スピントロニクス理論の基礎/8-4 のバックアップ(No.2)

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スピントロニクス理論の基礎

8-4 物理量の経路表示

(8.40)

ハミルトニアン H が時間に依らないとき (8.7B) より

U(t,t_0)=e^{\frac{-i}{\hbar} H(t-t_0)}

したがって、形式的に

U(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0)=e^{\frac{-i}{\hbar} H(-i\beta/\hbar)}=e^{-\beta H}\equiv U_{C_\beta}

と書ける。

こう書くために、 H(t) の定義域を複素平面に拡大して、 虚数軸に沿った方向には H(t) の値が変化しない物としておく。

このように定義した U(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0) なる変換はユニタリ演算子ではなくなっていることに注意が必要である。 ユニタリ変換は状態のノルム(大きさ)を変えないが、ここに現れる因数は 熱平衡における確率の重み付け(大きさの調整)であるから、 本質的にユニタリ変換にはなりえない。

(8.41)

\overline O(t)=\frac{1}{Z_0}\trace[U(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0)U^\dagger(t,t_0)O(t)U(t,t_0)]

(8.42)

\overline U(t',t)\equiv U^\dagger(t,t')

以下、 t_1<t_2<t_3 の時 U(t_3,t_2)U(t_2,t_1)=U(t_3,t_1)
また、 t_1<t_2<t_3 の時 \overline U(t_1,t_2)\overline U(t_2,t_3)=\overline U(t_1,t_3) 、 さらに U(t_2,t_1)\overline U(t_1,t_2)=\overline U(t_1,t_2)U(t_2,t_1)=1 を利用する。

これらの関係は (8.7A), (8.8A) あたりの表現を用いると直感的に理解できる。

(8.43)

\overline O(t)=\frac{1}{Z_0}\trace[U(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0)\overline U(t_0,t)O(t)U(t,t_0)]

=\frac{1}{Z_0}\trace[U(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0)\overline U(t_0,t)\overline U(t,t_\infty)U(t_\infty,t)O(t)U(t,t_0)]

=\frac{1}{Z_0}\trace[U(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0)\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t)O(t)U(t,t_0)]

=\frac{1}{Z_0}\trace[U(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0)\overline U(t_0,t)O(t)\overline U(t,t_\infty)U(t_\infty,t)U(t,t_0)]

=\frac{1}{Z_0}\trace[U(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0)\overline U(t_0,t)O(t)\overline U(t,t_\infty)U(t_\infty,t_0)]

(8.44), (8.45)

&math( \begin{array}{llll} \tau\in C_\rightarrow & (t_0\le\tau\le t_\infty), & \tau=t & O(\tau) = O(t)_{t=\tau}\\ \tau\in C_\leftarrow & (t_\infty\le\tau\le \textcolor{red}{2t_\infty-t_0}), & \tau=\textcolor{red}{2t_\infty-t} & O(\tau) = O(t)_{t=2t_\infty-\tau} \\ \tau\in C_\beta & (0\le\tau_I\le\beta) & \tau=2t_\infty-t_0-i\tau_I & \end{array} );

(8.46)

U(t,t')=T_C\,e^{\left.-\frac{i}{\hbar}\int_{\tau'}^\tau d\tau_1H(\tau_1)\right|_{C_\rightarrow}}

(8.47)

&math(&\overline U(t',t)=U^\dagger(t,t')\\ &=\overline Te^{\frac{i}{\hbar}\int_{t'}^t dt_1H(t_1)}\\ &=\overline Te^{-\frac{i}{\hbar}\int_t^{t'} dt_1H(t_1)}\\ &\equiv T_C\,e^{\left.-\frac{i}{\hbar}\int_\tau^{\tau'} d\tau_1H(\tau_1)\right|_{C_\leftarrow}} );

2行目から3行目は積分の方向が逆転したことに伴って符号が反転した。

(8.48)

&math(&\overline O(t)=(8.43)\\ &=\frac{1}{Z_0}\trace[ T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'H(\tau')}O(\tau) ]\\);

\equiv\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'H(\tau')}O(\tau) \big\rangle

ここで、 e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'H(\tau')} の部分は (8.7A) に見たように異なる時刻のハミルトニアンの指数を取ったものを順に掛け合わせた物であるが、 この式に現れる T_C はそれらのハミルトニアンに加えて O(\tau) を含めて 時刻順に並べる操作を表している。

(8.49)〜(8.55) はほぼ定義の羅列なので飛ばす。

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