線形代数II/基底の変換 のバックアップ差分(No.21)

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#contents
#mathjax

* 基底の変換 [#lb2f5ba0]

** 異なる基底に対する表現 [#p1142f92]

&math(\mathbb R^2); に2つの基底

 &math(A&:\Big\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\Big\}\\
B&:\Big\{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big\});

を取る。
を取ると、1つのベクトル &math(\bm x); に対して2つの表現 &math(\bm x_A,\bm x_B); が得られる。

 &math(\bm x=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix});

の基底 &math(A); に対する表現 &math(\bm x_A); は、

 &math(
\bm x&=1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\\
\bm x&=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\\
&=\bigg(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\bigg)
\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\
&=\bigg(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\bigg)
\bm x_A
\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\hspace{6mm}\to\ \bm x_A=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\
&=\bigg(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\bigg)
\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}\hspace{5mm}\to\ \bm x_B=\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}\\
);

より、

 &math(\bm x_A=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix});

である。同様に、&math(\bm x); の基底 &math(B); に対する表現 &math(\bm x_B); は、

 &math(\bm x_B=\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix});

である。

以下では、&math(\bm x_A); と &math(\bm x_B); との間に成り立つ関係について考える。

** 基底の変換行列 [#bebc4cfe]

&math(K); 上の &math(n); 次元線形空間 &math(V); に2つの基底を取る

 &math( A=\set{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n});

 &math( B=\set{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n});

これらの基底に対するベクトル &math(\bm x\in V); の表現 
&math(\bm x_{ A}, \bm x_{ B}\in K^n); は、

(1) &math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{ A}
);

(2) &math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{ B}
);

の関係を満たす。図に表わせば、

&attachref(基底の変換.png,,50%);

&math(\bm x_{ A}\to \bm x); および &math(\bm x\to \bm x_{ B}); はともに
線形写像となるから、その合成写像 &math(\bm x_{ A}\to \bm x_{ B}); 
も線形写像である。

** 数ベクトルの線形写像は行列のかけ算で表せる [#tbc1674c]

一般に、数ベクトルから数ベクトルへの線形写像 &math(T:K^n\to K^m); は 
&math(m\times n); 行列のかけ算の形で表せる。

なぜなら、

 &math(\bm x=\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i);

とすると、&math(T); が線形写像であることから、

 &math(
T\bm x&=T\Bigg(\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i\Bigg)\\
&=\sum_{i=1}^n \hspace{3mm} x_i\hspace{-5mm}\underbrace{T\bm e_i}_{m次数ベクトル}\\
&=\underbrace{\Bigg(
T\bm e_1\ T\bm e_2\ \dots\ T\bm e_n
\Bigg)}_{m\times n行列} \bm x\\
&=A_T\bm x
);

** そここで、 [#u953e345]

ある &math(n); 次正方行列 &math(P_{ B\to  A}); を用いて、

(3) &math(\bm x_{ B}=P_{ B\to  A}\bm x_{ A});

と表せる。

このとき、&math(P_{ B\to  A}); を 
基底 &math( B); から 基底 &math( A); への基底の変換行列と呼ぶ。

** 変換の向き [#ma60dc7d]

上記を良く読んで「変換の向きは逆じゃないの?」と思うのは正しい感覚。

どうしてこの向きかというと、

(2) に (3) を代入して、

&math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to  A}\bm x_{ A}
);

と (1) とを比べると、

(4) &math(
\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to  A}
);

となり、&math(P_{ B\to  A}); は基底 &math( B); を基底 &math( A); に変換する。

基底を変換するのと、数ベクトル表現を変換するのとを区別して覚えよう。
基底を変換する (3) と、数ベクトル表現を変換する (4) とをしっかり区別して覚えよう。

** 変換行列 $P_{ B\to  A}$ の具体的な形 [#d7adb478]
** 具体例 [#d7adb478]

上記の例であれば &math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}); と置いて、

 &math(
\Big(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\Big)
&=
\Big(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big)
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\
&=
\Big(a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ \ 
b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big)\\
);

すなわち、

 &math(
\begin{cases}
\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
=a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
=b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
\end{cases}
);

 &math(a=1, c=-1, b=-1/2, d=2);

したがって、

 &math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix}1&-1/2\\-1&2\end{pmatrix});

上の例で言えば、

 &math(\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A);

 &math(
\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&-1/2\\-1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
);

であり、確かに成り立っている。


** 一般には [#yf460a50]
** $P_{B\to A}$ の求め方 [#yf460a50]

&math(P_{B\to A}=\Big(\bm p_1\ \bm p_2\ \bm p_n\Big)); と置けば、
基底 &math(A); の &math(k); 番目の基底ベクトル &math(\bm a_k); の &math(B); に対する表現 &math((\bm a_k)_B); を考えるとわかりやすい。

 &math(
\bm x_A=\begin{pmatrix}
0\\[-2mm]\vdots\\[-1mm]0\\1\\0\\[-2mm]\vdots\\[-1mm]0
\end{pmatrix}\leftarrow k行目
);
&math((\bm a_k)_A=\bm e_k); なので(ただし &math(\bm e_k); は &math(k); 番目の基本ベクトル)、

に対して
&math(P_{B\to A}=\Bigg(\,\bm p_1\ \bm p_2\ \cdots\ \bm p_n\,\Bigg)); と置けば、

 &math(\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A=\bm p_k);
 &math((\bm a_k)_B=P_{B\to A}(\bm a_k)_A=P_{B\to A}\bm e_k=\bm p_k);

であるが、&math(\bm x=\bm a_k); であるから、
したがって、

 &math(\bm x_B=(\bm a_k)_B);
 &math(P_{B\to A}=\Bigg((\bm a_1)_B\ (\bm a_2)_B\ \cdots\ (\bm a_n)_B\Bigg));

すなわち、

 &math(P_{B\to A}=\bigg((\bm a_1)_B\ (\bm a_2)_B\ (\bm a_n)_B\bigg));

となって、&math(P_{B\to A}); は
基底 &math(A); の基底ベクトルの基底 &math(B); に対する表現を並べて作った行列となる。

上の例ならば、

 &math({\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!}_B=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix});

 &math({\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\!}_B=\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix});

となって、確かに正しい。

** 正則性 [#p6b07f11]

当然、逆写像も線形写像であるから、

&math(\bm x_{ A}=P_{ A\to  B}\bm x_{ B});

であり、

&math(P_{ A\to  B}=P_{ B\to  A}^{-1});

の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。

* 例 [#cd58eba3]

&math(\mathbb R^2); に、2つの基底を取る。

&math(
\bm a_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},
\bm a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
);

&math(
\bm b_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},
\bm b_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
);

&math(\bm a_1,\bm a_2); を &math(\bm b_1,\bm b_2); で展開すれば、

&math(\bm a_1=\frac{1}{3}\bm b_1+\frac{1}{3}\bm b_2); 
→ &math(\bm a_{1B}=\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix});

&math(\bm a_2=-\bm b_1+\bm b_2);
→ &math(\bm a_{2B}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix});

2つの式をまとめると、

&math(
\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\bm a_{1B}&\bm a_{2B}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}
);

この表式を用いて、

&math(
\bm x&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}\bm x_B\\
);

すなわち、

&math(
\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A=\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\bm x_A
);

* 演習 [#b5b7ccac]

&math(\mathbb R^3); に2つの基底 
&math(A=\Big\{
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
\Big\});

&math(B=\Big\{
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\Big\});
&math(P^2[x]); に2つの基底 ~
&math(A=\{1, x, x^2\});
と~
&math(B=\{1, 1+x, 1+x+x^2\});
を取る。

(1) &math(A); から &math(B); への変換行列 &math(P_{A\to B});、
&math(B); から &math(A); への変換行列 &math(P_{B\to A}); を求めよ。

(2) &math(\bm x_A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}); に対応する &math(\bm x,\bm x_B); を求めよ。

(3) &math(\bm x_B=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}); に対応する &math(\bm x,\bm x_A); を求めよ。

** 解答 [#c6ad9c4a]

(1)

 &math(
\Bigg(
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\Bigg)
=
\Bigg(
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
\Bigg)P_{A\to B}
\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg) =
\Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg)
P_{A\to B}
);

より、

 &math(P_{A\to B}=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&1&1\\
0&0&1\\
\end{pmatrix});

また、

 &math(
\Bigg(
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
\Bigg)
=
\Bigg(
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\Bigg)P_{B\to A}
\Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg) =
\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)
P_{B\to A}
);

より、

 &math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&1&-1\\
0&0&1\\
\end{pmatrix});

あるいは、&math(
P_{B\to A}=P_{A\to B}^{-1}
); から求めても良い。

(2)

 &math(\bm x&=
\Bigg(
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
\Bigg)\bm x_A=
\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
 &math(
\bm x&=
\Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg)\bm x_A=
1+2x+3x^2
);

 &math(\bm x_B&=P_{B\to A}\bm x_A\\
 &math(
\bm x_B&=P_{B\to A}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&1&-1\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
-1\\
-1\\
3\\
\end{pmatrix}
);

検算:

 &math(\bm x&=\Bigg(
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\Bigg)\bm x_B
=\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
 &math(\bm x&=\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)\bm x_B
=1+2x+3x^2
);

(3)

 &math(\bm x&=
\Bigg(
\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\ 
\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
\Bigg)\bm x_B=
\begin{pmatrix}6\\4\\3\end{pmatrix}
\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)\bm x_B=
6+5x+3x^2
);

 &math(\bm x_B&=P_{A\to B}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&1&1\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
6\\
4\\
5\\
3\\
\end{pmatrix}
);

~

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* 質問・コメント [#ca406670]

#article_kcaptcha
**変換行列の具体的な形ー一般にはの部分 [#c5576967]
>[[濱口数馬]] (&timetag(2015-11-15T09:47:44+09:00, 2015-11-15 (日) 18:47:44);)~
~
 確認計算の2列目は、-1/2, 2では?

//

#comment_kcaptcha


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