エネルギー保存・運動量保存 のバックアップ(No.1)

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電磁気学

点電荷の系

電磁ポテンシャルの導入 では、 \bm i(\bm x,t),\rho(\bm x,t) を与えて、そこから生まれる \bm E(\bm x,t),\bm B(\bm x,t) を求める問題について考えた。

ここでは、 \bm E(\bm x,t),\bm B(\bm x,t) ばかりでなく \bm i(\bm x,t),\rho(\bm x,t) も未知であり 電荷が電磁場と相互作用しながら共に時間発展していく様子を記述することを考える。

系は n 個の点電荷からなり、それぞれ

  • 電荷 e_k
  • 質量 m_k
  • 位置座標 \bm z_k(t)

を持つとする。

電荷密度

点電荷 e_k の作る電荷密度を考えよう。

\bm x=\bm z_k(t) に電荷があり、 それ以外で電荷密度はゼロであるから、 電荷密度は Dirac のデルタ関数を用いて、

\rho_k(\bm x,t)=e_k\delta^3(\bm x-\bm z_k(t))

と表せる。

ここで、 \delta^3(\bm x)=\delta(x)\delta(y)\delta(z) であり、

\delta(x)=\begin{cases}0&x\ne 0\\+\infty&x=0\end{cases}

\delta(-x)=\delta(x)

\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1

を満たす。

電流密度

点電荷 e の電流密度は次のように書ける。

\bm i(\bm x,t)=e\dot{\bm z}(t)\delta^3(\bm x-\bm z(t))

電流密度が点電荷の存在する位置 \bm z(t) 以外でゼロになること、
電荷 e およびその速度 [Math Conversion Error]


に比例すること、
は納得できるが、係数が必要ないのかちょっと心配になるかもしれない。

この点は、電荷保存則が成り立っていることを確認すれば納得できる。

&math( \frac{\PD}{\PD t}\rho(\bm x,t) &=-e\dot{\bm z}(t)\GRAD\delta^3(\bm x-\bm z(t))\\ &=-e\sum_{a=x,y,z}\dot z_a(t)\frac{\PD}{\PD a}\delta^3(\bm x-\bm z(t)) );

&math( \DIV \bm i(\bm x,t) &=e\DIV\dot{\bm z}(t)\delta^3(\bm x-\bm z(t))\\ &=\sum_{a=x,y,z}\dot z_a(t)\frac{\PD}{\PD a}\delta^3(\bm x-\bm z(t)) );

&math( \therefore \frac{\PD}{\PD t}\rho(\bm x,t)+\DIV \bm i(\bm x,t)=0 );

として、電荷保存則が成り立ち、上記の電流密度の式が正しいことが分かる。

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