スピントロニクス理論の基礎/9-1B のバックアップ差分(No.3)

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#contents

* 9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (2) [#xc6258a9]

** 不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正 [#b95dc7da]

(9.28)

&math(
&\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=
-i\frac{e^{\textcolor{red}{2}}}{V}
\sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\
&\hspace{1.5cm}
\phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2
\sum_{\bm k_1}\left[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \,
g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \,
g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \,
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\right]^<
);

この補正が出てくる理由が分からない。

(8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り
近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・

ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは

- (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと
- (8.119) の不純物平均
- (8.123) の実部は無視できるのか

くらい?

+ (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない
+ (9.5) 式の &math(g); を &math(g_0); で展開した形に似ている
+ それならなぜ (9.28) 式の &math(g); は &math(g_0); でないのか?
+ この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに
気付かなかった?

あたりが疑問。

*** (9.4) 式の高次項ではない [#p67bd30c]

(9.4) 式は &math(\phi); で展開しているので、高次項には
&math(\phi); の2次以上が含まれるはずだが、
(9.28) に &math(\phi); は1つしか入っていない。

*** (9.5) 式の g を g__0__ で展開した形に似ている [#v20961b6]

(8.121) より、

&math(
g^\alpha_{\bm k,\omega} 
= g^\alpha_{0\bm k,\omega}
+ n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} 
g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots
);

この1項目と2項目とを掛け合わせると、
&math(n_iv_i^2\sum gggg); の項が出る。

&math(
\left[ 
g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \,
g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
\right]^<
);

にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。

そもそも、こういう項は &math(g^rg^rg^rg^a); や &math(g^rg^ag^ag^a); 
の形になるから、どうも話が違う。

これらの過程は (9.27) の &math(\rho_\phi^{(0)}); 
に含まれている、上下どちらかに1つ耳の生えたタイプということで、
改めて組み込む必要は無いということだと思う。

*** なぜ (9.28) 式の &math(g); は &math(g_0); でないのか [#ofea7977]

上下に耳が生える過程を組み込むため?

*** これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった? [#zcbdb89d]

たぶんそう。

どこから出てくるのだろう?・・・不純物平均のところか。

上で見たとおり、(9.28) の項は &math(v_i); 
の2次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、
1次の項を2つ掛けた物だ。

8-10 では1次の項は不純物平均により消えるとされたけど、
ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。

不純物平均の前まで戻って &math(v=v_i+v_\phi); とする。
*** 不純物平均の前に戻ってみる [#e363db89]

(8.145) からポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。
&math(H=H_0+V_i+V_\phi=(H_0+V_i)+V_\phi=H_i+V_\phi); と考えるのをやめて、~
&math(H=H_0+V_i+V_\phi=H_0+(V_i+V_\phi)=H_0+V); として、8-10、8-11 を見直してみる。

&math(V_\phi); が入っているため、不純物平均を取る前までを考えると、
&math(v(\bm q,\bm \Omega)=v_i(\bm q)+v_\phi(\bm q,\bm \Omega)); として、

(8.117) は

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^a=
2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^a+
\int \frac{\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} g_{0\bm k,\omega}^a v(\bm q,\Omega) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a
);

(8.145) は

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<
+\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a
\big]
);

となる。

*** ポテンシャルを3回含む項を評価する [#zc361af1]

この2つの式を使ってポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。

それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega}^<
= \underline{\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<}
+\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
\big]
\\&=
\sum_{\bm q}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) \Big(
    \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<}
    +\sum_{\bm q'}\big[
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
     +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    \big]\Big)\\
&\hspace{9.5mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) \Big(
    \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}
    +\sum_{\bm q'}
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    \Big)
\Big]
\\&=
\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
          \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<}\\
&\hspace{4cm}
              +\sum_{\bm q''}\big[
                g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^<
               +g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
              \big]
          \Big)\\
&\hspace{9.5mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<
= 
\underline{2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<}
+\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a\\
&\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}
);

&math(
=
\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)
  \Big(
    \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}
    +\sum_{\bm q''}
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
    \Big)\\
&\hspace{9.5mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
    \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^<}
    +\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q'}\Big[
      g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^rv(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\
&\hspace{9.8cm}
     +g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^<v(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a
    \Big]\\ &\hspace{10cm}\cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
  \Big)\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)
  \Big(
    \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}
    +\sum_{\bm q''}
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
    \Big)
    \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a}
    +\int \frac{\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q'}\ \ \, 
      g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a
         \\&\hspace{10cm} \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
  \Big)
\Big] 
);

&math(
=
\int \frac{d\Omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\
&\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
);

同様にして、

&math(
=
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \int \frac{d\Omega''}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^r v(\bm q'',\Omega'')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^< v(\bm q'',\Omega'')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a \\
& \Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'+\Omega''-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}
);

したがって、

0次:

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(0)} = \,
& 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<\\
= & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'} f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r)\\
);

1次:

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(1)} = \,
&g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^< \\
+&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^a \\
=\,
 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) \\
+&f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k',\omega'}^a \\
=\,& v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) \Big[ 
 g_{0\bm k,\omega}^r  f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) 
+f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) g_{0\bm k',\omega'}^a 
\Big]
\\&=
\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
                g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
\Big] \delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'} \\
);

(8.153) を入れると、
2次:

&math(
&=
\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a}-g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r \Big) \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
  f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}-\underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r} \Big)
  v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) 
  f(\omega) \Big(  \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}- \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r} \Big) v(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +
  f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a- \underline{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r} \Big)v(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(2)} =
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega)
      g_{0\bm k',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega)
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) 
      g_{0\bm k',\omega'}^a 
\Big]
);

となる。
3次:

このままだと、下線を引いた項同士は打ち消し合ってしまって、
&math(g^ag^ag^ag^a); および &math(g^rg^rg^rg^r); の項しか残らない。
&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(3)} =
);

これは &math(v); との相互作用で &math(\omega); が変化しないとしたためで、
&math(\omega); が変化するようなポテンシャルが入っている場合には、
打ち消さない項が残る?
&math(
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} 
\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
      g_{0\bm k',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
      g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]
);

例えば2つ目が &math(v_\phi); で、&math(\omega); が変化するとすれば、
*** 目的の項はどれか? [#bcfe7c6a]

3回出てくる &math(v=v_i+v_\phi); を展開する際、
&math(v_i); と &math(v_\phi); のどちらを取るかで様々な項が出るが、
不純物平均により &math(v_i); は複数の打ち消し合う &math(\bm q); 
の組を作るように取らないとゼロになるため、
&math(v_\phi); と &math(v_i); 
が両方出てくる項は3次が最低次になる。

そのような3次の項は、

+ &math(v_i\cdot v_i\cdot v_\phi);
+ &math(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i);
+ &math(v_\phi\cdot v_i\cdot v_i);

の3つの場合が考えられるが、このうち1番目と3番目は上の
[[(9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている>スピントロニクス理論の基礎/9-1B#v20961b6]]
で見たように (9.26) に含まれている。

そこで、今取り入れたいのは2番目の形で、

&math(
&=
\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a -g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big) \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
  f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a - g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big)
  v_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) 
  f(\omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \Big) v_\phi(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\
&\hspace{13mm}
 +
  f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Big)v_i(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\
&\hspace{13mm}
\Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} =
);

となって、やっぱり結局消えてしまいそうに思うけれど・・・
&math(
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} 
\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^r v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
      g_{0\bm k',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^< v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
      g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]
);

よく分からない。
である。

上記で残ると思われる2つの項について、不純物平均を取ると
*** 不純物平均を入れる [#x8fe454a]

不純物平均により &math(\bm q+(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')=\bm 0); が要求されるため、

&math(
&= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
 - f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \\
&\hspace{13mm}
 + f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a v_i(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a 
\Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\
&= n_iv_i^2 \sum_{\bm q,\bm q'} \delta_{\bm q+\bm q'',\bm 0} v_\phi(\bm q') \Big[
 - f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r g_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \\
&\hspace{45mm}
 + f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^ag_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a 
\Big]\delta_{\bm k+\bm q',\bm k'}\\
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} =
);

&math(\bm k\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2});
&math(
\frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} 
\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r g_{0\bm k',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^< g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =
);

&math(\bm \omega\rightarrow\bm \omega+\frac{\bm \Omega}{2});
&math(
\frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} 
\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') \big( \underline{g_{0\bm k',\omega'}^a} - g_{0\bm k',\omega'}^r \big)\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      f(\omega')\big( g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a - \underline{g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r} \big) g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) \big( \underline{g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} - g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \big) v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&f(\omega)\big( g_{0\bm k,\omega}^a - \underline{g_{0\bm k,\omega}^r} \big) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =
);

&math(\bm q\rightarrow\bm q_1);
下線部は打ち消し合うため、

&math(\bm q'\rightarrow\bm q);
&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} =
);

あれ、ちょっと合わないか。後でもう少し考える。
&math(
\frac{n_iv_i^2}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm q} 
\Big[
 -&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') g_{0\bm k',\omega'}^r \\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      f(\omega') g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 -&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&f(\omega) g_{0\bm k,\omega}^a g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]
);

この式の変数を適当に書き換えると (9.29) と似た式が出てくる。

*** g__0__ を g に書き換える [#yb3b4b14]

そして、その &math(g_0); を &math(g); に書き換えると (9.29) になる。

ただ、恐らく教科書の式では上記の &math(1/N); の因子が抜けている。

*** ファインマン図の意味 [#l37bb59f]

上と下は &math(v_\phi); と相互作用する前後のωの異なる部分で、
その間に打ち消し合う2つの q があることを表す図になっているわけか。

** 補正項を評価する [#gf4c2103]

ようやく教科書を読み進められる。


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