線形写像の行列表現と階数 の履歴(No.5)
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- 線形代数II/線形写像の行列表現と階数 へ行く。
線形写像の行列表現†
線形写像 を考える。ただし、
すなわち に対して
の基底
の基底
を考えれば、 や の表現を定められ、
これらの関係は図のようになる。
、 、 はそれぞれ線形写像なので、 それらの合成写像である も線形写像となる。
すなわち、 行列 を使って、
と表せる。この行列を、線形写像 の行列表現と呼ぶ。
$T_{\widetilde B\widetilde A}$ の具体的な形†
基底ベクトル の に対する表現 は、
&math(\bm a_i &=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm a_{i\widetilde A} );
より、
&math( \bm a_{i\widetilde A} =\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix} );
一方、 を で移した は のベクトルなので、その による表現 を考えることができて、 と置けば、
すなわち、
&math(T_{\widetilde B\widetilde A}= \begin{pmatrix}T(\bm a_1)_{\widetilde B}&T(\bm a_2)_{\widetilde B}&\dots&T(\bm a_n)_{\widetilde B}\end{pmatrix} );
線形写像の行列表現は、
元となる空間の基底ベクトルを移して、
先となる空間の基底で表現したものを列ベクトルとする。
基底の変換行列との関係†
先にやった基底の変換行列 は、 上記の を恒等変換 に置き換えた形と等しい( )。
すなわち、
行列表現の基底変換†
から あるいは から といった基底の変換を考える。
&math( &\bm y_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}\\ &\phantom{\bm y_{\widetilde B}}=T_{\widetilde B\widetilde A'}\bm x_{\widetilde A'}\\ &\bm x_{\widetilde A}=P_{\widetilde A\to \widetilde A'}\bm x_{\widetilde A'} より、\\ &T_{\widetilde B\widetilde A'}=T_{\widetilde B\widetilde A}P_{\widetilde A\to \widetilde A'} ); &math( &\bm y_{\widetilde B}=T_{\widetilde B\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}\\ &\bm y_{\widetilde B'}=T_{\widetilde B'\widetilde A}\bm x_{\widetilde A}\\ &\bm y_{\widetilde B}=P_{\widetilde B\to \widetilde B'}\bm y_{\widetilde B'} より、\\ &T_{\widetilde B'\widetilde A}=(P_{\widetilde B\to \widetilde B'})^{-1}T_{\widetilde B\widetilde A} );
両者を合わせると、
特に、 すなわち「線形変換」であるときは、 の基底を定めるだけで行列表現が求まる。 このとき と書けば、
すなわち、 と とは 線形代数I で学んだ 「相似」の関係にあることになる。
と、
&math( \bm y_{\widetilde A'}&=T_{\widetilde A'}\bm x_{\widetilde A'}\\ &=\underbrace{(P_{\widetilde A\to \widetilde A'})^{-1}}_{P_{\widetilde A'\to \widetilde A}}\ \underbrace{T_{\widetilde A}\ \underbrace{(P_{\widetilde A\to \widetilde A'})\bm x_{\widetilde A'}}_{\bm x_{\widetilde A}}}_{\bm y_{\widetilde A}});
とを見比べて理解したい。
線形写像の階数と行列表現の階数†
両者は一致するのだが、証明は時間があれば戻って行うこととして、 とりあえず省略。