量子力学Ⅰ/電子の波動方程式 のバックアップ(No.2)

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private/量子力学I/前期量子論?

波動方程式の必要性

電子の波動方程式を考えなければならない理由を考える。

電子の粒子性

電子は水素原子の約1/1000の重さを持つ粒子として振る舞う。 JJ トムソンの実験などでその粒子的な性質は明らかである。

電子の波動性

電子線回折などによって、電子が回折現象を起こすこと、加速度により波長が異なること、などが性mされた。

波動を表わす関数

速度 $v$ で移動する関数

f(x-x_0) は、 f(x) x の正方向に x_0 だけ移動した関数になる。

f(x,t)=f(x-vt,0) f(x,0) を時刻 t において x の正方向に vt だけ移動した関数、すなわち、 f(x,0) の関数が形を変えずに x の正方向に速度 v で伝播する関数になる。

位相速度 $v$ で伝播する波(一次元)

f(x,0)=\cos(2\pi x/\lambda)=\cos(kx) と置けば、これは波長 \lambda 、 波数 k=2\pi/\lambda の正弦波。

f(x,t)=f(x-vt,0)=\cos(2\pi (x-vt)/\lambda) は、波長 \lambda の正弦波が速度 v で伝播する関数。

wave-function.gif

波数 k と角振動数 \omega で書けば、 f(x,t)=f(x-vt)=\cos(kx-\omega t) ただし、 k=2\pi/\lambda \omega/k=v である。

位相速度 $v$ で伝播する平面波(三次元)

|\bm e|=1 のとき、 \bm e\cdot\bm x \bm x \bm e 方向成分の長さ

\bm e\cdot\bm x=d という方程式は、 \bm e に平行で、原点から \bm e 方向に \bm d だけ離れた平面を表わす方程式

したがって、 f(\bm x)=\cos(2\pi\bm e\cdot\bm x) は、 \bm e 方向に波長 1 の正弦波で、 \bm e に垂直方向には一定値を取る平面的な波を表わす。 (下図は二次元の場合)

2d-wave.jpg

\bm k\cdot\bm x=|\bm k|\bm e_{\bm k}\cdot x と書けるから、 これは \bm x \bm k 方向成分に、 |\bm k| をかけた値になる。

すなわち、 f(\bm x)=\cos(\bm k\cdot\bm x)=\cos(|\bm k|\bm e\cdot\bm x) は、 \bm e 方向に波長 \lambda=2\pi/\bm k 、波数 |\bm k| の正弦波を表わす。

さらに、 f(\bm x,t)=\cos(\bm k\cdot\bm x-\omega t) とすれば、 f(\bm x,t)=\cos(k\{\bm e_{\bm k}\cdot\bm x-(\omega/k) t\}) より、 波数 \bm k 、周期 \omega 、速度(位相速度) v=\omega/k で伝播する平面波を表わす。


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