線形代数II/基底の変換 の履歴(No.5)
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基底の変換†
$\mathbb R^3$ の数ベクトル表現†
次の3つのベクトルは の基底を為す。
&math( \bm b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \bm b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} );
つまり、次の2つが成り立つ。
- は線形独立である
- は を張る
1. はほぼ自明
2. は、 を、
として表せると言う意味。あるいはこれを満たす を見つけられるという意味。
&math( \bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =B\bm x');
と書き直すと、1. より は正則行列であるから、どんな を与えられたとしても とすれば を見つけられることが分かる。
同時に、 のベクトル の、 基底 に対する数ベクトル表現が、
であることも分かる。
実は上記の議論は線形独立な任意の にあてはまる。
基底の変換†
のベクトル という書き方は、
基本ベクトルを &math( \bm e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \bm e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \bm e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} ); として
であるから、「基本ベクトルを基底とした時の の数値表現である」と言える。
一方、行列 は、 ベクトル の、 に対する 数値表現を行列として並べた物となる。
基底の変換行列†
線形空間 に2つの基底、 および があるとする。( )
の
に対する数値表現
と
に対する数値表現
との間には、
の関係がある。ただし、
は
行列で、
\
の基底ベクトルそれぞれに対して基底
での数値表現を作り、
それらを横に並べた行列である。
この を、基底 から基底 への 基底の変換行列と呼ぶ。
&math( \bm x&=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm x_{\mathcal A}\\ &=\big(\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n\big)\bm x_{\mathcal B}\\ );
&math( \bm b_i=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm b_{i\mathcal A} );