線形代数II/基底の変換 のバックアップ差分(No.8)

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[[線形代数Ⅱ]]

#contents
#mathjax

* 基底の変換 [#lb2f5ba0]

** $\mathbb R^3$ の数ベクトル表現 [#ff3539d9]

次の3つのベクトルは &math(\mathbb R^3); の基底を為す。

&math(
\bm b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\bm b_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\bm b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
);

つまり、次の2つが成り立つ。

+ &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); は線形独立である
+ &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); は &math(\mathbb R^3); を張る

1. はほぼ自明

2. は、&math(\forall \bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3); を、

&math(\bm x=\bm b_1 x' +\bm b_2 y'+\bm b_3 z');

として表せると言う意味。あるいはこれを満たす &math(x',y',z'); を見つけられるという意味。

&math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}
=B\bm x');

と書き直すと、1. より &math(B); は正則行列であるから、どんな &math(\bm x); を与えられたとしても &math(\bm x'=B^{-1}\bm x); とすれば &math(\bm x'); を見つけられることが分かる。

すなわち、&math(\mathbb R^3); のベクトル &math(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); の、
基底 &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); に対する数ベクトル表現は、

&math(\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix});

と書けることが分かる。

実は上記の議論は線形独立な任意の &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); にあてはまる。

** 基底の変換 [#bebc4cfe]
** 基底の変換行列 [#bebc4cfe]

&math(\mathbb R^3); のベクトル &math(\bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); という書き方は、
&math(n); 次元線形空間 &math(V); に2つの基底を取る

基本ベクトルを &math(
\bm e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\bm e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},
\bm e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
); として
&math(\widetilde A=\set{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n});

&math(\bm x=x\bm e_1+y\bm e_2+z\bm e_3
=\begin{pmatrix}\bm e_1&\bm e_2&\bm e_3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix});
&math(\widetilde B=\set{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n});

であるから、「基本ベクトルを基底とした時の &math(\bm x); の数値表現である」と言える。
これらの基底に対するベクトル &math(\bm x\in V); の表現 
&math(\bm x_{\widetilde A}, \bm x_{\widetilde B}\in K^n); は、

したがって、~
基底 &math(\set{\bm e_1,\bm e_2,\bm e_3}) に対する数値表現 &math(\bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); から、~
基底 &math(\set{\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3}) に対する数値表現 &math(\bm x'=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}); への変換が、~
&math(\bm x'=B\bm x); と書けることになる。
(1) &math(
\bm x\\
=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{\widetilde A}
);

このような変換を基底の変換、行列 &math(B); を基底の変換行列、と呼ぶ。
(2) &math(
=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{\widetilde B}
);

ここで、行列 &math(B=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}); は、
ベクトル &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); の、&math(\bm e_1,\bm e_2,\bm e_3); に対する
数値表現を行列として並べた物となっている。
の関係を満たす。図に表わせば、

** 基底の変換行列 [#nfca15f3]
&attachref(基底の変換.png,,50%);

線形空間 &math(V); に2つの基底、
&math(\mathcal A=\set{\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_n}); および &math(\mathcal B=\set{\bm b_1, \bm b_2, \dots, \bm b_n}); 
があるとする。(&math(n=\dim V);)
&math(\bm x_{\widetilde A}\to \bm x); および &math(\bm x\to \bm x_{\widetilde B}); はともに
線形写像となるから、その合成写像 &math(\bm x_{\widetilde A}\to \bm x_{\widetilde B}); 
も線形写像である。

&math(\forall\bm x\in V); の~
&math(\mathcal A); に対する数値表現 &math(\bm x_{\mathcal A}); と~
&math(\mathcal B); に対する数値表現 &math(\bm x_{\mathcal B}); との間には、
線形代数I において &math(K^n\to K^n); の線形変換は &math(n\times n); 行列の積で表せることを学んだ。
すなわち、ある行列 &math(P_{\widetilde B\to \widetilde A}); を用いて、

&math(\bm x_{\mathcal B}=A_{\mathcal B}^{-1}\bm x_{\mathcal A});
(3) &math(\bm x_{\widetilde B}=P_{\widetilde B\to \widetilde A}\bm x_{\widetilde A});

の関係がある。ただし、
と表せる。

&math(B_{\mathcal A}); は &math(n\times n); 行列で、~
\&math(\mathcal B); の基底ベクトルそれぞれに対して基底 &math(\mathcal A); での数値表現を作り、
それらを横に並べた行列である。
このとき、&math(P_{\widetilde B\to \widetilde A}); を 
基底 &math(\widetilde B); から 基底 &math(\widetilde A); への基底の変換行列と呼ぶ。

この &math(B_{\mathcal A}); を、基底 &math(\mathcal A); から基底 &math(\mathcal B); への
基底の変換行列と呼ぶ。
** 変換の向き [#ma60dc7d]

「変換の向きは逆じゃないの?」というのは正しい感覚。

どうしてこの向きかというと、

(2) に (3) を代入して、

&math(
\bm x&=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm x_{\mathcal A}\\
&=\big(\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n\big)\bm x_{\mathcal B}\\
\bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\widetilde B\to \widetilde A}\bm x_{\widetilde A}
);

と (1) とを比べると、

(4) &math(
\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\widetilde B\to \widetilde A}
);

となり、&math(\widetilde B); の基底ベクトルを並べて右から &math(P_{\widetilde B\to \widetilde A});
を掛けることで &math(\widetilde A); の基底ベクトルが得られる。

こう書けば変換の向きは正しく思えるはず。

** 変換行列 $P_{\widetilde B\to \widetilde A}$ の具体的な形 [#d7adb478]

変換行列の列ベクトルを次のように置けば、

&math(P_{\widetilde B\to \widetilde A}=\begin{pmatrix}\bm p_1&\bm p_2&\dots&\bm p_n\end{pmatrix});

(4) より、

&math(
\bm b_i=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm b_{i\mathcal A}
\bm a_i=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm p_i
);

一方、&math(\bm a_i); の &math(\widetilde B); に対する表現 &math(\bm a_{i\widetilde B}); は

&math(
\bm a_i=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm a_{i\widetilde B}
);

であるから、

&math(\bm p_i=\bm a_{i\widetilde B});

すなわち、

&math(P_{\widetilde B\to \widetilde A}=\begin{pmatrix}\bm a_{1\widetilde B}&\bm a_{2\widetilde B}&\dots&\bm a_{n\widetilde B}\end{pmatrix});

となる。

** 正則性 [#p6b07f11]

当然、逆写像も線形写像であるから、

&math(\bm x_{\widetilde A}\to \bm x=P_{\widetilde A\to \widetilde B}\bm x_{\widetilde A});

であり、

&math(P_{\widetilde A\to \widetilde B}=P_{\widetilde B\to \widetilde A}^{-1});

の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。

* 質問・コメント [#ca406670]

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