線形代数II/基底の変換 のバックアップ差分(No.14)

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#contents
#mathjax

* 基底の変換 [#lb2f5ba0]

** $\mathbb R^3$ の数ベクトル表現 [#ff3539d9]
** 数ベクトル空間における数ベクトル表現の求め方 [#ff3539d9]

次の3つのベクトルは &math(\mathbb R^3); の基底を為す。
例として、次の3つのベクトルは &math(\mathbb R^3); の基底を為す。

&math(
\bm b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\bm b_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\bm b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
);

つまり、次の2つが成り立つ。
適当な &math(\bm x\in\mathbb R^3); が与えられたとして、この基底に対する数ベクトル表現 &math(\bm x'\in\mathbb R^3); を求めたい。

+ &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); は線形独立である
+ &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); は &math(\mathbb R^3); を張る

1. はほぼ自明

2. は、&math(\forall \bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3); を、

&math(\bm x=\bm b_1 x' +\bm b_2 y'+\bm b_3 z');

として表せると言う意味。あるいはこれを満たす &math(x',y',z'); を見つけられるという意味。

&math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}
=B\bm x');

と書き直すと、1. より &math(B); は正則行列であるから、どんな &math(\bm x); を与えられたとしても &math(\bm x'=B^{-1}\bm x); とすれば &math(\bm x'); を見つけられることが分かる。
と書けば、&math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); は一次独立なので &math(B); は正則行列になる。

すなわち、&math(\mathbb R^3); のベクトル &math(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); の、
基底 &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); に対する数ベクトル表現は、
したがって、 &math(\bm x'=B^{-1}\bm x); とすれば数ベクトル表現が得られる。

&math(\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix});
すなわち、

と書けることが分かる。
&math(\bm x'=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}^{-1}\bm x);

実は上記の議論は線形独立な任意の &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); にあてはまる。
上記の議論は線形独立な任意の3つのベクトル &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); に適用できる。

** 基底の変換行列 [#bebc4cfe]

&math(n); 次元線形空間 &math(V); に2つの基底を取る
&math(K); 上の &math(n); 次元線形空間 &math(V); に2つの基底を取る

&math(\comment{widetilde} A=\langle\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n\rangle);
&math(\comment{widetilde} A=\set{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n});

&math(\comment{widetilde} B=\langle\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n\rangle);
&math(\comment{widetilde} B=\set{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n});

これらの基底に対するベクトル &math(\bm x\in V); の表現 
&math(\bm x_{\comment{widetilde} A}, \bm x_{\comment{widetilde} B}\in K^n); は、

(1) &math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{\comment{widetilde} A}
);

(2) &math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{\comment{widetilde} B}
);

の関係を満たす。図に表わせば、

&attachref(基底の変換.png,,50%);

&math(\bm x_{\comment{widetilde} A}\to \bm x); および &math(\bm x\to \bm x_{\comment{widetilde} B}); はともに
線形写像となるから、その合成写像 &math(\bm x_{\comment{widetilde} A}\to \bm x_{\comment{widetilde} B}); 
も線形写像である。

線形代数I において &math(K^n\to K^n); の線形変換は &math(n\times n); 行列の積で表せることを学んだ。
すなわち、ある行列 &math(P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}); を用いて、

(3) &math(\bm x_{\comment{widetilde} B}=P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}\bm x_{\comment{widetilde} A});

と表せる。

このとき、&math(P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}); を 
基底 &math(\comment{widetilde} B); から 基底 &math(\comment{widetilde} A); への基底の変換行列と呼ぶ。

** 変換の向き [#ma60dc7d]

上記を良く読んで「変換の向きは逆じゃないの?」と思うのは正しい感覚。

どうしてこの向きかというと、

(2) に (3) を代入して、

&math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}\bm x_{\comment{widetilde} A}
);

と (1) とを比べると、

(4) &math(
\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}
);

となり、&math(\comment{widetilde} B); の基底ベクトルを並べて右から &math(P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A});
を掛けることで &math(\comment{widetilde} A); の基底ベクトルが得られる。

こう書けば変換の向きは正しく思えるはず。

** 変換行列 $P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}$ の具体的な形 [#d7adb478]

変換行列の列ベクトルを次のように置く。

&math(P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}=\begin{pmatrix}\bm p_1&\bm p_2&\dots&\bm p_n\end{pmatrix});

(4) を列ベクトルごとに見れば、

&math(
\bm a_i=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm p_i
);

一方、&math(\bm a_i); の &math(\comment{widetilde} B); に対する表現 &math(\bm a_{i\comment{widetilde} B}); は

&math(
\bm a_i=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm a_{i\comment{widetilde} B}
);

だったから、

&math(\bm p_i=\bm a_{i\comment{widetilde} B});

すなわち、

&math(P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}=\begin{pmatrix}\bm a_{1\comment{widetilde} B}&\bm a_{2\comment{widetilde} B}&\dots&\bm a_{n\comment{widetilde} B}\end{pmatrix});

となる。

** 正則性 [#p6b07f11]

当然、逆写像も線形写像であるから、

&math(\bm x_{\comment{widetilde} A}=P_{\comment{widetilde} A\to \comment{widetilde} B}\bm x_{\comment{widetilde} B});

であり、

&math(P_{\comment{widetilde} A\to \comment{widetilde} B}=P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}^{-1});

の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。

* 例 [#cd58eba3]

後で追加する
&math(\mathbb R^2); に、2つの基底を取る。

&math(
\bm a_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},
\bm a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
);

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&math(
\bm b_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},
\bm b_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
);

&math(\bm a_1,\bm a_2); を &math(\bm b_1,\bm b_2); で展開すれば、

&math(\bm a_1=\frac{1}{3}\bm b_1+\frac{1}{3}\bm b_2); 
→ &math(\bm a_{1B}=\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix});

&math(\bm a_2=-\bm b_1+\bm b_2);
→ &math(\bm a_{2B}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix});

2つの式をまとめると、

&math(
\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\bm a_{1B}&\bm a_{2B}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}
);

この表式を用いて、

&math(
\bm x&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}\bm x_B\\
);

すなわち、

&math(
\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A=\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\bm x_A
);

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* 質問・コメント [#ca406670]

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