†

&math( &(\bm x,T\bm x)= \lambda(\bm x,\bm x)= \lambda|\bm x|^2=\\ &(T\bm x,\bm x)=\overline\lambda(\bm x,\bm x)=\overline\lambda|\bm x|^2\\ );

エルミート変換の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する†

、 のとき、

&math( &(T\bm x,\bm y)=(\lambda\bm x,\bm y)=\overline\lambda(\bm x,\bm y)=\lambda(\bm x,\bm y)=\\ &(\bm x, T^\dagger\bm y)=(\bm x, T\bm y)=(\bm x, \lambda'\bm y)=\lambda'(\bm x, \bm y) );

&math( \therefore (\lambda-\lambda')(\bm x,\bm y)=0 );

ならば、 である。

ユニタリ変換の固有値の絶対値は１になる†

&math( &(T\bm x,T\bm x)=\lambda\overline\lambda(\bm x,\bm x)=|\lambda|^2|\bm x|^2=\\ &(\bm x,\bm x)=|\bm x|^2\\ );

絶対値が１の複素数は と表せるから、

と書けることになる。

ユニタリ変換の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する†

、 のとき、

　　&math( &(T\bm x,T\bm y)=(\lambda\bm x,\lambda'\bm y)=\overline\lambda\lambda'(\bm x,\bm y)=\\ &(\bm x,\bm y) );

　　&math( \therefore (\overline\lambda\lambda'-1)(\bm x,\bm y)=0 );

ここで、 より と置けば、

　　

　　

この値は のときゼロにならないから、

　　

例†

ユニタリ行列

&math( A=\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{pmatrix} ); について上記を確かめよ。