スピントロニクス理論の基礎/8-9 のバックアップ(No.1)

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スピントロニクス理論の基礎

8-9 不純物による電子散乱

不純物による電子散乱が次のような性質を持つとする。

  • 散乱により運動量が変化する
  • 弾性的つまりエネルギーを変化させない
  • 空間上の同じ点のみで作用するδ関数型である

これを表すポテンシャルは、

(8.106)

V_i=\int d^3rv_i(\bm r,t)\hat n(\bm r,t)

(8.106A)

v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ia^3\delta(\bm r-\bm R_k)

として、位置 \bm R_k に体積 a^3 高さ v_i のポテンシャルピークを作る不純物が存在して、 その場所の電子密度に比例するエネルギーを与えるものとする。

N_i は不純物の数であり、個々の不純物は k=1,2,\dots,N_i のラベルで区別する。 (ラベルを &math(i) にすると紛らわしい)

ポテンシャルの値からエネルギーの平均値をあらかじめ引いておくことで そのフーリエ成分の \bm k=\bm 0 の成分をゼロにしておくと、 後に便利である。

(8.107)

v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ia^3\left(\delta(\bm r-\bm R_k)-\frac{1}{V}\right)

\int_V d^3r\delta(\bm r-\bm R_k)=\int_V d^3r / V = 1 に注意せよ。

(8.24) あたりで行ったのと同様にして交換子を計算できる。

(8.108)

[V_i(t),c(\bm r,t)]=-v_i(\bm r)c(\bm r,t)

この H_i=H_0+V_i に対する Green 関数 g は (8.105) より、

(8.109)

&math( &g(\bm r,t,\bm r',t')=g_0(\bm r,t,\bm r',t')\\ &+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,t,\bm r',t')\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [V_i(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &=g_0(\bm r,t,\bm r',t')

  1. \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1v_i(\bm r)g_0(\bm r,t,\bm r',t')g(\bm r,t,\bm r',t')\\ );

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