スピントロニクス理論の基礎/8-7 のバックアップ(No.3)

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スピントロニクス理論の基礎

8-7 自由電子の場合の具体例

この章では、 \left(\frac{\hbar^2 k'^2}{2m}-\varepsilon_F\right)=\varepsilon_{\bm k'} という表示が用いられている。

(8.80)

(8.29) の H_0 を代入し (8.23) と同様の変形をする。

&math( &\dot c_\mathrm H(\bm k)=\frac{i}{\hbar}[H_{0\mathrm H},c_\mathrm H(\bm k)]\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger[H_0,c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\left(\frac{\hbar^2 k'^2}{2m}-\varepsilon_F\right)[c^\dagger(\bm k') c(\bm k'),c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\Big(c^\dagger(\bm k')\{ c(\bm k'),c(\bm k)\}-\{c^\dagger(\bm k'),c(\bm k)\}c(\bm k')\Big)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\delta^3(\bm k-\bm k')c(\bm k')U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}U^\dagger c(\bm k)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}c_\mathrm H(\bm k)\\ );

(8.81)

これを積分すると、

&math( c_\mathrm H(\bm k,t)&=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c_\mathrm H(\bm k,t_0)\\ &=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k,t_0));

c_\mathrm H(\bm k,t_0)=c(\bm k,t_0) に注意。

(8.82)

一方で、

&math( c_\mathrm H(\bm k,t)&=U^\dagger(t-t_0)c(\bm k,t_0)U(t-t_0)\\ &=e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k,t_0)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)} );

(8.81) と (8.82) が「等価である」という点についてちょっと厳密性を欠いた検証:

c_\mathrm H(\bm k) は消滅演算子なので、波数 \bm k を持つ粒子が1ついる状態 \ket{1}_{\bm k} に作用させるとその粒子が消滅して波数 \bm k を持つ粒子が1つもいない状態 \ket{0}_{\bm k} を生じる。その際の係数は 1 である。
フェルミオンの交換関係

元がゼロの時も考えると、

c(\bm k)\ket{1}_{\bm k} = \ket{0}_{\bm k}
c(\bm k)\ket{0}_{\bm k} = 0

この \ket{1}_{\bm k} &c_\mathrm H(\bm k) を作用させてみると、 H_0\ket{1}_{\bm k}=\varepsilon_{\bm k}\ket{1}_{\bm k} H_0\ket{0}_{\bm k}=0 \ket{0}_{\bm k} より、

&math( c_\mathrm H(\bm k)\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k)\ket{1}_{\bm k}\\ );

矛盾しない。

任意の波動関数を考えると話はここまで簡単ではないけれど、 右側の H_0 が掛かる時点に比べて左側の H_0 が掛かる時点では粒子が1つ減っていて、 その分のエネルギー差が現われるという点では同じなのだと思う。 (元々粒子がいない時には両辺がゼロになるので、式としては成立する)

(8.83)

g_{0\bm k,\bm k'}^<(t,t')=i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') c_\mathrm H(\bm k,t) \rrangle

=ie^{\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k'}(t'-t_0)}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle

=ie^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\varepsilon_{\bm k'})t_0}e^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k'}t'-\varepsilon_{\bm k}t)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle

=i\delta_{\bm k,\bm k'}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle

=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})

\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^<(t-t')

ただし、

\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle

&math( &=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|\hat n(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|\hat n|0}

  1. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|\hat n|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0}
  2. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ 1 \braket{0|0|0}
  3. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} );

本当は分母・分子ともに \bm k の粒子の状態以外の状態数がかけ算されたり、 \bm k の粒子以外のエネルギーに対応する重みが掛かったりするはずだけれど、 それらは分母・分子で括りだした上で通分できて、必要な因子は上記の通りとなる。

同様に、

g_{0\bm k,\bm k'}^>(t,t')=-i\llangle c_\mathrm H(\bm k,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') \rrangle

=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})]

\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^>(t-t')

ただし、

\llangle c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0) \rrangle

&math( &=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|(1-\hat n)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|(1-\hat n)|0}

  1. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|(1-\hat n)|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0}
  2. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ 1 \braket{0|1|0}
  3. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|0|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{1}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} =1-\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} );

このように詳細に計算しても求まるが、もともとの反交換関係が c^\dagger c+cc^\dagger=1 なので、 \llangle cc^\dagger\rrangle =1-\llangle c^\dagger c \rrangle としてしまえば計算の必要は無い。
フェルミオンの交換関係

(8.84)

[Math Conversion Error]


(8.83) で \delta_{\bm k,\bm k'} が出るのは、

&math(\braket{\alpha|c^\dagger_\mathrm H(\bm k') c_\mathrm H(\bm k)|\alpha} =\braket{c_\mathrm H(\bm k')\alpha|c_\mathrm H(\bm k)\alpha}=\delta_{\bm k,\bm k'});

すなわち \bm k\ne\bm k' の時、

c_\mathrm H(\bm k')\ket{\alpha} \perp c_\mathrm H(\bm k)\ket{\alpha}

となるためである。

(8.85)

&math(g_{0\bm k\omega\omega'}^< &=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'

 e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})\\

&=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'

 e^{\frac{i}{\hbar}[(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) t-(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k}) t']} f(\varepsilon_{\bm k})\\

&=i\hbar 2\pi\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})2\pi\delta(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot 2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^<);

\int_{-\infty}^\infty dte^{i\omega t}=2\pi\delta(\omega) および \delta(ax)=\delta(x)/a を使った。

同様にして、

&math(g_{0\bm k\omega\omega'}^> &=-i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'

 e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1- f(\varepsilon_{\bm k})]\\

&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot -2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})[1-f(\varepsilon_{\bm k})]\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^>);

(8.88)

&math( g_{0\bm k\omega\omega'}^r &=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'

 e^{i\omega t-i\omega' t'} \theta(t-t')\Big(g_{0\bm k}^>(t,t')-g_{0\bm k}^<(t,t')\Big)\\

&=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_{-\infty}^\infty dt

 e^{i\omega (t-t')}\theta(t-t') \Big(g_{0\bm k}^>(t-t')-g_{0\bm k}^<(t-t')\Big)\\

&=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_0^\infty dt''

 e^{i\omega t''} \Big(g_{0\bm k}^>(t'')-g_{0\bm k}^<(t'')\Big)\\

&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\frac{1}{\hbar}\int_0^\infty dt''

 e^{i\omega ''} \Big(-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}(1-f_{\bm k})
 -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}f_{\bm k}\Big)\\

&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''

 e^{i\omega t''} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}\\

&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''

 e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''}\\

&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^r );

&math( g_{0\bm k\omega}^r=\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''

 e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''}

);

を評価するには・・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

&math( \delta(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t}\\ &=\frac{i}{2\pi}\left(\frac{1}{w+i0}-\frac{1}{w-i0}\right)\\ &=\lim_{\Delta_\omega\rightarrow+0}\frac{i}{2\pi}\left(\frac{1}{w+i\Delta_\omega}-\frac{1}{w-i\Delta_\omega}\right)\\ &=\lim_{\Delta_\omega\rightarrow+0}\frac{1}{\pi}\frac{\Delta_\omega}{w^2+\Delta_\omega^2} );

だそうで、

&math(

  • i\int_{-\infty}^\infty dt e^{-i\omega t} &=-i\int_0^\infty dt e^{-i\omega t}-i\int_{-\infty}^0 dt e^{-i\omega t}\\ &=\hspace{6.6mm}\frac{1}{w+i0}\hspace{6.6mm}-\hspace{6.6mm}\frac{1}{w-i0} );

ということみたい。

これを \omega\rightarrow \frac{1}{\hbar}(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) とすると (8.88) が出てくる。

もう一方は、

&math(g_{0\bm k\omega}^a =\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^0dt e^{i\frac{1}{\hbar}(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})t} =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0});

なので、

(8.89)

g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r=2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})

(8.87) の 2\pi i\delta(\hbar \omega-\varepsilon_{\bm k} をこれで置き換えると

(8.90)

g_{0\bm k\omega}^<=f(\varepsilon_{\bm k})(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r)

g_{0\bm k\omega}^>=-\Big(1-f(\varepsilon_{\bm k})\Big)(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r)

さらに、 \delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) があるため \hbar\omega=\varepsilon_{\bm k} を仮定できて、

(8.91)

g_{0\bm k\omega}^<=f(\omega t)(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r)

g_{0\bm k\omega}^>=-\Big(1-f(\omega t)\Big)(g_{0\bm k\omega}^a-g_{0\bm k\omega}^r)

とも書ける。

(8.70) に (8.83) を代入すると、

(8.92)

&math( g_{0\bm k}^t(t,t')&=\theta(t-t')g_{0\bm k}^>(t,t')+\theta(t'-t)g_{0\bm k}^<(t,t')\\ &=-\theta(t-t')ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})]

 +\theta(t-t')ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t'-t)} f(\varepsilon_{\bm k})\\

&=-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t'-t)}[\theta(t-t')(1-f(\varepsilon_{\bm k}))-\theta(t'-t)f(\varepsilon_{\bm k})] );

(8.93)

&math(g_{0\bm k\omega}^t =\frac{f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}

  1. \frac{1-f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0});

(8.94), (8.95)

T=0 では f_{\bm k}=\theta(-\varepsilon_{\bm k}) となるため、

&math(g_{0\bm k\omega}^t\big|_{T=0} =\frac{\theta(-\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}

  1. \frac{\theta(\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0} = \frac{\theta(\varepsilon_{\bm k})}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\mathrm{sgn}(\varepsilon_{\bm k})\times i0});

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