スピントロニクス理論の基礎/8-9 のバックアップ(No.3)

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スピントロニクス理論の基礎

8-9 不純物による電子散乱

不純物による電子散乱が次のような性質を持つとする。

  • 散乱により運動量が変化する
  • 弾性的つまりエネルギーを変化させない
  • 空間上の同じ点のみで作用するδ関数型である

これを表すポテンシャルは、

(8.106)

V_i=\int d^3rv_i(\bm r,t)\hat n(\bm r,t)

(8.106A)

v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ka^3\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm R_k)

として、位置 \bm R_k に体積 a^3 高さ v_i のポテンシャルピークを作る不純物が存在して、 その場所の電子密度に比例するエネルギーを与えるものとする。

N_i は不純物の数であり、個々の不純物は k=1,2,\dots,N_i のラベルで区別する。 (ラベルを i にすると紛らわしい)

ポテンシャルの値からエネルギーの平均値をあらかじめ引いておくことで そのフーリエ成分の \bm k=\bm 0 の成分をゼロにしておくと、 後に便利である。(この性質は後で多用される)

(8.107)

v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ka^3\left(\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm R_k)-\frac{1}{V}\right)

\int_V d^3r\delta^3(\bm r-\bm R_k)=\int_V d^3r / V = 1 に注意せよ。

(8.24) あたりで行ったのと同様にして交換子を計算できる。

(8.108)

[V_i(t),c(\bm r,t)]=-v_i(\bm r)c(\bm r,t)

この H_i=H_0+V_i に対する Green 関数 g は (8.105) より、

(8.109)

&math( &g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [V_i(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')

  1. \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)v_i(\bm r_1)g(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')\\ );

次元について:

  • Green 関数は元々 \hat n すなわち電子数密度なので (1/体積) の次元を持つ。
  • したがって、 d^3r g_0 で無次元
  • v_i は (エネルギー) の次元で、 d\tau_1/\hbar は (エネルギーの逆数) の次元
  • したがって、 d\tau_1 v_i/\hbar で無次元
  • それらを除くと左辺・右辺共に Green 関数の次元となり、正しい
  • すなわち 1/\hbar が必要なのは間違いない

(8.66) および () より

(8.110)

&math( &g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &= g_0(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\rightarrow}d\tau_1\int d^3r_1 g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow)v_i(\bm r_1) g(\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\leftarrow}d\tau_1\int d^3r_1 g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow)v_i(\bm r_1) g(\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &= g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_0}^{t_\infty} dt_1\int d^3r_1 g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_\infty}^{t_0}dt_1\int d^3r_1 g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &= g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

  • g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big] );

ここで、(8.70)〜(8.73) を用いて、

g_0^t\,g^<-g_0^<\,g^{\overline t}=(g_0^r+g_0^<)g^<-g_0^<(-g^a+g^<)=g_0^r\,g^<+g_0^<\,g^a

より、

(8.111)

&math( &g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

  1. g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big] );

同様にして、

(8.112)

&math( &g^>(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^>(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^>(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

  1. g_0^>(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big] );

(8.113)

&math( &g^r(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\theta(t-t')\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

  • g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]\\ &= g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')
  1. \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1 g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t'));

&math( &g^a(\bm r,t,\bm r',t')\\ &= g_0^a(\bm r,t,\bm r',t')

  1. \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1 g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t') );

ここで (8.38) より g_?^a(t,t')\propto \theta(t'-t) および g_?^r(t,t')\propto \theta(t-t') なので、

  • \theta(t-t')g_{\textcolor{red}{0}}^a(t,t_1)g^a(t_1,t')\propto\theta(t-t')\theta(\textcolor{red}{t_1-t})\theta(\textcolor{red}{t'-t_1})=0
  • \theta(t'-1)g_{\textcolor{red}{0}}^r(t,t_1)g^r(t_1,t')\propto\theta(t'-t)\theta(\textcolor{red}{t-t_1})\theta(\textcolor{red}{t_1-t'})=0
  • \theta(t-t')g_?^r(t,t')=g_?^r(t,t')
  • \theta(t'-t)g_?^a(t,t')=g_?^a(t,t')

を用いた。

g^a および g^r がそれぞれ閉じた方程式を満たすことはよく知られた事実。

以上を省略形にまとめると、

  • G^<=g_0^<+(g_0^rVG^<+g_0^<VG^a)
  • G^>=g_0^<+(g_0^rVG^>+g_0^>VG^a)
  • G^r=g_0^r+g_0^rVG^r
  • G^a=g_0^a+g_0^aVG^a

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