スピントロニクス理論の基礎/9-1B のバックアップ差分(No.2)

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#contents

* 9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (2) [#xc6258a9]

** 不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正 [#b95dc7da]

(9.28)

&math(
&\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=
-i\frac{e^{\textcolor{red}{2}}}{V}
\sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\
&\hspace{1.5cm}
\phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2
\sum_{\bm k_1}\left[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \,
g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \,
g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \,
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\right]^<
);

この補正が出てくる理由が分からない。

(8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り
近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・

ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは

- (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと
- (8.119) の不純物平均
- (8.123) の実部は無視できるのか

くらい?

+ (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない
+ (9.5) 式の &math(g); を &math(g_0); で展開した形に似ている
+ それならなぜ (9.28) 式の &math(g); は &math(g_0); でないのか?
+ この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに
気付かなかった?

あたりが疑問。

*** (9.4) 式の高次項ではない [#p67bd30c]

(9.4) 式は &math(\phi); で展開しているので、高次項には
&math(\phi); の2次以上が含まれるはずだが、
(9.28) に &math(\phi); は1つしか入っていない。

*** (9.5) 式の g を g__0__ で展開した形に似ている [#v20961b6]

(8.121) より、

&math(
g^\alpha_{\bm k,\omega} 
= g^\alpha_{0\bm k,\omega}
+ n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} 
g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots
);

この1項目と2項目とを掛け合わせると、
&math(n_iv_i^2\sum gggg); の項が出る。

&math(
\left[ 
g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \,
g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
\right]^<
);

にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。

そもそも、こういう項は &math(g^rg^rg^rg^a); や &math(g^rg^ag^ag^a); 
の形になるから、どうも話が違う。

これらの過程は (9.27) の &math(\rho_\phi^{(0)}); 
に含まれている、上下どちらかに1つ耳の生えたタイプということで、
改めて組み込む必要は無いということだと思う。

*** なぜ (9.28) 式の &math(g); は &math(g_0); でないのか [#ofea7977]

上下に耳が生える過程を組み込むため?

*** これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった? [#zcbdb89d]

たぶんそう。

どこから出てくるのだろう?・・・不純物平均のところか。

上で見たとおり、(9.28) の項は &math(v_i); 
の2次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、
1次の項を2つ掛けた物だ。

8-10 では1次の項は不純物平均により消えるとされたけど、
ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。

不純物平均の前まで戻って &math(v=v_i+v_\phi); とする。

(8.145) からポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。

それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega}^<
= \underline{\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<}
+\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
\big]
\\&=
\sum_{\bm q}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) \Big(
    \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<}
    +\sum_{\bm q'}\big[
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
     +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    \big]\Big)\\
&\hspace{9.5mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) \Big(
    \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}
    +\sum_{\bm q'}
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    \Big)
\Big]
\\&=
\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
          \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<}\\
&\hspace{4cm}
              +\sum_{\bm q''}\big[
                g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^<
               +g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
              \big]
          \Big)\\
&\hspace{9.5mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')
  \Big(
    \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}
    +\sum_{\bm q''}
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
    \Big)\\
&\hspace{9.5mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
  \Big(
    \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}
    +\sum_{\bm q''}
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
    \Big)
\Big]
\\&=
\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
                g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
\Big] \delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'} \\
);

(8.153) を入れると、

&math(
&=
\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a}-g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r \Big) \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
  f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}-\underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r} \Big)
  v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) 
  f(\omega) \Big(  \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}- \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r} \Big) v(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +
  f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a- \underline{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r} \Big)v(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
);

となる。

このままだと、下線を引いた項同士は打ち消し合ってしまって、
&math(g^ag^ag^ag^a); および &math(g^rg^rg^rg^r); の項しか残らない。

これは &math(v); との相互作用で &math(\omega); が変化しないとしたためで、
&math(\omega); が変化するようなポテンシャルが入っている場合には、
打ち消さない項が残る?

例えば2つ目が &math(v_\phi); で、&math(\omega); が変化するとすれば、

&math(
&=
\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a -g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big) \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
  f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a - g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big)
  v_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) 
  f(\omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \Big) v_\phi(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +
  f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Big)v_i(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\
&\hspace{13mm}
\Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\
);

となって、やっぱり結局消えてしまいそうに思うけれど・・・

よく分からない。

上記で残ると思われる2つの項について、不純物平均を取ると

&math(
&= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
 - f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \\
&\hspace{13mm}
 + f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a v_i(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a 
\Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\
&= n_iv_i^2 \sum_{\bm q,\bm q'} \delta_{\bm q+\bm q'',\bm 0} v_\phi(\bm q') \Big[
 - f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r g_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \\
&\hspace{45mm}
 + f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^ag_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a 
\Big]\delta_{\bm k+\bm q',\bm k'}\\
);

&math(\bm k\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2});

&math(\bm \omega\rightarrow\bm \omega+\frac{\bm \Omega}{2});

&math(\bm q\rightarrow\bm q_1);

&math(\bm q'\rightarrow\bm q);

あれ、ちょっと合わないか。後でもう少し考える。


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