量子力学Ⅰ/不確定性原理 のバックアップ(No.1)

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量子力学I/波動関数の解釈?

不確定性原理

量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。 不確定性原理は例えば、 x p_x が同時に正確に定まるような状態は存在しない、という形で言い表せる。以下、この項では p_x=p と書き、一次元で考える。

上記を数学的に表わせば、 \sigma_x\cdot\sigma_p に最小値があり、ある一定値以下にはならない、ということになる。

得られる結果は次のようになる。

 &math( \sigma_x\cdot\sigma_p = \ge \frac{\hbar}{2} );

不確定性原理の導出

定義より、

\sigma_x=\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle}

\sigma_p=\sqrt{\big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle}

より、

 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 =\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle );

演算子 \alpha=x-\langle x\rangle \beta=p-\langle p\rangle=-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle を導入すると、

 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx );

ここで \alpha^*=\alpha より、

 &math( \sigma_x^2=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx );

\beta についても、

 &math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx &=\int \psi^*\left[-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle\right]^2\psi\,dx\\ &=\int

  • \hbar^2\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}
  1. 2i\hbar\psi^*\langle p\rangle\frac{d\psi}{dx}
  2. \langle p\rangle|\psi|^2\,dx\\ );

であり、

 &math( \int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx &=\int \left[+i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}-\langle p\rangle\psi^*\right]

      \left[-i\hbar\frac{d\psi  }{dx}-\langle p\rangle\psi  \right]\,dx\\

&=\int \hbar^2\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi }{dx}

  • i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}\langle p\rangle\psi
  1. i\hbar\langle p\rangle\psi^*\frac{d\psi }{dx}
  2. \langle p\rangle^2|\psi|^2 \,dx\\ );

部分積分により、

 &math( \int\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi}{dx}\,dx

 +\underbrace{\left[\psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}

);

 &math( \int\psi^*\frac{d\psi}{dx}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\psi\,dx

 +\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}

);

であるから、

 &math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx=\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx );

と書ける。すなわち、

 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx );

一般の f,g について、

 &math( \int\Bigg|f-g\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\Bigg|^2dx\ge 0 );

は積分の中が常に非負であるから必ず成立する。 等号はある定数 \gamma に対して x の全範囲において f=\gamma g となる場合のみ成り立つ。

 &math( \int|f|^2\,dx

  • \int f^*g\,dx\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}
  • \int fg^*\,dx\frac{\int f^*gdx}{\int|g|^2dx}
  1. \int|g|^2\,dx\left(\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\right)^2 \ge 0 );

両辺に \int|g|^2dx\ge 0 を掛けて、

 &math( \int|f|^2dx\int|g|^2dx

  • \int f^*g\,dx\int fg^*dx \underbrace{-\int fg^*dx\int f^*g\,dx
  1. \left(\int fg^*dx\right)^2}_{=0} \ge 0 );

したがって、

  \int|f|^2dx\int|g|^2dx\ge\left|\int f^*g\,dx\right|^2

を得る。 f=\alpha\psi g=\beta\psi とすれば、

 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\left|\int (\alpha\psi)^*\beta\psi\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2 );

となる。ここで、 \alpha^*=\alpha を用いた。 右辺は、


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