スピントロニクス理論の基礎/8-5 の履歴(No.6)
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8-5 経路順序 Green 関数 (Gt : time ordered)†
(8.58), (8.61)
&math(&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &=-i\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}\hbar}\int_C d\textcolor{red}{\tau}H(\textcolor{red}{\tau})}c(\bm r,\tau)c^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\ &=-i\Big\langle T_CU_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\ );
これを経路順序(path ordered) Green 関数、あるいは非平衡 Green 関数、あるいは Keldysh Green 関数と呼ぶ。
以下に見るように、
- および は を用いて表せる
-
および
は直接
を用いて表せない
- 新たに導入される および を経由して 間接的に で表せる
(8.56)
&math( &G^t(\bm r,t,\bm r',t')\\ &=-i\left[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle
- \theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle \right]\\ &=-i\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &=-i\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t)c(\bm r,t)U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &= G(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\rightarrow) );
ここで、 のとき、
を用いた。これらは (8.7A), (8.8A), (8.42) により明らかに成り立つ。
(8.57)
&math( &G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t')\\ &=i\left[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle
- \theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle \right]\\ &=i\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &=i\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t)c(\bm r,t)\overline U(t,t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)\overline U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &= G(\bm r,\tau\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow) );
や についてはこのように一筋縄では表せず、 後に出てくる および 経由で表すことになる。
(8.62) は、(8.7A) や (8.8A) のような表式を用いれば、 以下のように非常に直感的に理解することが可能である。
&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau, \tau')\\ =&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)\dots}\Big]\\ =&i\hbar\Big(-\frac{i}{\hbar}H(\tau)\Big)\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)\dots}\Big]\\ =&H(\tau)U_C(\tau,\tau'));
&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau', \tau)\\ =&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}\Big[\dots e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_n)(\tau_{n-1}-\tau_n)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau)(\tau_n-\tau)}\Big]\\ =&i\hbar\Big[\dots e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_n)(\tau_{n-1}-\tau_n)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau)(\tau_n-\tau)}\Big]\Big(\frac{i}{\hbar}H(\tau)\Big)\\ =&-U_C(\tau',\tau)H(\tau));
(8.63)
&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}G(\bm r,t,\bm r',t')\\ &=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau')\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)\{c(\bm r,\tau),c^\dagger(\bm r',\textcolor{red}{\tau})\}U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\\ &\ \ \ +i[\theta(\tau-\tau')\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau_0)\big\rangle\\ &\ \ \ \phantom{i[}-\theta(\tau'-\tau)\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\\ &=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')\\ &\ \ \ +i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_C d\tau'H(\tau')}[H(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau') \big\rangle);
この式は (8.33) に合わせて交換関係の中のハミルトニアンを先に出して、符号を反転してある。
(8.64)
(8.30) と同様の手順で