多粒子系の波動関数とボゾン・フェルミオン のバックアップ(No.1)

更新


量子力学Ⅰ

1粒子系の量子力学の復習

量子力学において1粒子の運動は、 粒子の位置を変数とする複素関数(波動関数)が満たす シュレーディンガー方程式により記述された。

粒子の位置: \bm r
波動関数: \psi(\bm r,t)
方程式: i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=\hat H\psi(\bm r,t)

シュレーディンガー方程式は、

  i\hbar\frac{\PD}{\PD t}=\hat H

の形をしているが、これは前期量子論における

  \hbar\omega=\epsilon

という関係に対応していた。

ただし、 \hat H は古典力学におけるシュレーディンガー方程式に現れる 粒子の運動量 \bm p \hbar\nabla/i で置き換えた物である。

シュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数の絶対値の二乗が 時刻 t に粒子を位置 \bm r を見いだす確率となる。

その他の物理量 O の期待値 \langle O\rangle は、 物理量に対応する演算子を \hat O として次のように与えられる。

  \langle O\rangle(t)=\int \hat O \psi(\bm r,t)\hat O^\dagger d\bm r

2粒子系の量子力学

2つの電子の位置座表をそれぞれ \bm r_1,\bm r_2 とする。

2粒子系の波動関数を \psi(\bm r_1,\bm r_2,t) として、

シュレーディンガー方程式を

  i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r_1,\bm r_2,t)=\hat H\psi(\bm r_1,\bm r_2,t)

としたならば、これは1粒子系で学んだ内容の自然な拡張となっている。

ただし、 \hat H は古典力学における2粒子系の方程式に現れる 2つの粒子の運動量 \bm p_1,\bm p_2 \nabla_{\bm r_1}, \nabla_{\bm r_2} に置き換えた物となる。

シュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数の絶対値の二乗が 時刻 t に粒子を位置 \bm r_1,\bm r_2 に見いだす確率となる。

その他の物理量 O の期待値 \langle O\rangle は、 物理量に対応する演算子を \hat O として次のように与えられる。

  \langle O\rangle(t)=\iint \hat O \psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\hat O^\dagger d\bm r_1\bm r_2

例:

2粒子がクーロン相互作用しているなら、 V(\bm r_1,\bm r_2)=\frac{-1}{4\pi\varepsilon}\frac{e_1e_2}{|\bm r_1-\bm r_2|} となるから、

&math( \hat H(\bm r_1,\bm r_2,t)=

  • \frac{\hbar^2}{2}\nabla_{r_1}^2-\frac{\hbar^2}{2}\nabla_{r_2}^2
  • \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{e_1e_2}{|\bm r_1-\bm r_2|});

である。

多粒子系の量子力学

位置座表をそれぞれ \bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n として、
波動関数を \psi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t) とすれば良い。


Counter: 9302 (from 2010/06/03), today: 26, yesterday: 0