スピントロニクス理論の基礎/9-1B のバックアップ(No.9)

不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正の必要性 †

(9.28)

&math( &\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=

• i \textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}} \sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\ &\hspace{1.5cm} \phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2 \sum_{\bm k_1}\left[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \right]^< );

この補正が出てくる理由が分からない。

(8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り 近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・

ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは

• (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと
• (8.119) の不純物平均
• (8.123) の実部は無視できるのか

くらい？

1. (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない
2. (9.5) 式の を で展開した形に似ている
3. それならなぜ (9.28) 式の は でないのか？
4. この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに 気付かなかった？

あたりが疑問。

 &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)
 \Big(
   \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^<}
   +\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q'}\Big[
     g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^rv(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\

    +g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^<v(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a
   \Big]\\ &\hspace{10cm}\cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
 \Big)\\
+&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)
 \Big(
   \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a}
   +\int \frac{\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q'}\ \ \, 
     g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a
        \\&\hspace{10cm} \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
 \Big)

 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\

 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^r v(\bm q'',\Omega'')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^< v(\bm q'',\Omega'')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a \\

 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega)
     g_{0\bm k',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega)
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) 
     g_{0\bm k',\omega'}^a 

 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
     g_{0\bm k',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
     g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

 &g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^r v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
     g_{0\bm k',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^< v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
     g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

 &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r g_{0\bm k',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^< g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =

 &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') \big( \underline{g_{0\bm k',\omega'}^a} - g_{0\bm k',\omega'}^r \big)\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     f(\omega')\big( g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a - \underline{g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r} \big) g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) \big( \underline{g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} - g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \big) v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&f(\omega)\big( g_{0\bm k,\omega}^a - \underline{g_{0\bm k,\omega}^r} \big) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =

-&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') g_{0\bm k',\omega'}^r \\
+&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     f(\omega') g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
-&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&f(\omega) g_{0\bm k,\omega}^a g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

補正項を評価する †

ようやく教科書を読み進められる。

(9.29)

&math( \rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)\,&=

• i\textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}} \sum_{\bm k,\bm q} \int\frac{d\omega}{2\pi} \int\frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{i\Omega t} \phi(\bm q,\Omega) n_iv_i^2 \\ & \times \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[ \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a \\ & \hspace{3cm} + f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a \\ & \hspace{3cm} - f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r \Big] );

和の部分を略記すると、

&math( \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[ \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) & g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\

1. f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} & g_{\bm k -}^a\, g_{\bm k_1-}^a\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\

• f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} & g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^r\, g_{\bm k +}^r \Big] );

括弧内は の項が支配的で、 や の項は小さいと書かれているが、 まだ納得はいっていない。

恐らく (9.8-1) と (9.8-2) との比較と同様の話になるのだと思うけれど、後で見直す。

支配的と言われる項は、

(9.30)

&math( &\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle \Big( f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)-f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)) \Big) g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \Omega f'(\omega) \, g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & =

• \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm k_1} \Omega \, g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k_1-,0-}^r\, g_{\bm k_1+,0+}^a\, g_{\bm k +,0+}^a \\ & =
• \Omega g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k +,0+}^a \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm k_1} g_{\bm k_1-,0-}^r\, g_{\bm k_1+,0+}^a\ \\ & =
• \Omega g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k +,0+}^a I_{\bm q,\Omega} );

となって、これは (9.8) に の掛かった項となる。

したがって、

(9.32)

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)+\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=

• \textcolor{red}{\frac{e^{2}}{a^3}} \nu(0) \sum_{\bm q} \int\frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega)\Big(1-i\Omega\tau(1+n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega})\Big) );

I_q,Ω を評価する †

すでに (9.8-1) で見たように のゼロ次成分は、

と評価され、ポテンシャルをまたがない項のみを評価した (9.8-1) とまったく同じ寄与を与え、なおかつ符号も同じである。

さらに高次の項（例えば図 9.4 の など）からの寄与も、 すべて同じ寄与を持つため、全体の和が発散してしまう。

取りこぼされている項について †

図 9.4 の は という５次の項を表しており、これを開いた図で示せば

のように、入れ子の山の中央に×が来る形になっている。

同様に、 のとき図 9.4 のすべての は、 上のような入れ子の山しか数えていない。

例えば の前に ４次の なども一定の寄与を与えるはずであるし、

それによく似た 等も出てくる。

より高次の項には他にも様々な形が考えられるが、それらはすべて無視されている。

これらを無視できる理由を考えるには 8-10 でやったような項同士の比較が必要になるはず。

8-10 の流儀で行けば、

• 複雑な連山は最単純山より寄与が小さい

の一言で片付けられてしまうのだけれど、 果たしてそれでよいのかどうか・・・

8-10 で見たのとまったく同様に、 高次には比較的「小さい」項であっても非常に「多くの」項が出るので、 かなり気になる。

8-10 の結果では解析的な考察から高次項は件の項を除いてきれいさっぱり打ち消し合うことが分かったが、 ここでも何か同様の裏付けが欲しいところ。

高次の項が同じ寄与を与えることの確認 †

を与える項は、 個の山が入れ子になって、 中央に×を含む項なので、

&math( &\left(\frac{n_iv_i^2}{N}\right)^n \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1,\bm k_2,\dots,\bm k_n} {\textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) } g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_2-}^r\,\dots g_{\bm k_n-}^r\, g_{\bm k_n+}^a\,\dots g_{\bm k_2+}^a\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a\\ &=\left(\frac{n_iv_i^2}{N}\right)^n \int\frac{d\omega}{2\pi} {\textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) }

              g_{\bm k  -}^r\,g_{\bm k  +}^a

\sum_{\bm k_1} g_{\bm k_1-}^r\,g_{\bm k_1+}^a \sum_{\bm k_2} g_{\bm k_2-}^r\,g_{\bm k_2+}^a \dots \sum_{\bm k_n} g_{\bm k_n-}^r\,g_{\bm k_n+}^a \\ &=\int\frac{d\omega}{2\pi} {\textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) }

             g_{\bm k -}^r\,g_{\bm k +}^a

\left[\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm k'} g_{\bm k'-}^r\,g_{\bm k'+}^a\right]^n\\ &=\int\frac{d\omega}{2\pi} {\textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) }

             g_{\bm k -}^r\,g_{\bm k +}^a

\Big[n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}\Big]^n );

したがって、すべての項を足し合わせれば、

&math( \sum_{n=1}^\infty \rho^{(n)} \propto \sum_{n=1}^\infty \Big[n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}\Big]^n = \Big[n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}\Big] \sum_{n=0}^\infty \Big[n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}\Big]^n );

となって、

• ならば となり発散するが、
• ならば以下の値に収束する。

&math( \sum_{n=1}^\infty \rho^{(n)} \propto \frac{n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}}{1-n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}} );

、 の時に問題が起きないのは この和に が掛かっており、 結果的に積が有限に収まるためと考えられる。

→ 空間的・時間的に一様な成分は から除いておくべきと言うこともあるのかも

q, Ω の低次の項を組み込むことで発散が押さえられる †

の低次の項を取り入れると発散しないらしい。

つまり、上記の値の実部が必ず１より小さくなるのだと思う。

I_q,Ω への q, Ω の寄与を「小さい」と見なせる条件 †

以下では への の寄与が小さいと仮定して、(9.33)〜(9.37) のように級数展開する。

実はこの内容は (9.8) のところで既にやった。
というか、まるっきり天下りで与えられていた結果の説明がこんなところに出てきたか、という感じ。

&math( \varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}=\varepsilon_{\bm k}+\left[2\cdot\frac{\hbar^2}{2m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}+ \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{q}{2}\right)^2\right]\equiv \varepsilon_{\bm k}+\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}} );

を使うと、

(9.33)

&math( g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r =g_+^r &=\frac{1}{\hbar(\omega+\Omega/2)-\varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\ &=\frac{1}{\hbar\omega+\hbar\Omega/2-\varepsilon_{\bm k}-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\ &=\frac{1}{1/g_+^r-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2}\\ &=g_+^r\frac{1}{1+g_+^r(-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2)}\\ );

• [Math Conversion Error]
  
  
  は Fermi エネルギーに鋭いピークを持ち、 その時の値は 程度となる？
• 輸送現象には の電子が重要である？

これらの仮定は疑問だけれど、とりあえず進める。

したがって、 と置けば、

&math( &g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r =g^r\frac{1}{1+g^r(-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2)} \\ &= \frac{\tau}{\hbar}\frac{1}{1+\frac{\tau}{\hbar}(-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2)} );

したがって、

&math( &\frac{\tau}{\hbar}\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}} \ll 1 );

(9.34-2)

&math( \tau\Omega/2 \ll 1 );

が、 による級数展開が許される条件となる。

前者は積が最も大きくなる の時に を与えれば、

(9.34-1)

&math( &\frac{\tau}{\hbar}\frac{\hbar^2}{2m}\left(\bm k\cdot\bm q+\left(\frac{q}{2}\right)^2\right)\\ &=\tau\frac{\hbar\bm k}{m} \cdot\frac{\bm q}{2}\\ &<\tau\frac{\hbar k}{m} \cdot\frac{q}{2}\\ &\sim\tau\frac{\hbar k_F}{m} \cdot\frac{q}{2}\\ &=\tau v_F \cdot\frac{q}{2}\\ &=\ell \cdot\frac{q}{2} \ll 1 );

が条件となる。

ただし、 はフェルミ速度、 は平均自由行程である。

Fermi エネルギーと Fermi 波数が g のピークを与えるか？ †

上記で Fermi エネルギーと Fermi 波数を仮定する理由には納得がいってない。

今考えているのは低温近似により なので、 に を入れても は大きくならない。

むしろ大きくなるのは の近傍である。

恐らく教科書の記述は何か勘違いしていると思われる。

ではどうして Fermi レベル付近を見れば良いとされるのか？

の 依存性は上で見たとおり の絶対値に比例して大きくなるから、計算に主に関わってくるもっとも大きな で１次近似が許されれば、それより小さなすべての で近似が許される。

ちょっと物理的な背景を理解できていないのだけれど、 にそのような の最大値としての役割を持たせられる理由をうまく説明できれば、 上記のように での近似の有効性が意味を持ってくるのではないだろうか。

q の２次、Ωの１次までを取り込んで評価する †

9-1A で私が自分で を評価した際には、どちらも１次で打ち切ってしまったが、 どうやら については２次まで必要になるらしい？

(9.33) を に見立てて展開すると、

(9.36)

&math( g_{\bm k-\frac{q}{2},0-\frac{\Omega}{2}}^r= g_{\bm k,0}^r

1. g_{\bm k,0}^r{}^2 \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\Big(-\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}+\left(\frac{q}{2}\right)^2\Big)+\frac{\textcolor{red}{\hbar}\Omega}{2}\Bigg]
2. g_{\bm k,0}^r{}^3\Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2
3. \cdots );

&math( g_{\bm k+\frac{q}{2},0+\frac{\Omega}{2}}^a= g_{\bm k,0}^a

1. g_{\bm k,0}^a{}^2 \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\Big(+\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}+\left(\frac{q}{2}\right)^2\Big)-\frac{\textcolor{red}{\hbar}\Omega}{2}\Bigg]
2. g_{\bm k,0}^a{}^3\Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2
3. \cdots );

を得る。

これらを代入すると、

&math( I_{\bm q,\Omega} = \frac{1}{N}\sum_{\bm k} & \Bigg\{ g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a

1. (g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a\textcolor{red}{+}g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a) \frac{\hbar^2}{m}\left(\frac{q}{2}\right)^2

• (g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a) \frac{\textcolor{red}{\hbar}\Omega}{2}\\ & + (g_{\bm k}^r{}^3 g_{\bm k}^a - g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 + g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^3) \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2

1. \cdots \Bigg\} );

教科書では を使って と書いている。

教科書では の項の符号が間違っていると思うのだけれど・・・

q² の項をまとめる †

(9.16) と同様に評価してみる。

&math( & \sum_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{m} \bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\right)^2 \big[ \big( g_{\bm k}^r{}^3 g_{\bm k}^a + g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^3 \big) + g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \big] \\ &= \left(\frac{\hbar^2}{m}\right)^2 \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \sum_{\bm k} k_ik_j \big( g_{\bm k}^r{}^3 g_{\bm k}^a + \frac{1}{2}g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 + \frac{1}{2}g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 + g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^3 \big) );

&math( \\ &= \frac{\hbar^2}{m} \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \sum_{\bm k} k_j \big( g_{\bm k}^r \frac{\PD g_{\bm k}^r}{\PD k_i} g_{\bm k}^a + \frac{1}{2}g_{\bm k}^r{}^2 \frac{\PD g_{\bm k}^a}{\PD k_i} + \frac{1}{2}\frac{\PD g_{\bm k}^r}{\PD k_i} g_{\bm k}^a{}^2 +

1. g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a \frac{\PD g_{\bm k}^a}{\PD k_i} \big) \\ &= \frac{\hbar^2}{m} \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \sum_{\bm k} k_j \frac{\PD}{\PD k_i} \Big( \frac{1}{2}g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a+\frac{1}{2}g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^2 \Big) );

&math( \\ &=

• \frac{\hbar^2}{m} \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \delta_{ij} \sum_{\bm k} \frac{1}{2}\big(g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^2\big) \\ &=
• \frac{\hbar^2q^2}{2m} \sum_{\bm k} \big(g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^2\big) );

したがって、教科書では間違っていた の項と打ち消し合って、

&math( & (g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a\textcolor{red}{+}g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a) \frac{\hbar^2}{m}\left(\frac{q}{2}\right)^2

1. (g_{\bm k}^r{}^3 g_{\bm k}^a - g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 + g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^3) \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2 \\ &=

• 2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2 \\ &=
• \frac{\hbar^4}{\textcolor{red}{2}m^2}(\bm k\cdot \bm q)^2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 );

となる。

したがって、

(9.39)

&math( I_{\bm q,\Omega}=\frac{1}{N} \sum_{\bm k} \left[

g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a

1. \frac{\textcolor{red}{\hbar}\Omega}{2}\big(g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a - g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^2 \big)

• \frac{\hbar^4}{\textcolor{red}{2}m^2}(\bm k\cdot\bm q)^2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \right] );

先に見たとおり第一項は１になる。

の項は、この式は教科書のように 自乗×絶対値 の形に書けば、 詳しい計算をせずとも負になることが分かる。

の項は虚数になるため、全体として実部は１より小さくなる。

(9.40) の評価 †

第１式は通常通りで、

&math( &\frac{1}{N}\sum_{\bm k}g_{\bm k}^\alpha{}^2g_{\bm k}^{\alpha'} \\&= \pi i \frac{\PD}{\PD \varepsilon} \left\{ \frac{\nu(\varepsilon)}{-\varepsilon\mp i\delta_\varepsilon} \right\}\bigg|_{\varepsilon=\pm i\delta_\varepsilon}

• \pi i \left\{ \frac{\nu(\varepsilon)}{(-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon)^2} \right\}\bigg|_{\varepsilon=\mp i\delta_\varepsilon} \\&= \pi i \left\{ \frac{\nu'(\varepsilon)}{-\varepsilon\mp i\delta_\varepsilon} + \frac{\nu(\varepsilon)}{(-\varepsilon\mp i\delta_\varepsilon)^2} \right\}\bigg|_{\varepsilon=\pm i\delta_\varepsilon} \pi i \left\{ \frac{\nu(\varepsilon)}{(-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon)^2} \right\}\bigg|_{\varepsilon=\mp i\delta_\varepsilon} \\&= \pi i \left\{ \frac{\nu'(\pm i\delta_\varepsilon)}{\mp 2i\delta_\varepsilon} + \frac{\nu(\pm i\delta_\varepsilon)}{(\mp 2i\delta_\varepsilon)^2} \right\} \pi i \left\{ \frac{\nu(\mp i\delta_\varepsilon)}{(\pm 2i\delta_\varepsilon)^2} \right\} \\&= \pi i \left\{
• \frac{\nu'(0)}{2i\delta_\varepsilon} \mp \frac{\nu(0)}{(2\delta_\varepsilon)^2} \right\} \pi i \left\{ \pm \frac{\nu(0)}{(2\delta_\varepsilon)^2} \right\} \\&=
• \frac{\pi \nu'(0)}{2 \delta_\varepsilon} \mp \frac{\pi i\nu(0)}{2\delta_\varepsilon^2} );

(複号は上が 下が ) なので、

(9.40-1)

&math( &\frac{1}{N}\sum_{\bm k} \big( g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a - g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a {}^2 \big) = - \frac{\pi i\nu(0)}{\delta_\varepsilon^2} = - \pi i\nu(0) \Big(\frac{2\tau}{\hbar}\Big)^2 );

第２式は が入っているのでちょっと大変。

&math( &- \frac{\textcolor{red}{2}}{N}\sum_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{m} \bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\right)^2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\ &=

• \textcolor{red}{2}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right)^2 \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \frac{1}{N}\sum_{\bm k} k_ik_j g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\ &=
• \textcolor{red}{2}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right)^2 \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j\ \frac{a^3}{(2\pi)^3}\iiint dk\,kd\theta\,k\sin\theta d\varphi\, \delta_{ij} (k\cos\theta)^2 \left[\frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_{\bm k})\right] g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 );

&math( \\ &=

• \textcolor{red}{2}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right)^2 \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \delta_{ij}\ \frac{a^3}{(2\pi)^3} \int 2\pi k^2 dk\, k^2 \Big[-\frac{1}{3}(\cos\theta)^3\Big]_0^\pi \frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_{\bm k}) g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\ &=
• \frac{\textcolor{red}{2}}{3}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right) \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \delta_{ij}\ \frac{a^3}{(2\pi)^3} \int 4\pi k^2 dk\, \varepsilon_{\bm k}\frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_{\bm k}) g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 );

&math( \\ &=

• \frac{\textcolor{red}{2}}{3} \left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right) \int d\varepsilon\, \varepsilon \, \nu(\varepsilon) g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\ &=
• \frac{\textcolor{red}{2}}{3} \left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right) \left[ \pi i \frac{\PD}{\PD z} \left\{ \frac{z \nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F-i\delta_z)^2} \right\} \bigg|_{z=i\delta_z+\varepsilon_F}

1. \pi i \frac{\PD}{\PD z} \left\{ \frac{z \nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F+i\delta_z)^2} \right\} \bigg|_{z=-i\delta_z+\varepsilon_F} \right] );

ここで、

&math( &\pi i \frac{\PD}{\PD z} \left\{ \frac{z \nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F \mp i\delta_\varepsilon )^2} \right\} \bigg|_{z=\pm i\delta_\varepsilon +\varepsilon_F} \\&= \pi i \left\{ \frac{\nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F \mp i\delta_\varepsilon )^2} + \frac{z \nu'(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F\mp i\delta_\varepsilon )^2} + \frac{2 z \nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F\mp i\delta_\varepsilon )^3} \right\} \bigg|_{z=\pm i\delta_\varepsilon +\varepsilon_F} \\&= \pi i \left\{ \frac{\nu(\pm i\delta_\varepsilon )} {(\mp 2i\delta_\varepsilon )^2} + \frac{(\varepsilon_F \pm i\delta_\varepsilon ) \nu'(\pm i\delta_\varepsilon )} {(\mp 2i\delta_\varepsilon )^2} + \frac{2(\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon ) \nu(\pm i\delta_\varepsilon )} {(\mp 2i\delta_\varepsilon )^3} \right\} \\&= \frac{\pi i}{4\delta_\varepsilon^2} \left\{ \mp\nu(0) \mp\varepsilon_F \nu'(0)

• i\delta_\varepsilon \nu'(0)

1. \frac{\varepsilon_F \nu(0)} {i\delta_\varepsilon } \pm\nu(0) \right\} \\&= \frac{\pi }{4\delta_\varepsilon^2} \left\{ \mp i\varepsilon_F \nu'(0)
2. \frac{\delta_\varepsilon \nu(0)}{2\varepsilon_F}
3. \frac{\varepsilon_F \nu(0)} {\delta_\varepsilon } \right\} );

したがって、

(9.40-2)

&math( &- n_iv_i^2\frac{\textcolor{red}{2}}{N}\sum_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{m} \bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\right)^2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\&=

• n_iv_i^2\frac{\textcolor{red}{2}}{3}\left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right)\frac{\pi }{2\delta_\varepsilon^2} \left\{

1. \frac{\delta_\varepsilon \nu(0)}{2\varepsilon_F}

• \frac{\varepsilon_F \nu(0)} {\delta_\varepsilon } \right\} \\&=
• \frac{1}{3}n_iv_i^2\pi \nu(0)\left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right)\frac{\varepsilon_F}{\delta_\varepsilon^3} \left\{ \frac{\delta_\varepsilon^2}{2\varepsilon_F^2}

1. 1 \right\} \\&\sim

• \frac{1}{3}\left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right)\varepsilon_F\left(\frac{2\tau}{\hbar}\right)^2\\ );

教科書に出てくる

&math( Dq^2\tau );

という項は、

(9.42)

&math( D\equiv\frac{\hbar^2k_F^2}{3m^2}\tau );

を入れると、

&math( Dq^2\tau=\frac{\hbar^2k_F^2}{3m^2}q^2\tau^2=\frac{1}{3}\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}\frac{\hbar^2q^2}{2m}\frac{4\tau^2}{\hbar^2} =n_iv_i^2 \frac{\pi\nu(0)}{3}\varepsilon_F\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big(\frac{2\tau}{\hbar}\Big)^3 );

となって、上記の値と一致する。

教科書は (9.39) と (9.40-2) とで 倍の因子を２回間違って、結果的には合っているみたい。

(9.41)

&math( n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega}=1-(Dq^2\tau+i\Omega\tau)+\dots );

&math( I_{\bm q,\Omega}=\frac{1}{n_iv_i^2}\Big[1-(Dq^2\tau+i\Omega\tau)+\dots\Big] =\frac{2\tau\pi\nu(0)}{\hbar}\Big[1-(Dq^2\tau+i\Omega\tau)+\dots\Big] );

(9.43) は (9.30) と見比べると が２乗で掛かっていたのを見落としている気がするんだけれど、 どうなんだろう？

(9.44) も、

1. では を仮定しておいて高次項ではより正確に組み込んでいる不整合
2. たぶん、0 次と 1 次との間に余計な項が出現している

という点でおかしい。（結果的には微少量しか異ならないけど）

以下でちゃんとやってみたい。

ρ⁽⁰⁾ を見直す †

すべての項を足し合わせる前に について反省すると、

(9.7)

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=

• i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\ &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big)

1. f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big] );

(9.8-1)

&math( \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^r_-g^a_+ = \frac{\Omega}{2\pi}I_{\bm q,\Omega} = -\frac{i\nu(0)}{\hbar} i\Omega\tau \cdot n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega} );

(9.8-2)

&math( \Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} \frac{1}{2}\left(g^r_-g^r_++g^a_-g^a_+\right) \sim \frac{\Omega}{2\pi}I_{\bm q,\Omega} \left(\frac{\hbar}{2\tau\varepsilon_F}\right) );

(9.23), (9.24)

&math( &\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)\Big( g^a_-g^a_+

• g^r_-g^r_+\Big) =
• \frac{i\nu(0)}{\hbar} \left[1
• \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2

1. O(\Omega q^2)
2. \frac{1}{48}\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \right] \sim

• \frac{i\nu(0)}{\hbar} );

したがって、

(9.26) に の評価を組み入れれば、

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)=

• \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ 1- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 -i\Omega\tau\cdot n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega} \right] );

すべてを加える †

&math( \sum_{n=0}^\infty \rho^{(n)}(\bm r,t) &=

• \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ 1- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 -i\Omega\tau \big( n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega} + (n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega})^2 + \dots \big ) \right] \\&=
• \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ 1- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 -i\Omega\tau \frac{ n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega} }{1 - n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}} \right] \\&=
• \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ 1- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 -i\Omega\tau \frac{ 1-Dq^2\tau-i\Omega\tau }{Dq^2\tau+i\Omega\tau} \right] \\&=
• \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ 1- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 - \frac{ i\Omega\tau }{Dq^2\tau+i\Omega\tau} \right] \\&=
• \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ \frac{ Dq^2 }{Dq^2+i\Omega}- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 \right] \\&=
• \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ \frac{ Dq^2 }{Dq^2+i\Omega} \right] \\&=
• \frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ \frac{ 1 }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} \right] );

(9.26) に の評価を組み入れたのは徒労だった（汗

の項は の項よりも小さいため落とせる。