量子力学Ⅰ/調和振動子/メモ のバックアップ(No.3)

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量子力学I/調和振動子?

解答:1次元の調和振動子

(1)

 &math( \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{k}{2}x^2\right)\psi(x)=E\psi(x) );

(2)

 &math( x^2=\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2 ); より、

 &math(\left(

  • \frac{\hbar^{\not2}}{2\not\!\!m}\frac{\not\!\!m\omega}{\not\!\hbar}\frac{d^2}{d\xi^2}
  1. \frac{k}{2}\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2\right)\psi(\xi)=E\psi(\xi) );

 &math(\frac{\hbar\omega}{2}\left(

  • \frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{k}{m\omega^2}\xi^2 \right)\psi(\xi)=E\psi(\xi) );

 &math( \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{\not\!k}{\not\!\!m\not\!\omega^2}\xi^2-\frac{2E}{\hbar\omega}\right)\psi(\xi)=0 );

 &math( \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\xi^2-\lambda\right)\psi(\xi)=0 );

(3)

 &math( &-\frac{d^2}{d\xi^2}\big[X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-\frac{d}{d\xi}\big[X'(\xi)e^{-\xi^2/2}-\xi X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-X''(\xi)e^{-\xi^2/2}+2\xi X'(\xi)e^{-\xi^2/2}+X(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=0\\ );

両辺を e^{-\xi^2/2}\ne 0 で割れば、

 &math( X''(\xi)=2\xi X'(\xi)+(1-\lambda) X(\xi) );

(4)

 &math( \sum_{l=0}^\infty l(l-1)c_l\xi^{l-2}=2\xi \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^{l-1}+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l );

左辺は l=0,1 でゼロになるから、 l-2\to l すなわち l\to l+2 と書き直して、

 &math( \sum_{l=0}^\infty (l+2)(l+1)c_{l+2}\xi^l=2 \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^l+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l );

より l\ge 0 において、

  (l+2)(l+1)c_{l+2}=(2l+1-\lambda)c_l

  c_{l+2}=\frac{2l+1-\lambda}{(l+2)(l+1)}c_l

(5)

  \lambda_n=2n+1

  E_n=\hbar\omega\lambda_n/2=\hbar\omega(n+1/2)

(6)

n=4 のとき、 c_6=0\cdot c_4 であるから c_0 は任意に選べるが、 一方で c_1=0 でなければならない。

  \lambda_4=2\cdot 4+1=9

  c_2=\frac{2\cdot 0+1-9}{(0+2)(0+1)}c_0=-4c_0

  c_4=\frac{2\cdot 2+1-9}{(2+2)(2+1)}c_2=-\frac{1}{3}c_2=\frac{4}{3}c_0

したがって、

  X_4(\xi)=c_0\left(1-4\xi^2+\frac{4}{3}\xi^4\right)

エルミート多項式が微分方程式を満たすことを確認

&math( S(\xi,t)=e^{-t^2+2\xi t}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n );

の中辺、右辺を \xi で偏微分すれば、

 &math( \frac{\PD}{\PD\xi}(中辺)=2te^{-t^2+2\xi t}=2t\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n-1)!}2H_{n-1}(\xi)t^n );

 &math( \frac{\PD}{\PD\xi}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n'(\xi)t^n );

したがって、 2nH_{n-1}(\xi)=H_n'(\xi)

同様に t で微分すれば、

 &math( \frac{\PD}{\PD t}(中辺)=(-2t+2\xi)e^{-t^2+2\xi t}= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left(-2nH_{n-1}(\xi)+2\xi H_n(\xi)\right)t^n );

 &math( \frac{\PD}{\PD t}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}nH_n(\xi)t^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_{n+1}(\xi)t^n );

したがって、 -2nH_{n-1}(\xi)+2\xi H_n(\xi)=H_{n+1}(\xi)

番号を1つずらして、

  -2(n-1)H_{n-2}(\xi)+2\xi H_{n-1}(\xi)=H_n(\xi)

また、

  H_{n-1}(\xi)=\frac{H_n'(\xi)}{2n} H_{n-2}(\xi)=\frac{H_{n-1}'(\xi)}{2n}=\frac{H_n''}{2n\cdot 2(n-1)}

より、

  -2(n-1)\frac{H_n''}{2n\cdot 2(n-1)}+2\xi \frac{H_n'(\xi)}{2n}=H_n(\xi)

  H_n''-2\xi H_n'(\xi)+2nH_n(\xi)=0

となって、求める微分方程式を満たすことを確認できた。

エルミート多項式の漸化式

証明したい漸化式は微分を済ませて e^{-\xi^2/2} で割れば、

  H_{n+1}=\xi H_n-H_n'+\xi H_n=2\xi H_n-H_n'=2\xi H_n-2nH_{n-1}

および、

  2nH_{n-1}=\xi H_n+H_n'-\xi H_n=H_n'=2nH_{n-1}

であるから、上記の関係式により常に成り立つ。

エルミート多項式の直交性

固有関数の形

LANG:mathematica
(* harmonic1.png, harmonic2.png, harmonic2.png, harmonic-density.png *)
harmonic[n_, x_] := Sqrt[1/Sqrt[Pi]/2^n/Factorial[n]] HermiteH[n, x] Exp[-x^2/2]
Plot[Flatten[{x^2/2, Table[2 harmonic[n, x]^2 + (n + 1/2), {n, 0, 10}]}] // Evaluate, 
  {x, -6, 6}, PlotRange -> {0, 12}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}]
Plot[Flatten[{x^2/2, Table[harmonic[n, x] + (n + 1/2), {n, 0, 10}]}] // Evaluate, 
  {x, -6, 6}, PlotRange -> {0, 12}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}]
Plot[Flatten[{x^2/2, harmonic[10, x]^2 + (10 + 1/2), 1/Sqrt[2 10.5 - x^2]/Pi + 10.5}] // Evaluate, 
  {x, -6, 6}, PlotRange -> {10.5, 10.9}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}, 
  Filling -> {3 -> Axis}, FillingStyle -> {3 -> {Opacity[0.02]}}, PlotStyle -> {{Thick}, {Thick}, {}}]

(* harmonic3.png *)
Show[{
    Table[
       DensityPlot[harmonic[Floor[n], x]^2, {x, -8, 8}, {h, n, n + 1}, 
         PlotPoints -> {801, 2}, MaxRecursion -> 0], 
       {n, 0, 40}
     ], 
     Plot[x^2/2, {x, -8, 8}, PlotStyle -> {Red}]
  }, PlotRange -> {0, 30},  ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 16}]

(* h10.png *)
Plot[{HermiteH[10, x], 5000000 Exp[-x^2/2], HermiteH[10, x] 60 Exp[-x^2/2]}, {x, -7, 7}, 
  PlotRange -> {-5000000, 5000000}, 
  PlotLegends -> 
    LineLegend[{
        "\!\(\*SubscriptBox[\(H\), \(10\)]\)(x)", 
        "exp(-\!\(\*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]\)/2)", 
        "exp(-\!\(\*SuperscriptBox[\(x\), \\(2\)]\)/2)\!\(\*SubscriptBox[\(H\), \(10\)]\)(x)"},
      LabelStyle -> {FontSize -> 20}], 
  PlotStyle -> {Thick, Dashed, Black}, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, 
  ImageSize -> Large, Axes -> {True, False}]

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