射影・直和・直交直和 のバックアップ(No.27)

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目次 †

ベクトルの成分 †

射影.png

規格化されたベクトル \bm e に対して、ベクトル \bm x を

  • \bm e に平行な成分 \bm x_{\parallel}=x_\parallel \bm e と、
  • \bm e に垂直な成分 \bm x_{\perp} とに分け、

\bm x=\bm x_{\parallel}+\bm x_{\perp} としたい。

両辺に左から \bm e をかければ、

(\bm e,\bm x)=x_{\parallel}(\bm e,\bm e)+(\bm e,\bm x{\perp})=x_{\parallel}

が得られ、

\bm x_{\parallel}=(\bm e,\bm x)\bm e
\bm x_{\perp}=\bm x-\bm x_\parallel=\bm x-(\bm e,\bm x)\bm e

としてこれらのベクトルを求められる。
（同じことをグラム・シュミットの直交化で行った）

この \bm x_\parallel を \bm x の \bm e への射影と呼ぶ。

\bm e に垂直な光を \bm x に当てたとき、 \bm e 軸上にできる影が \bm x_\parallel であるという気持ちが込められている → 「射影」

注意１ †

規格化されていない \bm v 方向の成分を求めるなら、 \bm e=\bm v/\|\bm v\| だから、

\bm x_{\parallel}=(\frac{\bm v}{\|\bm v\|},\bm x)\,\frac{\bm v}{\|\bm v\|}=\frac{(\bm v,\bm x)}{\|\bm v\|^2}\bm v

注意２ †

複素ベクトルに対しては (\bm x,\bm e)\ne(\bm e,\bm x) なので、 どちらから掛けるかが重要である。

(\bm e,\bm x)=(\bm e,x_\parallel \bm e)=x_{\parallel} だが、
(\bm x,\bm e)=(x_\parallel \bm e,\bm e)=\overline{x_{\parallel}} となってしまう。

注意３ †

この授業では (\bm a,k\bm b)=k(\bm a,\bm b) となる内積の公理を採用しているため 上記が正しいが、

多くの教科書では (k\bm a,\bm b)=k(\bm a,\bm b) を採用しているため、 そのような公理系では左ではなく右から掛ける必要がある。

射影演算子 †

\bm x から \bm x_\parallel を求める演算、

P_{\bm e}:\bm x\mapsto\bm x_\parallel

は線形変換であり、 P_{\bm e} は射影変換あるいは射影演算子と呼ばれる。

正規直交基底 A の下での数ベクトル表現を考えれば、

　&math( \because (\bm a,\bm b)&=\sum_k^n \overline{a_k}b_k=\begin{pmatrix}\overline a_1&\overline a_2&\dots&\overline a_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}={}^t\overline {\bm a}\bm b=\bm a^\dagger\bm b );

を用いて、

　&math( (\bm x_{\parallel})_A &=(\bm e_A,\bm x_A)\bm e_A\\ &=\{\bm e_A^\dagger \bm x_A\}\bm e_A\\ &=\bm e_A\{\bm e_A^\dagger \bm x_A\}\hspace{1cm}\because \{\ \}内はスカラー\\ &=\{\bm e_A\bm e_A^\dagger\}\bm x_A\hspace{1cm}\because 結合法則\\ &=(P_{\bm e})_A\,\bm x_A\\ );

すなわち P_{\bm e} の表現は、

&math( (P_{\bm e})_A&=\bm e_A\bm e^\dagger_A= \begin{pmatrix} e_1\\e_2\\\vdots\\e_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{ e_1}&\overline{ e_2}&\dots&\overline{ e_n} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} e_1\overline{e_1}&e_1\overline{e_2}&\cdots&e_1\overline{e_n}\\ e_2\overline{e_1}&e_2\overline{e_2}&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ e_n\overline{e_1}&\cdots&\cdots&e_n\overline{e_n} \end{pmatrix} );

のような n 次正方行列になる。

射影演算子はエルミートになる。 †

上記の「具体的な形」を見て分かるとおり、 &math( (P_{\bm e})_A^\dagger=\big(\bm e_A\bm e_A^\dagger\big)^\dagger=\big(\bm e_A^\dagger\big)^\dagger\bm e_A^\dagger=\bm e_A\bm e_A^\dagger=(P_{\bm e})_A );

より、射影演算子の表現行列はエルミートである。

このとき、任意のベクトル \bm x,\bm y に対して

　&math( (\bm x,P_{\bm e}\bm y)=(P_{\bm e}^\dagger\bm x,\bm y)=(P_{\bm e}\bm x,\bm y) );

が成り立ち、このような演算子はエルミート演算子と呼ばれる。

ここまで、あるベクトルに平行な直線（一次元空間）への射影を考えたが、 以下では平面への射影や、もっと一般に n 次元空間への射影を考える。

そのためにまずはいくつか準備を行う。

復習１：線形空間 †

K 上の線形空間とは、ベクトルの和とスカラー倍について閉じた集合のことだった。

  • 任意の \bm x,\bm y\in V に対して、必ず \bm x+\bm y\in V
  • 任意の \bm x\in V,k\in K に対して、必ず k\bm x\in V

復習２：部分空間 †

線形空間の部分集合 W\subset V がベクトルの和とスカラー倍について閉じている場合、 W も線形空間となり、 W は V の部分空間であるという。

\mathbb R^3 の部分空間：

  • ０次元の部分空間は原点のみからなる集合 \set{\bm 0}
  • １次元の部分空間は原点を通る直線　　　 \set{\bm p=s\bm a|s\in K}
  • ２次元の部分空間は原点を通る平面　　　 \set{\bm p=s\bm a+t\bm b|s,t\in K}
  • ３次元の部分空間は \mathbb R^3 そのもの

同じ直線的でも、原点を通らない \set{\bm p=s\bm a+\bm b|s\in K} は線形空間にならない。（和やスカラー倍が元の集合からはみ出す）

復習３：集合の積と和 †

集合 A と集合 B の積と和は、

積（交わり）
A\cap B=\set{x|x\in A\,\mathrm{かつ}\,x\in B}
A および B の両方に含まれる要素の集合
A キャップ B と読む。
和（結び）
A\cup B=\set{x|x\in A\,\mathrm{または}\,x\in B}
A あるいは B の少なくとも片方に含まれる要素の集合
A カップ B と読む。
積集合和集合.png


記号の覚え方：

  • 「 x\in A\,\mathrm{かつ}\,x\in B 」は英語では「 x\in A\,\mathrm{and}\,x\in B 」
  • And の A と \cap とは似ている（でしょ？）

以下では、 †

K 上の線形空間 U の部分空間 V,W を考え、
\{\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_n\} , \{\bm w_1,\bm w_2,\dots,\bm w_m\} をそれぞれの基底とする。
( \dim V=n,\ \dim W=m )

交空間 $V\cap W$ †

交わり V\cap W は線形空間であり、交空間と呼ばれる。

証明：
\bm x,\bm y\in V\cap W,\ k\in K とする。
\bm x,\bm y\in V かつ \bm x,\bm y\in W であるから、
\bm x+\bm y\in V かつ \bm x+\bm y\in W また k\bm x\in V かつ k\bm x\in W
すなわち、 \bm x+\bm y, k\bm x\in V\cap W であり、
V\cap W はベクトルの和とスカラー倍に対して閉じている。

交わり V\cap W が空集合になることはない。

線形空間は必ず \bm 0 を含むから、常に \bm 0\in V\cap W である。

V\cap W=\set{\bm 0} のとき、 \dim(V\cap W)=0

1D_cap_2D.png　 2D_cap_2D.png

和集合 $V\cup W$ は必ずしも線形空間にならない †

1D_cup_1D.png

\bm v\in V, \bm w\in W とすれば、
\bm v, \bm w\in V\cap W でない限り、
\bm v+\bm w\notin V\cup W であるためだ。

すなわち、和集合は必ずしもベクトル和に対して閉じていない。

和空間 $V+W$ †

和集合をベクトル和について閉じるように拡大した線形空間が和空間 V+W である。

V+W\equiv\set{\bm x=\bm x_V+\bm x_W|\bm x_V\in V,\bm x_W\in W}

和空間の次元 †

詳しい証明は省くが、

　 \dim (V+W)=\dim V+\dim W-\dim(V\cap W)

の関係がある。

これは、 V\cap W の基底にいくつかベクトルを加えて V の基底を作成し、 同じ V\cap W の基底にいくつかベクトルを加えて W の基底を作成したならば、 それらすべてのベクトルを合わせると V+W の基底となる、という事実による。

2D_cap_2D.png

例：

３次元空間に２つの２次元空間（原点を通る２枚の平面） V,W を取れば、２つの平面が平行でない限りその和空間は３次元空間全体となる。このとき２平面の交線が V\cap W に相当し、これは原点を通る直線つまり１次元空間となる。すなわち、

&math( \underbrace{\dim(V+W)}_3=\underbrace{\dim V}_2+\underbrace{\dim W}_2-\underbrace{\dim(V\cap W)}_1 );

直和 $V\dot +W$ †

V\cap W=\{\bm 0\} のとき、 \dim(V+W)=\dim V+\dim W である。

このとき「和空間 V+W は V と W の直和になっている」と言い、

　 V+W=V\dot +W

と書く。

  • 直和は新たな演算ではない
  • 「～～の場合に V+W は直和となる」「～～の場合には直和にならない」といった文脈で用いられる。
  • V の基底と W の基底を合わせると、そのまま V\dot +W の基底になる
    ↔ \dim V+\dim W=\dim(V\dot +W)

成分分解の一意性 †

任意の \bm x\in V\dot +W に対して、

　 \bm x=\bm x_V+\bm x_W\ \ \ \bm x_V\in V, \bm x_W\in W

の分解は一意に定まる。

これは、 \bm \delta\in V\cap W を使えば

　&math(\bm x&=\bm x_V+\bm x_W\\ &=(\bm x_V+\bm \delta)+(\bm x_W-\bm \delta)\\ &=\bm x_V'+\bm x_W' );

となり、 \bm x_V'\in V, \bm x_W'\in W も V と W への分解を与えるが、直和であれば \bm delta=\bm 0 に限るから、 常に \bm x_V=\bm x_V', \bm x_W=\bm x_W' となる、ということ。

成分の値はもう一方の空間に依存する †

成分分解のイメージは下図のようなものになる。

1d_dplus_1d.png

同じベクトル \bm x を
　　 V と W に分解したときの \bm x_V と、
　　 V と W' に分解したときの \bm x'_V とは
一般には異なる値になる。

すなわち、ある部分空間の成分は、その部分空間だけでは決まらずに、他の部分空間の取り方にも依存する。

上記の P_{\bm e} とは違い、例えば \bm x から V 成分 \bm x_V を求める演算子 P_V を V の情報のみから簡単に求めることはできないことになる。

V が２次元の時の成分分解のイメージは次の通り。

2D-1D.png

直交する空間 †

V の任意の元が、 W の任意の元と直交するとき、 V と W とは直交すると言う。

直交直和 $V \oplus W$ †

２つの空間が直交する時、その和空間 V + W は V と W の直交直和であるといい、 を V+W=V \oplus W と書く。

このとき、 V,W の正規直交基底を合わせると V \oplus W の正規直交基底となる。

∵ V の正規直交基底は W の正規直交基底とも直交するから

直交直和の成分分解 †

直交直和の成分分解は簡単である。

&math( \bm x=\underbrace{\sum_{k=1}^n c_{k}\bm v_{k}}_{\,\bm x_V}

    +\underbrace{\sum_{k=1}^m d_{k}\bm w_{k}}_{\,\bm x_W});

に対して、 c_k=(\bm v_k,\bm x) より、

&math( \bm x_V&=\sum_{k=1}^n (\bm v_k,\bm x)\bm v_k\\ &=\sum_{k=1}^n P_{\bm v_k}\bm x\\ &=\left(\sum_{k=1}^n P_{\bm v_k}\right)\bm x\\ &=P_V\bm x );

すなわち、

　 P_V\bm x=\sum_{k=1}^n P_{\bm v_k}

が V\oplus W から V への射影演算子となる。

数ベクトルに対しては

　 P_V\bm x=\sum_{k=1}^n \bm v_k\bm v_k^\dagger

である。

射影演算子は V の情報だけから定まり、 W に依存しないことに注意せよ。

エルミート演算子の和はエルミート演算子になるから、 P_V もエルミートである。

直交補空間 †

全体空間 U が U=V\oplus W と表されるとき、 W を V の「直交補空間」と呼び、 W=V^\perp と書く。

ある線形空間 V に対してその補空間は一意に定まる。

　 V^\perp=\set{\bm x\in U|\forall\bm y\in V,(\bm x,\bm y)=0}

つまり全体集合を、ある空間と、それに直交する補空間と、に分解することはいつも可能である。

あるベクトル \bm x を \bm e に平行な成分 \bm x_\parallel と垂直な成分 \bm x_\perp に分ける問題は、それぞれ線形空間 V=\set{\bm p=t\bm e|t\in K} とその直交補空間 V^\perp の成分への分解を表わしていたことになる。

一方、全体空間 U を U=V\dot + W と表せるとき、 W を V の（単なる）「補空間」と呼ぶが、こちらはあまり使われない。

性質 †

  • \bm x\in V のとき P_V\bm x=\bm x
  • \bm x\in V^\perp のとき P_V\bm x=\bm 0
  • E=P_V+P_{V^\perp} ← ∵ \bm x=P_V\bm x+P_{V^\perp}\bm x
  • P_V^2=P_V あるいは P_V(E-P_V)=O
    ∵ P_V\bm x\in V だから、 P_V^2\bm x=P_V\bm x
  • これは、 P_{V^\perp}=E-P_V であり、 P_VP_{V^\perp}=O であることからも理解できる

例 †

\mathbb R^3 の部分空間として \bm a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\bm b=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} で張られる空間 V=\big[\bm a,\bm b\big]\subset \mathbb R^3 を考える。

(1) \mathbb R^3 から V への射影演算子を求めよ。

(2) 直交補空間 V^\perp に正規直交基底を定めよ。

解答：

(1)

\bm a,\bm b から正規直交基底を作る。

\bm b と垂直なのは \begin{pmatrix}s\\t\\s\end{pmatrix} の形のベクトルであることに注意して、 \bm c=\bm a-\bm b=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} とすれば これは V 内にあり \bm b と垂直なベクトルである。

これらを正規化すれば、

　&math(\bm e_1=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}, \bm e_2=\frac{1}{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix});

として正規直交基底が得られる。

したがって、求める射影演算子は

&math( P_V&=\bm e_1\bm e_1^\dagger+\bm e_2\bm e_2^\dagger\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}

  1. \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}
  2. \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix} );

各射影演算子がエルミート（実数行列では対称）になっていることにも注目せよ。


別解：

\bm b,\bm a からシュミットの直交化を用いて正規直交系を作る。

\bm e_1=\frac{1}{\|\bm a\|}\bm a=\frac{1}{\sqrt 14}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}

&math( \bm f_2 &=\bm b-(\bm e_1,\bm b)\bm e_1\\ &=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}

  • \frac{1}{14}\cdot 2\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}-8\\-2\\4\end{pmatrix} =\frac{2}{7}\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix} );

&math( \bm e_2=\frac{1}{\|\bm f_2\|}\bm f_2=\frac{1}{\sqrt{21}}\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix} );

&math( P_V&= \frac{1}{14}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+ \frac{1}{21}\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4&-1&2\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}1&2&3\\&4&6\\&&9\end{pmatrix}+ \frac{1}{21}\begin{pmatrix}16&4&-8\\&1&-2\\&&4\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{42}\begin{pmatrix}3+32&6+8&9-16\\&12+2&18-4\\&&27+8\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{42}\begin{pmatrix}35&14&-7\\&14&14\\&&35\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix}\\ );

射影演算子はエルミートになるため、左下部分の計算は省略した。

P_V の形は正規直交基底の取り方によらないことに注目せよ。

(2) \mathbb R^3 が３次元、 V が２次元なので、 V^\perp は１次元となる。

\bm e_1,\bm e_2 に垂直なベクトルを１つ挙げれば例えば、 \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}

したがって、

　 V^\perp=\Big[\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\Big]

である。正規直交基底はこれを正規化して、

　 \Big\{\frac{1}{\sqrt 6}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\Big\}

このとき、

　&math( P_{V^\perp}&=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2&1\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&1\end{pmatrix} );

であり、 P_V+P_{V^\perp}=E となることが確かめられる。

演習 †

３次元空間に原点を通る平面 x+y+z=0 を考える。 この平面への射影演算子を求めよ。 またその直交補空間を求めよ。

一般化 †

以上の話は２つ以上の部分空間がある場合にも拡張できて、以下の通りである。

交空間 V_1\cap V_2\cap \dots\cap V_r 全空間の共通部分
和空間 V_1+V_2+\dots+V_r 一般には一次従属な空間たちを内包する空間
直和 V_1\dot +V_2\dot +\dots\dot +V_r 一次独立な空間たちの和空間
直交直和 V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_r 直交する空間たちの和空間

たとえば V_1\cap V_2\cap \dots\cap V_r=(\dots((V_1\cap V_2)\cap V_3)\cap \dots)\cap V_r の意味である。

\cap や + が複数の部分空間から新しい部分空間を作る演算子であるのに比べて、 \dot + や \oplus は 「線形空間同士の演算」 ではなく、 和空間を形成する空間が特殊な条件を満たすことを表現しているに過ぎない。

この違いに注意せよ。

質問・コメント †




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