球座標を用いた変数分離/メモ のバックアップ(No.1)

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量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子?

解答:時間に依存しないシュレーディンガー方程式の極座標 変数分離

\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi) と置けば、

 &math( &\Big(r\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\ );

 &math( &\frac{r\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}\\ );

左辺は r のみの関数、右辺は \theta,\phi のみの関数であるから、 これらは定数でなければならない。

その定数を後を見越して l(l+1) と置いておく。すなわち、

 &math( &\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1) R(r)\\);

 &math( &-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}-\frac{l(l+1)}{r^2}+V(r)\Big)R(r)=\varepsilon R(r)\\ );

 &math( \hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0 );

のように、動径方向の方程式と回転方向の方程式に分離された。

回転方向の方程式には V(r) が含まれないため、 具体的なポテンシャルの形状に依らず解くことができる。


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