スピントロニクス理論の基礎/X-4 のバックアップ差分(No.4)
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#contents
* Green 関数について [#bdad9752]
** Green 関数の基礎 [#u6b99619]
与えられた &math(h(x)); に対して、
(X3-1)
&math(\hat L_x f(x)=h(x));
を解いて &math(f(x)); を決定する問題を考える。
ここで、&math(\hat L_x); は &math(x); に対する微分や積分を含む線形な演算子。
例えば、
(X3-2)
&math(\left( 2\frac{d}{dx}-3\frac{d^2}{dx^2} \right) f(x)=\frac{1}{x^2+1} );
のような問題。
*** 斉次方程式 [#b5094002]
一般に (X3-1) に比べて、&math(h(x)); をゼロとした斉次方程式はずっと楽に解くことができる。
(X3-3)
&math(\hat L_x f(x)=0);
この解を &math(f_0(x)); としておく。
つまり、
(X3-3)
&math(\hat L_x f_0(x)=0);
非斉次方程式 (X1-1) の１つの解を &math(f^*(x)); とすると、
(X3-4)
&math(\hat L_x f^*(x)=h(x));
これに斉次方程式の解を加えた &math(f(x)=f^*(x)+ f_0(x)); も (X3-1) の解になるのは有名な話。
(X3-5)
&math(\hat L_x\Big( f^*(x)+f_0(x) \Big)=\hat L_x f^*(x)+\hat L_x f_0(x)=h(x)+0=h(x));
非斉次方程式の１つの特殊解に、斉次方程式の一般解を加えることで、
非斉次方程式の一般解を求めることができる。
*** Green 関数 [#nc7f6d91]
もし (X3-1) の &math(\hat L_x); に対して、
(X3-6)
&math(\hat L_x g(x,x')=\delta(x-x'));
となるような関数 ＝ Green 関数を求めることができれば、
(X3-7)
&math(
\hat L_x f(x)&=h(x)=\int_{-\infty}^\infty dx' h(x') \delta(x-x')\\
&=\int_{-\infty}^\infty dx' h(x') \hat L_x g(x,x')\\
&=\hat L_x \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x')
);
となる。ここで、&math(\hat L_x); は &math(x); に対する演算子で、
&math(x'); を含まないため、&math(h(x')); や &math(x');
の積分と順序を入れ替えられることに注意。
(X3-7) の右辺を左辺に移項して、
(X3-8)
&math(\hat L_x \left[ f(x) - \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x') \right] = 0);
すなわち、[ ] 内は (X3-3) の形の斉次方程式の解となっている。
(X3-9)
&math(f(x) - \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x') = f_0(x));
&math(\therefore f(x) = f_0(x) + \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x'));
このように、ある演算子 &math(\hat L_x); に対して、
その斉次方程式の解 &math(f_0(x)); と Green 関数 &math(g(x,x'));
が求まってしまえば、微分・積分方程式 &math(\hat L_x f(x)=h(x));
の解は単に &math(h(x)); を積分するだけで求めることができる。
すなわち、元の方程式の性質は Green 関数と斉次方程式の解とにすべて含まれていることになる。
** Green 関数の意味 [#f4422298]
(X3-9) を、
&math(
f(x) - f_0(x) = \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x')
);
と書けば、&math(h(x)=0); とした斉次解と &math(h(x)); が存在するときの
&math(f(x)); とのずれを &math(h(x)); で表せていることになる。
&math(x); の位置への &math(x'); の位置からの &math(h(x')); の影響が
&math(g(x,x')); と表せ、それらを積分した物がずれ全体の大きさを与える。
** 今の場合 [#q3e226e5]
解くべき方程式として、１粒子のシュレーディンガー方程式
(X3-10)
&math(
-i\hbar \frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\bm r}^2+V(\bm r,t)\right)\psi(\bm r,t)
);
を考える。
特に、&math(V=V_0+V'); として、容易に解けるポテンシャル &math(V_0);
に扱いの難しい &math(V'); が加わった効果を考えよう。
このとき、
(X3-11)
&math(
\underbrace{\left(-i\hbar \frac{\PD}{\PD t}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\bm r}^2-V_0(\bm r,t)\right)}_{\hat L_{\bm r,t}}\psi(\bm r,t)
=\underbrace{V'(\bm r,t)\psi(\bm r,t)}_{h(x)}
);
と見なせば、問題は (X3-1) と同様に Green 関数を用いて解くことができる。
すなわち、
(X3-12)
&math(\hat L_{\bm r,t} \psi_0(\bm r,t)=0);
を満たす斉次方程式の解 &math(\psi_0); （&math(V_0); のみの時の波動関数）と、
(X3-13)
&math(\hat L_{\bm r,t} g(\bm r,t,\bm r',t')= \delta(\bm r-\bm r') \delta(t-t'));
を満たす Green 関数を用いて、方程式の解を
(X3-14)
&math(\psi(\bm r,t) = \psi_0(\bm r,t) + \int d^3x' \int_{-\infty}^\infty dt'
V'(\bm r',t') \psi(\bm r',t') g(\bm r,t,\bm r',t'));
と表せる。
ただこの式が (X3-9) と大きく異なるのは、
右辺にも求めたい &math(\psi); が入っていることである。
すなわち、(X3-9) は未だ &math(\psi); の方程式である。
&math(\psi); を求めるにはこの方程式を解かなければならない。
形式的には、(X3-14) の右辺の &math(\psi); に (X3-14)
自体を繰り返し代入して、
(X3-15)
&math(
\psi(\bm r,t) &= \psi_0(\bm r,t) + \int d^3x' \int_{-\infty}^\infty dt'
g(\bm r,t,\bm r',t') V'(\bm r',t') \left[\psi_0(\bm r',t') + \int d^3x'' \int_{-\infty}^\infty dt''
g(\bm r',t',\bm r'',t'') V'(\bm r'',t'') \psi(\bm r'',t'')\right]\\
&=\psi_0(\bm r,t)\\
&+\int d^3x' \int_{-\infty}^\infty dt'\ g(\bm r,t,\bm r',t') V'(\bm r',t') \psi_0(\bm r',t')\\
&+\int d^3x' \int_{-\infty}^\infty dt'\int d^3x'' \int_{-\infty}^\infty dt''\ g(\bm r,t,\bm r',t') V'(\bm r',t') g(\bm r',t',\bm r'',t'') V'(\bm r'',t'') \psi_0(\bm r'',t'')\\
&+\dots
);
のように解を書ける。
- &math(V'); が小さいときには &math(V'); の次数で打ち切ることで近似解を求められる
- &math(V'); が大きくても、級数をうまく足せる場合には正確な値を求められることも
** 因果律 [#m222111e]
Green 関数が &math(t>t'); にしか値を持たないことが「因果律」に相当する。
Green 関数が &math(t>t'); にしか値を持たなければ、時刻の積分を &math(t);
以下の時間範囲に限定できて、
(X3-16)
&math(
\psi(\bm r,t)
&=\psi_0(\bm r,t)\\
&+\int d^3x' \int_{-\infty}^t dt'\ g(\bm r,t,\bm r',t') V'(\bm r',t') \psi_0(\bm r',t')\\
&+\int d^3x' \int_{-\infty}^t dt'\int d^3x'' \int_{-\infty}^t dt''\ g(\bm r,t,\bm r',t') V'(\bm r',t') g(\bm r',t',\bm r'',t'') V'(\bm r'',t'') \psi_0(\bm r'',t'')\\
&+\int d^3x' \int_{-\infty}^t dt'\int d^3x'' \int_{-\infty}^t' dt''\ g(\bm r,t,\bm r',t') V'(\bm r',t') g(\bm r',t',\bm r'',t'') V'(\bm r'',t'') \psi_0(\bm r'',t'')\\
&+\dots
);
これは「 "現在の" 波動関数は "過去の" 波動関数とポテンシャルにのみ依存する」という主張に対応する。
しかしよく知られるように、シュレーディンガー方程式を始めとする物理学の基礎方程式には、
時間の矢の指し示す方向に関する情報は含まれておらず、時間の反転に対して対称である。
もし Green 関数に因果律が現われることがあるとすれば、
それは Green 関数の取り方に任意性があり、
（恐らく）時間に対する境界条件からどの Green 関数によって解を記述すべきかが
決まってくるのだと思う。
** Green 関数が r や t の相対値で表される意味 [#x84607d8]
演算子が &math(\bm r); や &math(t); を顕わに含んでいなければ、
(X3-17)
&math(g(\bm r,t,\bm r',t')=g(\bm r-\bm r',t-t'));
のように、Green 関数は座標の相対値で表されることになる。
これは新たに導入する &math(V'(\bm r,t));
の絶対座標や絶対時刻に解が依存しないという意味だから物理的には当然。
このように相対座標や相対時刻で表されたグリーン関数を教科書のようにフーリエ変換すると、
(X3-18)
&math(g_{\bm k,\bm k',\omega, \omega'}=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k,\omega});
のようにフーリエ成分の非対角項がゼロとなる。
教科書ではこのことを「エネルギーや運動量が保存する」と言っているのだけれど、
何のエネルギー、何の運動量が保存する話をしているのか、今ひとつ理解できていない。
何のエネルギー、何の運動量が何と何との間で保存する話をしているのか、
今ひとつ理解できていない。~
→ ハミルトニアンに &math(t); や &math(\bm r); が顕わに現われなければ
粒子の運動のエネルギーや運動量は常に保存するのかも？？？
(X3-19)
&math(
\psi_{\bm k,\omega}
&= \psi_{0\bm k,\omega} +
\int d^3x \int_{-\infty}^\infty dt
e^{i\bm k\cdot\bm r} e^{-i\omega t} \
\int d^3x' \int_{-\infty}^\infty dt'
g(\bm r,t,\bm r',t')
\\&\times
\int d^3x'' \int_{-\infty}^\infty dt'' \delta(\bm r'-\bm r'')\delta(t'-t'')
V'(\bm r'',t'')
\int d^3x''' \int_{-\infty}^\infty dt''' \delta(\bm r'-\bm r''')\delta(t'-t''')
\psi(\bm r''',t''')
\\
&= \psi_{0\bm k,\omega} +
\int d^3x \int_{-\infty}^\infty dt
\int d^3x' \int_{-\infty}^\infty dt'
e^{i\bm k\cdot\bm r} e^{-i\omega t}
g(\bm r,t,\bm r',t')
\\&\times
\int d^3x'' \int_{-\infty}^\infty dt'' \frac{1}{V}\sum_{\bm k'} e^{i\bm k'\cdot (\bm r''-\bm r')} \int \frac{d\omega'}{2\pi} e^{-i\omega'(t''-t')}
V'(\bm r'',t'')
\\&\times
\int d^3x''' \int_{-\infty}^\infty dt''' \frac{1}{V}\sum_{\bm k''} e^{i\bm k''\cdot (\bm r'''-\bm r')} \int \frac{d\omega''}{2\pi} e^{-i\omega''(t'''-t')}
\psi(\bm r''',t''')
\\
&= \psi_{0\bm k,\omega} +
\frac{1}{V}\sum_{\bm k'} \int \frac{d\omega'}{2\pi}
\frac{1}{V}\sum_{\bm k''} \int \frac{d\omega''}{2\pi}
\int d^3x \int_{-\infty}^\infty dt
\int d^3x' \int_{-\infty}^\infty dt' \
e^{i\bm k\cdot\bm r} e^{-i\omega t}
g(\bm r,t,\bm r',t')
e^{-i(\bm k'+\bm k'')\cdot\bm r'} e^{i(\omega'+\omega'') t'}
\\&\times
\int d^3x'' \int_{-\infty}^\infty dt''
e^{i\bm k'\cdot \bm r''} e^{-i\omega't''}
V'(\bm r'',t'')
\\&\times
\int d^3x''' \int_{-\infty}^\infty dt''' e^{i\bm k'''\cdot (\bm r'''-\bm r')} e^{i\omega'''(t'''-t')}
\psi(\bm r''',t''')
\\
&= \psi_{0\bm k,\omega} +
\frac{1}{V}\sum_{\bm k'} \int \frac{d\omega'}{2\pi}
\frac{1}{V}\sum_{\bm k''} \int \frac{d\omega''}{2\pi}
g_{\bm k,\bm k'+\bm k'',\omega,\omega'+\omega''} V'_{\bm k',\omega'} \psi_{\bm k'',\omega''}
\\
);
そして、特に「エネルギーや運動量が保存される場合」には、
(X3-20)
&math(
\psi_{\bm k,\omega}
&= \psi_{0\bm k,\omega} +
\frac{1}{V}\sum_{\bm k'} \int \frac{d\omega'}{2\pi}
\frac{1}{V}\sum_{\bm k''} \int \frac{d\omega''}{2\pi}
2\pi\delta(\omega-\omega'-\omega'')\delta_{\bm k,\bm k'+\bm k''}g_{\bm k,\omega} V'_{\bm k',\omega'} \psi_{\bm k'',\omega''}
\\
&= \psi_{0\bm k,\omega} +
\frac{1}{V^2}\sum_{\bm k'} \int \frac{d\omega'}{2\pi}
g_{\bm k,\omega} V'_{\bm k',\omega'} \psi_{\bm k-\bm k',\omega-\omega'}
);
となる。
だから、対角成分しか残らないときにも &math(\psi_{\bm k,\omega});
が必ずしも &math(\psi_{\bm k,\omega}); や &math(V'_{\bm k,\omega});
だけに依存していると言うわけではない。
** グリーン関数の k, k' を始状態・終状態と参照する意味 [#c2bfc143]
元の微分方程式 (X3-10) を解くいう意味に於いては、Green 関数の &math(\bm k); および
&math(\bm k'); 成分というのは (X3-19) で用いるような意味しか持たない。
しかし、教科書ではファインマンズ等を書きながら、
あたかも &math(\bm k); や &math(\bm k'); が始状態・終状態であり、
その間で散乱を受ける（何が？）といった参照の仕方をされている。
このような呼び方・見方はどういった意味で行われているのか・・・まだ理解できていない。
- どっちが始状態でどっちが終状態か、という議論に意味があるのか？~
→ Green 関数は必ずしも時間反転に対して対称ではないが・・・
- 始状態とは何の、何時の時点での状態で、終状態とは何時の状態か？
それともこれは何らかのアナロジーで、単に式の形が別の問題の式と似ているとか、
そういう話なのだろうか？
それとも、Green 関数の形が電子数密度の熱統計平均の形をしていることと関係しているか。
ふむむ。
たとえば、(X3-15) の積分変数の名前を付け替えると、
&math(
\psi(\bm r,t)
&=\psi_0(\bm r,t)\\
&+\int d^3x' \int_{-\infty}^t dt'\Big[ g(\bm r,t,\bm r',t') \Big] V'(\bm r',t') \psi_0(\bm r',t')\\
&+\int d^3x' \int_{-\infty}^t dt'\left[ \int d^3x'' \int_{t'}^{t} dt'' \ g(\bm r,t,\bm r'',t'') V'(\bm r'',t'') g(\bm r'',t'',\bm r',t') \right] V'(\bm r',t') \psi_0(\bm r',t')\\
&+\dots\\
&=\psi_0(\bm r,t)\\
&+\int d^3x' \int_{-\infty}^t dt'\Bigg[ g(\bm r,t,\bm r',t') V'(\bm r',t') \\
&\hspace{1cm}+\int d^3x'' \int_{t'}^{t} dt'' \ g(\bm r,t,\bm r'',t'') V'(\bm r'',t'') g(\bm r'',t'',\bm r',t') V'(\bm r',t') + \dots \Bigg] \psi_0(\bm r',t')\\
&=\psi_0(\bm r,t)
+\int d^3x' \int_{-\infty}^t dt'\ G(\bm r,t,\bm r',t') \psi_0(\bm r',t')\\
);
のようにまとめることができて、このとき
&math(G(\bm r,t,\bm r',t')=g(\bm r,t,\bm r',t') +\int d^3x'' \int_{t'}^{t} dt'' \ g(\bm r,t,\bm r'',t'') V'(\bm r'',t'') g(\bm r'',t'',\bm r',t') + \dots);
である。
&math(G(\bm r,t,\bm r',t')); に含まれる各項は、時刻 &math(t'); 位置 &math(\b r');
における波動関数値 &math(\psi_0(\bm r',t')); が追加のポテンシャル &math(V');
と &math((\bm r'',t'),(\bm r''',t'''),\dots); の各点で &math(n);
回の相互作用をして時刻 &math(t); 位置 &math(\b r);
における波動関数値 &math(\psi(\bm r,t));
に与える影響を表していると見なすことができる。
もっとも &math(G); は Green 関数ではないので注意。
** Green 関数が含む情報 [#m0b54cbc]
上の議論だけであれば、Green 関数には &math(\hat L_{\bm x,t});
に関する斉次方程式の情報しか含まれない。
だから、その Green 関数を導くのに熱統計平均などの概念を用いる必要がある理由がまず思い浮かばない。
しかし、教科書では Green 関数の導出に初期時刻における熱平衡状態の存在を仮定しており、
また、その結果得られる Green 関数に因果律（時間の矢の方向の情報）が含まれている。
加えて、Green 関数に &math(G^t); &math(G^{\bar t}); &math(G^a); &math(G^r);
の４種類があることも重要だ。
上記のように解を求める際、どれを使えば良いのだろうか？
このあたり、Green 関数には演算子の性質の他に「境界条件」の情報が含まれているのではないかと想像した。
物理学の基本方程式となる微分方程式が時刻の反転に対して対称であっても、
実世界には厳然たる時間の矢が存在している。
これは恐らく現実的な解を得るためには境界条件（時刻無限大でエントロピーが最大化する）
を含めて考えなければならないと言うこと。
Green 関数の任意性を用いてそのような境界条件を満たす解を構成することになるんじゃないか・・・とか。
まったく想像の域を出ないけど。
** Green 関数に含まれる t__0__ [#pdb341cc]
教科書では Green 関数の導出に特別な時刻 &math(t_0); を用いた。
これは系の初期状態が与えられる時刻である。
振り返って、上記のように元の微分方程式 (X3-10) を解くいう意味に於いて
Green 関数に初期値が含まれる理由は何か？
まったくよく分かっていない。
これも上で述べた「境界条件」と同様の話？
** ４つの Green 関数 [#n0e0a8a6]
** ４つの Green 関数 ＋ ２ [#n0e0a8a6]
:retarded = 遅延|
&math(g_{0}^r=-i\theta(t-t')\llangle \{c_{\mathrm H}c_{\mathrm H}^\dagger{}'\} \rrangle
=\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0});~
&math(t>t'); でしか値を持たず因果律を満たしている
:advanced = 先進|
&math(g_{0}^a=i\theta(t'-t)\llangle \{c_{\mathrm H}c_{\mathrm H}^\dagger{}'\} \rrangle
=\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0});~
&math(t<t'); でしか値を持たず反因果律(?)を満たしている
:time order = 時間順序|
&math(g_{0}^t&=-i\llangle Tc_{\mathrm H}c_{\mathrm H}^\dagger{}' \rrangle=-i\theta(t-t')\llangle c_{\mathrm H}c_{\mathrm H}^\dagger{}'\rrangle+i\theta(t'-t)\llangle c_{\mathrm H}^\dagger{}'c_{\mathrm H}\rrangle\\
&=\frac{f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}
+\frac{1-f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0}
);~
&math(t<t'); と &math(t>t'); と両方に値を持つ
:anti time order = 逆時間順序|
&math(g_{0}^{\bar t}&=-i\llangle \bar Tc_{\mathrm H}c_{\mathrm H}^\dagger{}' \rrangle=i\theta(t-t')\llangle c_{\mathrm H}^\dagger{}'c_{\mathrm H}\rrangle-i\theta(t'-t)\llangle c_{\mathrm H}c_{\mathrm H}^\dagger{}'\rrangle\\
&=-\frac{1-f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}
-\frac{f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0});~
&math(t<t'); と &math(t>t'); と両方に値を持つ
:lesser|
&math(g_{0}^<&=+i\llangle \bar c_{\mathrm H}^\dagger{}'c_{\mathrm H} \rrangle\\
&=+\frac{f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}
-\frac{f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0});~
経路順序 Green 関数ではあるが、実時間上では Green 関数にはならない
:greater|
&math(g_{0}^>&=-i\llangle \bar c_{\mathrm H}c_{\mathrm H}^\dagger{}' \rrangle\\
&=-\frac{1-f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}
+\frac{1-f_{\bm k}}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0});~
経路順序 Green 関数ではあるが、実時間上では Green 関数にはならない
注） 経路順序の Dyson 方程式を実時間に射影すると Dyson 方程式にならない理由は
&math(\tau\ne \tau'); であっても &math(t=t'); となる可能性があるため、
&math(\delta(\tau - \tau')\ne \delta(t-t')); なところにある。
&math(\hat L g^\alpha=\delta(t-t')\delta^3(\bm r-\bm r')); より、
&math(g=Ag^r+Bg^a+Cg^t+(1-A-B-C)g^{\bar t});
と置けば、任意の係数 &math(A,B,C); に対して
&math(\hat L g=\Big(A+B+C+1-A-B-C\Big)\delta(t-t')\delta^3(\bm r-\bm r')=\delta(t-t')\delta^3(\bm r-\bm r'));
となって、&math(g); は Dyson 方程式を満たす。
つまり、&math(g); にはこれだけの任意性があると言うこと。~
→ 他にはないことを検証していないけれど、
教科書の文脈からするとこれ以外には無いという雰囲気？
上記のように Green 関数を使ってシュレーディンガー方程式を解くという問題を考えれば、
これらの係数も系に合わせて正しく決定してやらなければ解を得られないことになる。
&math(g^t,g^{\bar t}); には &math(f_{\bm k}); の情報が含まれているが、
&math(g^r,g^a); には含まれていない。実のところ、&math(g^r,g^a);
は元の方程式の「時間発展の情報のみ」しか含んでいない by 佐野先生。
9 章で電荷密度、電流密度を求めるには &math(g^<);
を調べているので、そちらには初期状態の情報が入ってきているはず？
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