解析力学/ハミルトニアン のバックアップ差分(No.1)

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* 一般化運動量（正準運動量） [#o9459a42]

カーテシアン座標系($x,y,z$ 座標系)に対してラグランジュの運動方程式は、

$$
\frac{d}{dt}\bigg\{\underbrace{\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}}_\text{運動量}\bigg\}=\underbrace{\frac{\partial L}{\partial q_k}}_\text{力}
$$

の形になり、力により運動量が時間変化することを表していた。

そこで一般の座標 $q_k$ に対して、

$$
p_k=\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}
$$

も運動量と呼ぶことにする。$q_k$ がカーテシアン座標でない場合には通常の運動量と区別するため特にこれを一般化運動量あるいは正準運動量と呼ぶ。

このときラグランジュの運動方程式は

$$
\dot p_k=\frac{\partial L}{\partial q_k}
$$

を表すことになり、ラグランジアンの全微分を

$$
\begin{aligned}
dL
&=\sum_{k=1}^n\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}d\dot q_k+\frac{\partial L}{\partial q_k}d q_k\right]\\
&=\sum_{k=1}^n\big(p_k\,d\dot q_k+\dot p_k\,d q_k\big)\\
\end{aligned}
$$

と表せることになる。

** 例 [#baca12be]

先の振り子の例で言えば、

$$
L=\frac12mr^2\dot\theta^2-mgr(1-\cos\theta)
$$

であったから、$\theta$ に対する一般化運動量は、

$$
p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}=mr^2\dot\theta
$$

である。
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