スピントロニクス理論の基礎/8-9 の履歴(No.5)

8-9 不純物による電子散乱†

不純物による電子散乱が次のような性質を持つとする。

• 散乱により運動量が変化する
• 弾性的つまりエネルギーを変化させない
• 空間上の同じ点のみで作用するδ関数型である

これを表すポテンシャルは、

(8.106)

(8.106A)

として、位置 に体積 高さ のポテンシャルピークを作る不純物が存在して、 その場所の電子密度に比例するエネルギーを与えるものとする。

は不純物の数であり、個々の不純物は のラベルで区別する。 （ラベルを にすると紛らわしい）

ポテンシャルの値からエネルギーの平均値をあらかじめ引いておくことで そのフーリエ成分の の成分をゼロにしておくと、 後に便利である。(この性質は後で多用される)

(8.107)

に注意せよ。

(8.24) あたりで行ったのと同様にして交換子を計算できる。

(8.108)

この に対する Green 関数 は (8.105) より、

(8.109)

&math( &g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [V_i(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times v_i(\tau_1) \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}} \left[-i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\right] \\ &=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')

1. \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)v_i(\bm r_1)g(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')\\ );

次元について：

• Green 関数は元々 すなわち電子数密度なので (1/体積) の次元を持つ。
• したがって、 で無次元
• は (エネルギー) の次元で、 は (エネルギーの逆数) の次元
• したがって、 で無次元
• それらを除くと左辺・右辺共に Green 関数の次元となり、正しい
• すなわち が必要なのは間違いない

(8.66) および () より

(8.110)

&math( &g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &= g_0(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\rightarrow}d\tau_1\int d^3r_1 g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow)v_i(\bm r_1) g(\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\leftarrow}d\tau_1\int d^3r_1 g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow)v_i(\bm r_1) g(\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &= g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_0}^{t_\infty} dt_1\int d^3r_1 g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_\infty}^{t_0}dt_1\int d^3r_1 g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &= g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

• g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big] );

ここで、(8.70)〜(8.73) を用いて、

より、

(8.111)

&math( &g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

1. g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big] );

同様にして、

(8.112)

&math( &g^>(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^>(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^>(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

1. g_0^>(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big] );

(8.113)

&math( &g^r(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\theta(t-t')\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

• g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]\\ &= g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')

1. \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1 g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t'));

&math( &g^a(\bm r,t,\bm r',t')\\ &= g_0^a(\bm r,t,\bm r',t')

1. \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1 g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t') );

ここで (8.38) より および なので、

• 
  
• 
  

を用いた。

および がそれぞれ閉じた方程式を満たすことはよく知られた事実。

以上を省略形にまとめると、

質問・コメント†