ベリー位相・ベリー接続・ベリー曲率 のバックアップ差分(No.8)

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  • 15 (2020-03-01 (日) 23:37:39)
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  • 17 (2020-03-02 (月) 14:17:22)
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[[量子力学Ⅰ]]

* 目次 [#m5a7c0be]

#contents

&katex();


* Berry 位相・Berry 接続・Berry 曲率 [#ubb06455]

このページは [[バンド理論の勉強]] の元になった 2020年の若林先生の授業内容を元に書いたものですが、私の理解が足りない部分につて後から勉強しなおした結果、内容は大幅に再構成されています。そのため内容には誤りが多いかもしれません。ご容赦ください。

一次摂動に関しては [[ＥＭＡＮの物理学・量子力学・摂動論>https://eman-physics.net/quantum/perturb.html]] が大変参考になりました。


** 波動関数の位相とパラメータ依存性 [#z87f40ea]

一般に固有値問題を解いて得られる固有ベクトルにはその係数が自由パラメータとして残る。
だからシュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数に任意の複素数をかけてもシュレーディンガー方程式の解となる。

ただし量子力学では固有関数を規格化するため、この条件から係数の絶対値が決まる。
そして位相だけが自由に選べる。一方、観測可能な物理量は波動関数の位相の選び方によらないことが知られている。

特に、LCOA 近似の上では波数 $\bm k$ を含むハミルトニアンを解いて得られる
異なるパラメータ $\bm k$ に対する解ごとに好き放題に位相を選んだとしても何ら問題ない。

そのように任意に取られた位相を持つ波動関数から、位相に影響されない物理量が出てくるあたりの話について議論するのが以下の話なんじゃないかな（急に弱気）。

何らかの方法で固有値と固有関数、特に波動関数の位相までをパラメータに依存する形で定めたものを次のように書こう。

$$
\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$

$(n)$ は $n$ 番目のバンド、つまり小さいほうから $n$ 番目の固有値であることを表す。

上で述べたのは、これにパラメータ $\bm q$ ごとに適当な位相 $\varphi(\bm q)$ を掛けて、

$$
|\tilde\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=e^{-i\varphi(\bm q)}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$

のように決めた $|\tilde\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ も、$|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ と同様に正しい波動関数である、ということだ。

** 同じ物理状態に対する解の位相 [#tda67852]
** 一次摂動のおさらい [#ubb8b5cd]

上で書いた位相 $\varphi(\bm q)$ の選び方によっては、
基本的に普通の摂動論なのだけれど、通常まるっきり重要視されない ''摂動後の波動関数の、元の波動関数と同じ成分の位相変化'' に注目したいのでさらっと目を通してほしい。

+ 異なるパラメータ $\bm q_1$ と $\bm q_2$ とが同じ物理状態を表すにも関わらず
$|\tilde\psi_{\bm q_1}^{(n)}\rangle$ の位相と $|\tilde\psi_{\bm q_2}^{(n)}\rangle$ の位相が異なる。
+ パラメータ $\bm q$ を $\bm q_1$ から連続的に動かして再び $\bm q_1$ に戻した時に位相が変わってしまう（$\varphi(\bm q)$ が多値になる）。
ハミルトニアンに小さな摂動項が追加された時に固有値及び固有関数がどのように変化するかを考える。

といったことが起きる。
$$
\hat H\to\hat H+\delta\hat H
$$

このあたりが電流を求める際などに重要になってくる（？）。
$\hat H$ の $n$ 番目の固有値を $\varepsilon^{(n)}$、固有関数を $|\psi^{(n)}\rangle$ と書くことにして、

** 例：グラフェンの $K$ 状態の周りの電子 [#ob756f3e]
$$
(\hat H+\delta\hat H)(|\psi^{(n)}\rangle+|\delta\psi^{(n)}\rangle)=
(\varepsilon^{(n)}+\delta\varepsilon^{(n)})
(|\psi^{(n)}\rangle+|\delta\psi^{(n)}\rangle)
$$

グラフェンの $K$ 点回りの波動方程式の解は 
二次の微少量を無視すると 
$\hat H|\psi^{(n)}\rangle=\varepsilon^{(n)}|\psi^{(n)}\rangle$ に注意して、

$$\bm k=\begin{pmatrix}k\cos\phi\\k\sin\phi\end{pmatrix}$$

と置いたときに

$$
\Phi_{\bm k}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi}\\1\end{pmatrix}
\hat H|\delta\psi^{(n)}\rangle+\delta\hat H|\delta\psi^{(n)}\rangle=
\varepsilon^{(n)}|\delta\psi^{(n)}\rangle+\delta\varepsilon^{(n)}|\psi^{(n)}\rangle
$$

と表された。
$\langle\psi^{(n')}|$ をかけると、
$\langle\psi^{(n')}|\hat H=\langle\psi^{(n')}|\varepsilon^{(n')}$ に注意して、

$\phi\to\phi+2\pi$ のように $\bm k$ がK点周りを一周したとき、
上記の表式では

$$
\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi+2\pi}\\1\end{pmatrix}
=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi}\\1\end{pmatrix}
\varepsilon^{(n')}\langle\psi^{(n')}|\delta\psi^{(n)}\rangle+
\underbrace{\langle\psi^{(n')}|\delta\hat H|\psi^{(n)}\rangle}_{\delta H_{n'n}}=
\varepsilon^{(n)}\langle\psi^{(n')}|\delta\psi^{(n)}\rangle+\delta\varepsilon^{(n)}\underbrace{\langle\psi^{(n')}|\psi^{(n)}\rangle}_{\delta_{n'n}}
$$

となって波動関数は位相を含めて元に戻る。
この式は $n'=n$ では、

これに位相 $e^{-i\phi/2}$ を掛けると（$\varphi(\bm k)=\phi/2$）、

$$
\tilde\Phi_{\bm k}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi/2}\\e^{-i\phi/2}\end{pmatrix}
\delta\varepsilon^{(n)}=\delta H_{nn}
$$

となって、こちらは
$n'\ne n$ では、

$$
\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}
e^{i(\phi+2\pi)/2}\\e^{-i(\phi+2\pi)/2}
\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}
{}-e^{i\phi/2}\\-e^{-i\phi/2}
\end{pmatrix}
\langle\psi^{(n')}|\delta\psi^{(n)}\rangle=\frac{-\delta H_{n'n}}{\varepsilon^{(n')}-\varepsilon^{(n)}}
$$

のように一周回ると符号が反転してしまう。
を表す。したがって、

これ、$k,\phi$ をパラメータとして見れば、同一の物理状態を表す異なるパラメータ $\phi,\phi+2\pi$ に対する解が異なる位相を持つ、という話で、ベクトル $\bm k$ をパラメータとして見れば連続的に動かして同じパラメータに戻ってきたときに異なる位相を持つ、という話になる。

** 例：マグネティックモノポールとスピンの系（１） [#o443d249]

原点に大きさ $M$ のマグネティックモノポールの存在を仮定し、

$$
\bm B=\frac{M}{r^2}\frac{\bm r}{r}
|\delta\psi^{(n)}\rangle=\langle\psi^{(n)}|\delta\psi^{(n)}\rangle\cdot|\psi^{(n)}\rangle+\sum_{n'\ne n}\frac{-\delta H_{n'n}}{\varepsilon^{(n')}-\varepsilon^{(n)}}\cdot|\psi^{(n')}\rangle
$$

$\bm r=(r,\theta,\phi)$ に大きさ $s$ のスピンを置く。
と表せることになる。右辺第１項は、$|\delta\psi^{(n)}\rangle$ の $|\psi^{(n)}\rangle$ 成分がまだ求まっていないため形式的にこう書いただけであまり意味がない表記になっている。

$$
\bm s=s\bm\sigma
$$
ここではこの係数 $\langle\psi^{(n)}|\delta\psi^{(n)}\rangle$ が必ず純虚数になることを指摘しておく。

相互作用を表すハミルトニアンは $r,\theta,\phi$ をパラメータとして含み、
というのも、あるベクトル $\bm v$ がそのノルムを変えずに $\bm v+\delta\bm v$ 
になったとすると、２次の微少量を無視して

$$
\begin{aligned}
\hat H(r,\theta,\phi)
&=-\bm B\cdot\hat\bm s\\
&=-\underbrace{\frac{sM}{r^2}}_{\varepsilon_0}\Big(\frac{\bm r}{r}\Big)\cdot\hat\bm\sigma\\
&=-\varepsilon_0(\hat\sigma_x\sin\theta\cos\phi+\hat\sigma_y\sin\theta\sin\phi+\hat\sigma_z\cos\theta)\\
&=-\varepsilon_0\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\
\sin\theta e^{-i\phi}&-\cos\theta
\end{pmatrix}
&\|\bm v\|^2=\|\bm v+\delta\bm v\|^2=\\
&\|\bm v\|^2+\text{Re}\,(\bm v,\delta\bm v)+\cancel{\|\delta\bm v\|^2}
\end{aligned}
$$

これを解くと、
が成り立たなければならないから、$\text{Re}\,(\bm v,\delta\bm v)=0$ 
すなわち $\delta\bm v$ の $\bm v$ 成分は純虚数でなければならないのだ。

$$
\varepsilon^{(1)}=+\varepsilon_0,
\ \psi^{(1)}=\begin{pmatrix}
\sin(\theta/2) e^{-i\phi}\\
{}-\cos(\theta/2)
\end{pmatrix}
$$
そこで $-i\langle\psi^{(n)}|\delta\psi^{(n)}\rangle=\delta A$ と書くと、一次近似の範囲で

$$
\varepsilon^{(2)}=-\varepsilon_0,
\ \psi^{(2)}=\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2)\\
\sin(\theta/2) e^{i\phi}
\end{pmatrix}
\begin{aligned}
|\psi^{(n)}\rangle+|\delta\psi^{(n)}\rangle
&=(1+i\delta A)\cdot|\psi^{(n)}\rangle+\sum_{n'\ne n}\frac{-\delta H_{n'n}}{\varepsilon^{(n')}-\varepsilon^{(n)}}\cdot|\psi^{(n')}\rangle\\
&=e^{i\delta A}\cdot|\psi^{(n)}\rangle+\sum_{n'\ne n}\frac{-\delta H_{n'n}}{\varepsilon^{(n')}-\varepsilon^{(n)}}\cdot|\psi^{(n')}\rangle\\
\end{aligned}
$$

が求まるが、この波動関数は
$\theta=0$ において
となる。

$$
\psi^{(1)}=\begin{pmatrix}
0\\-1
\end{pmatrix},
\ \psi^{(2)}=\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
$$
すなわち摂動項の導入による $|\psi^{(n)}\rangle$ 成分の変化は位相の回転として表せる。

であるのに対して、
$\theta=\pi$ においては
** Adiabatic dynamics （断熱的運動）と Berry 接続 [#z35dea0d]

$$
\psi^{(1)}=\begin{pmatrix}
e^{-i\phi}\\0
\end{pmatrix},
\ \psi^{(2)}=\begin{pmatrix}
0\\e^{i\phi}
\end{pmatrix}
$$
（https://www.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/ryoushirikigaku4.pdf#page=227 を参考にしながら、気になる部分を直しながら）

となって、波動関数の位相が $\phi$ によって異なる値を取るような解となっている。
ハミルトニアンがゆっくりと時間変化するパラメータ $\bm q(t)$ を含んでいるとする。

$$
\begin{cases}
r_x=r\sin\theta\cos\phi\\
r_y=r\sin\theta\sin\phi\\
r_z=r\cos\theta\\
\end{cases}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=\hat H(\bm q(t))|\psi\rangle
$$

の値は $\theta=\pi$ において $\phi$ が異なっても等しいから、
$\theta=\pi$ においては $\phi$ が異なっても物理的には同一の系を表す。
十分にゆっくりなため、各時刻ごとに固有値問題が解けて、

実際、得られる解は位相を除いて等しい。

すなわち $\theta,\phi$ をパラメータとして見ると、

1. パラメータ $(\theta,\phi)=(\pi,\phi_1)$ と $(\theta,\phi)=(\pi,\phi_2)$ とが同じ物理状態を表すにも関わらず
$|\tilde\psi_{(\pi,\phi_1)}^{(n)}\rangle$ の位相と $|\tilde\psi_{(\pi,\phi_2)}^{(n)}\rangle$ の位相が異なる

あるいは、

2. パラメータ $\bm r$ を $\bm r_1=(0,0,-1)$ から連続的に動かして再び $\bm r_1=(0,0,-1)$ に戻した時に位相が変わってしまう(前者が $(\theta,\phi)=(\pi,\phi_1)$ に後者が $(\theta,\phi)=(\pi,\phi_2)$ に対応していると考える)

の例になっている。

** 同じ物理状態を表すパラメータに対する解の位相差を求める方法 [#w7ca8617]

以下に詳しく見る通り、パラメータ $\bm q_1$ と $\bm q_2$ とが同じ物理状態を表すとき、ある適当な経路に沿って $\bm q$ を動かして

$$
\gamma=i\int_{\bm q_1}^{\bm q_2}\langle\psi_{\bm q}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}\rangle \cdot d\bm q
\hat H(\bm q(t))\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle=\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle
$$

を計算して求まる $\gamma$ が $|\psi_{\bm q_1}\rangle$ と $|\psi_{\bm q_2}\rangle$ との間の位相差を表すことが知られている（$\bm q_1=\bm q_2$ でも構わない）。上でも述べた通り、２つの波動関数は同じ物理状態に対する解なので位相を除いて一致するのを思い出そう。
を満たすものとする（ここが断熱近似）。

すなわち、
これらの正規直交固有関数は時刻 $t$ の近辺で

$$
|\psi_{\bm q_2}\rangle=e^{-i\gamma}\,|\psi_{\bm q_1}\rangle
|u^{(n)}_{\bm q(t)}(t+\delta t)\rangle=
e^{-i\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}(t+\delta t)/\hbar}|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle=
e^{-i\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}\delta t/\hbar}|u^{(n)}_{\bm q(t)}(t)\rangle
$$

まず、上記が本当に成り立ちそうな雰囲気を見ておこう。
のように時間発展するため、この固有関数を使って時間変化する任意の波動関数を

$|\psi_{\bm q}\rangle$ に $\bm q$ に依存する位相を掛けた

$$
|\tilde\psi_{\bm q}\rangle=e^{-i\varphi(\bm q)}|\psi_{\bm q}\rangle
|\psi(t)\rangle=\sum_nc^{(n)}(t)e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle
$$

に対して $\tilde\gamma$ を計算すると、
と展開した時の $c^{(n)}(t)$ の変化を求めたい。シュレーディンガー方程式に代入し、

$$
\bm\nabla_{\bm q}|\tilde\psi_{\bm q}\rangle=
{}-i\big[\bm\nabla_{\bm q}\varphi(\bm q)\big]e^{-i\varphi(\bm q)}|\psi_{\bm q}\rangle+
e^{-i\varphi(\bm q)}\big[\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}\rangle\big]
\begin{aligned}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=i\hbar\sum_n\Big[
&\dot c^{(n)}(t)e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle\\
&+\cancel{(1/i\hbar)c^{(n)}(t)\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle}\\
&+c^{(n)}(t)e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,\bm\nabla_{\bm q(t)}|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle\cdot \dot \bm q(t)\\
&\hspace{-15mm}=\sum_n\cancel{c^{(n)}(t)\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle}
\end{aligned}
$$

であるから、
$\langle u^{(n)}_{\bm q(t)}|$ をかけ $i\hbar e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}$ で割ると、

$$
\begin{aligned}
\tilde\gamma
&=i\int_{\bm q_1}^{\bm q_2}\langle\tilde\psi_{\bm q}|\bm\nabla_{\bm q}|\tilde\psi_{\bm q}\rangle \cdot d\bm q\\
&=\int_{\bm q_1}^{\bm q_2}\underbrace{\bm\nabla_{\bm q}\varphi(\bm q)\cdot d\bm q\rule[-9pt]{0pt}{0pt}}_{d\varphi_{\bm q}}+
\underbrace{i\int_{\bm q_1}^{\bm q_2}\langle\psi_{\bm q}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}\rangle d\bm q}_{\gamma}\\
&=\gamma+\varphi(\bm q_2)-\varphi(\bm q_1)
&\dot c^{(n)}(t)=-\sum_{n'}c^{(n')}(t)e^{-i\int^t (\varepsilon^{(n')}_{\bm q(t')}-\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')})dt'/\hbar}\, \langle u^{(n)}_{\bm q(t)}|\underbrace{\bm\nabla_{\bm q(t)}|u^{(n')}_{\bm q(t)}\rangle\cdot d\bm q(t)}_{\text{この部分}}/dt
\end{aligned}
$$

となり、$\gamma$ は確かに始点と終点との位相差を反映しそうだ。
を得る。「この部分」はハミルトニアン中のパラメータ $\bm q$ が微少量 $d\bm q$ だけ変化したときの波動関数 $|u^{(n')}_{\bm q(t)}\rangle$ の変化であるから摂動を使ってこれを評価できて、

あとは位相差がゼロの時にちゃんと $\gamma=0$ になることを示せれば、
確かに $\gamma$ が位相差そのものであることを言える。
$$
\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\cdot d\bm q(t)=
\underbrace{\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}_{=\,i\bm A}\cdot d\bm q(t)\ |\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+
\sum_{n'\ne n}-
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\cdot d\bm q(t)}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}\ |\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle
$$

** Berry 接続 [#q4ead05d]
と書ける。ここで、上の摂動論のおさらいでやったように

上で定義した $\gamma$ では $\langle\psi_{\bm q}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}\rangle \cdot d\bm q$ を線積分したが、この意味についてもう少し詳しく考えてみる。

$|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ の周囲で $\bm q$ を少し変えたときに波動関数がどう変わるか調べてみよう。

$$
\hat H(\bm q+\delta \bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}+\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=(\varepsilon_{\bm q}^{(n)}+\delta\varepsilon_{\bm q}^{(n)})\,|\psi_{\bm q}^{(n)}+\delta\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
\bm A=-i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$

これを一次まででばらしてみる、
は実ベクトルとなり、これが「Berry 接続」と呼ばれる。

$$\hat H(\bm q+\delta \bm q)=\hat H(\bm q)+\underbrace{\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\cdot \delta\bm q}_{\text{摂動項}}$$
得られた形を上記の式へ代入すると、

$$
\delta\varepsilon_{\bm q}^{(n)}=\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\cdot\delta\bm q
\begin{aligned}
\dot c^{(n)}(t)
=&c^{(n)}(t)\, i\bm A^{(n)}_{\bm q(t)}\cdot \dot \bm q(t)\\
&+\sum_{n'\ne n}c^{(n')}(t)e^{-i\int^t (\varepsilon^{(n')}_{\bm q(t')}-\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')})dt'/\hbar}\, \frac{\langle u^{(n)}_{\bm q(t)}|\bm\nabla_{\bm q(t)}\hat H(\bm q(t))|u^{(n')}_{\bm q(t)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n)}-\varepsilon_{\bm q}^{(n')}}\cdot \dot \bm q(t)
\end{aligned}
$$
を使って、

$$
\big(\hat H(\bm q)+\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\cdot \delta\bm q\big)\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}+\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=(\varepsilon_{\bm q}^{(n)}+\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\cdot\delta\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}+\delta\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$
を得る。右辺第１項は $n$ 番目の準位にいた電子がそのまま $n$ 番目に居続けるときの位相の変化を表しており、第２項以降は他の準位から $n$ 番目の準位に遷移してくる確率と、その位相を表している。

$$
\hat H(\bm q)\,|\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
{}+\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\cdot \delta\bm q\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
=\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\,|\delta\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+
\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\cdot\delta\bm q\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$
** Berry 位相 [#z565ce91]

左から $\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|$ をかけると、
もし準位間遷移がないと仮定すると１項目だけ考えれば良く、このとき

$$
(\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)})\,\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=-\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\cdot \delta\bm q\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+
\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\cdot\delta\bm q\,\delta_{n'n}
\frac{\dot c^{(n)}(t)}{c^{(n)}(t)}
=\,i\bm A^{(n)}_{\bm q(t)}\cdot \dot \bm q(t)
$$

$n'=n$ では
両辺積分すれば、

$$
\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=
\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}
c^{(n)}(t)=c^{(n)}(t_0)\,e^{i\int_{t_0}^t \bm A^{(n)}_{\bm q(t)}\cdot \dot\bm q(t)dt}
$$

$n'\ne n$ では
ここで出てくる、ある $\bm q_1$ から $\bm q_2$ へのある決まった経路に沿った積分

$$
\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=
\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\cdot \delta\bm q=-
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}\cdot \delta\bm q
\begin{aligned}
\gamma&=\int_{\bm t_1}^{\bm t_2} \bm A^{(n)}(\bm q)\cdot \dot\bm q(t)\, dt\\
&=\int_{\bm q_1}^{\bm q_2} \bm A^{(n)}(\bm q)\cdot d\bm q
\end{aligned}
$$

すなわち一次摂動でおなじみの形、
は「Berry 位相」と呼ばれる。これは断熱過程の始点と終点とにおける波動関数の位相差（時間経過による差である $-\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar$ を除いた分）を表す。

$$
\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=-
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}
$$
式の形からも分かるとおり Berry 位相は経路のみで決まり、変化速度 $\dot\bm q(t)$ によらず定義される。
これは「十分にゆっくり」変化させる断熱近似の特徴でもある。

が出る。これで $\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ を $|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle$
で展開した際の係数が $n'=n$ を除き求まったので、
特に $\bm q_1$ と $\bm q_2$ とが同じ物理状態を表すとき（$\bm q_1=\bm q_2$ のとき、あるいは、$\bm q_1\ne \bm q_2$ ではあっても対称性等により同じと見なせるとき）、Berry 位相は「同じ波動関数」同士の位相の差を表すことになる。（もしかすると、そういうときだけ Berry 位相と呼ばれるのかもしれないのだけれどよくわかっていない）

$$
\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=
\underbrace{\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}_{=-i\bm A}\ |\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+
\sum_{n'\ne n}-
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}\ |\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle
$$
** 例：グラフェンの $K$ 状態の周りの電子 [#ob756f3e]

と書ける。$n'=n$ の成分の係数はわからないので、形式的に $\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ と書いている。上のように定義した
グラフェンの $K$ 点回りの波動方程式の解は 

$$\bm k=\begin{pmatrix}k\cos\phi\\k\sin\phi\end{pmatrix}$$

と置いたときに

$$
\bm A=i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
\Phi_{\bm k}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi}\\1\end{pmatrix}
$$

は Berry 接続と呼ばれる実ベクトルになる。
と表された。

なぜ実数になるかというと、
$\phi\to\phi+2\pi$ のように $\bm k$ がK点周りを一周したとき、
上記の表式では

$$
\begin{aligned}
|\psi_{\bm q+\delta\bm q}^{(n)}\rangle
&=|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+|\delta\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\\
&=(1+\delta_n)|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+\sum_{n'\ne n} \delta_{n'}|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle
\end{aligned}
\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi+2\pi}\\1\end{pmatrix}
=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi}\\1\end{pmatrix}
$$

と書けるとき、$|\psi_{\bm q+\delta\bm q}^{(n)}\rangle$ が規格化されている条件は、
となって波動関数は位相を含めて元に戻る。

これに位相 $e^{-i\phi/2}$ を掛けると（$\varphi(\bm k)=\phi/2$）、

$$
\langle\psi_{\bm q+\delta\bm q}^{(n)}|\psi_{\bm q+\delta\bm q}^{(n)}\rangle=(1+\delta_n^*)(1+\delta_n)+\sum_{n'\ne n} |\delta_{n'}|^2=1
\tilde\Phi_{\bm k}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi/2}\\e^{-i\phi/2}\end{pmatrix}
$$

であり、２次の項を落とすと、
となって、こちらは

$$
\delta_n^*+\delta_n=0
\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}
e^{i(\phi+2\pi)/2}\\e^{-i(\phi+2\pi)/2}
\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}
{}-e^{i\phi/2}\\-e^{-i\phi/2}
\end{pmatrix}
$$

が得られる。これは $\delta_n$ が純虚数であることを表し、すなわち $\bm A$ が実数であることを表す。
((もっと簡単に書くと、あるベクトル $\bm v$ がノルムを変えず変化して $\bm v+\delta\bm v$ となったとすると、$$\begin{aligned}&\|\bm v\|^2=\|\bm v+\delta\bm v\|^2=\\&\|\bm v\|^2+2\,\text{Re}\,(\bm v,\delta\bm v)+\|\delta\bm v\|^2\end{aligned}$$２次の微少量を無視すると$$\,\text{Re}\,(\bm v,\delta\bm v)=0$$すなわち、$\delta\bm v$ の $\bm v$ 成分は純虚数でなければならない。ということ。))
のように一周回ると符号が反転してしまう。

** 上の $\gamma$ が位相差そのものを表す理由 [#x7e45f0d]
これ、$k,\phi$ をパラメータとして見れば、同一の物理状態を表す異なるパラメータ $\phi,\phi+2\pi$ に対する解が異なる位相を持つ、という話で、ベクトル $\bm k$ をパラメータとして見れば連続的に動かして同じパラメータに戻ってきたときに異なる位相を持つ、という話になる。

上で $\delta_n\ll 1$ のとき、
また、その位相差は当然のことながら(?)固有関数の位相の取り方次第で変わってくるものである。というのもわかる。

** 例：マグネティックモノポールとスピンの系（１） [#o443d249]

原点に大きさ $M$ のマグネティックモノポールの存在を仮定し、

$$
1+\delta_n\sim e^{\delta_n}
\bm B=\frac{M}{r^2}\frac{\bm r}{r}
$$

つまり、
$\bm r=(r,\theta,\phi)$ に大きさ $s$ のスピンを置く。

$$
1-i\bm A\cdot\delta\bm q\sim e^{-i\bm A\cdot\delta\bm q}
\bm s=s\bm\sigma
$$

であるから、$\bm q\to\bm q+\delta\bm q$ の変化により、$|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ 方向の成分は大きさを変えず位相のみ $-\delta\gamma=-\bm A\cdot\delta\bm q$ だけ回転することになる。
相互作用を表すハミルトニアンは $r,\theta,\phi$ をパラメータとして含み、

$$
|\psi_{\bm q+\delta\bm q}^{(n)}\rangle
=\underbrace{e^{-i\bm A\cdot\delta\bm q}\rule[-10pt]{0pt}{0pt}}_{\text{位相変化}}\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+\sum_{n'\ne n} \delta_{n'}|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle
\begin{aligned}
\hat H(r,\theta,\phi)
&=-\bm B\cdot\hat\bm s\\
&=-\underbrace{\frac{sM}{r^2}}_{\varepsilon_0}\Big(\frac{\bm r}{r}\Big)\cdot\hat\bm\sigma\\
&=-\varepsilon_0(\hat\sigma_x\sin\theta\cos\phi+\hat\sigma_y\sin\theta\sin\phi+\hat\sigma_z\cos\theta)\\
&=-\varepsilon_0\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\
\sin\theta e^{-i\phi}&-\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

そこでこれを積分した値を使って位相を補償してやると、
これを解くと、

$$
\varphi(\bm q)=-\int_{\bm q_A}^{\bm q}d\gamma=-\int_{\bm q_A}^{\bm q}\bm A\cdot d\bm q'
\varepsilon^{(1)}=+\varepsilon_0,
\ \psi^{(1)}=\begin{pmatrix}
\sin(\theta/2) e^{-i\phi}\\
{}-\cos(\theta/2)
\end{pmatrix}
$$

$$
|\tilde\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=e^{-i\varphi(\bm q)}\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
\varepsilon^{(2)}=-\varepsilon_0,
\ \psi^{(2)}=\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2)\\
\sin(\theta/2) e^{i\phi}
\end{pmatrix}
$$

この $|\tilde\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ は $\bm q$ の変化に伴う位相変化が打ち消され、位相が一定に保たれる。このとき上記の $\tilde \gamma$ は
が求まるが、この波動関数は
$\theta=0$ において

$$
\tilde\gamma=\gamma+\underbrace{\varphi(\bm q_2)-\varphi(\bm q_1)}_{=\,-\,\gamma}=0
\psi^{(1)}=\begin{pmatrix}
0\\-1
\end{pmatrix},
\ \psi^{(2)}=\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
$$

となるから、確かに上で定義された $\gamma$ は位相差のないときにゼロとなるから、位相差のある時を含めて
同じ物理的状況を表すパラメータ $\bm q_1$ と $\bm q_2$ に対する波動関数の位相差そのものを表すことがわかる。
であるのに対して、
$\theta=\pi$ においては

** Berry 位相 [#c2967d78]
$$
\psi^{(1)}=\begin{pmatrix}
e^{-i\phi}\\0
\end{pmatrix},
\ \psi^{(2)}=\begin{pmatrix}
0\\e^{i\phi}
\end{pmatrix}
$$

特に始点と終点が等しいとき($\bm q_A=\bm q_B$)、上記の $\gamma$ を Berry 位相という（？）。このとき線積分は周回積分となる。
となって、波動関数の位相が $\phi$ によって異なる値を取るような解となっている。

$$
\gamma=\oint_C \bm A\cdot d\bm q
\begin{cases}
r_x=r\sin\theta\cos\phi\\
r_y=r\sin\theta\sin\phi\\
r_z=r\cos\theta\\
\end{cases}
$$

多くの場合、戻ってきたときの位相差はゼロになるが、上でも見たようにグラフェンの $K$ 点回りなど特殊な条件下で有限の値となる場合がある。
の値は $\theta=\pi$ において $\phi$ が異なっても等しいから、
$\theta=\pi$ においては $\phi$ が異なっても物理的には同一の系を表す。

実際、得られる解は位相を除いて等しい。

これも同様に、$\theta,\phi$ をパラメータとして見れば、同一の物理状態を表す異なるパラメータ $\phi,\phi'$ に対する解が異なる位相を持つ、という話で、ベクトル $\bm r$ をパラメータとして見れば連続的に動かして同じパラメータに戻ってきたときに異なる位相を持ちうる、という話になる。

** Berry 曲率 [#w45316af]

Berry 位相の定義で出てくる
始点と終点とが一致する場合の Berry 位相は周回積分として表されるが、

$$
\gamma=\oint_C \bm A\cdot d\bm q
$$

という式は電磁気学で出てくる
これは電磁気学で出てくる

$$
(\text{磁束})=\oint_C (\text{ベクトルポテンシャル})\cdot d\bm r
$$

とクリソツだなあ、などと思いつつ、ストークスの定理を使って、

$$
\begin{aligned}
\gamma&=\oint_C \bm A\cdot d\bm q\\
&=\int_S(\underbrace{\bm\nabla\times A}_{=\,\bm\Omega})\cdot d\bm S\\
&=\int_S\bm\Omega\cdot d\bm S\\
\end{aligned}
$$

と書き直すと、ここに出てくる Berry 曲率 

$$\Omega=\bm\nabla\times A$$

は電磁気学における磁束密度に相当する量となる。

|ベリー曲率 $\bm \Omega$|磁束密度 $\bm B$|
|ベリー接続 $\bm A$|ベクトルポテンシャル $\bm A$|
|ベリー位相 $\gamma$|磁束 $N$|

磁束密度のない場所では必ず磁束がゼロになるのと同様に、
Berry 曲率がゼロであれば Berry 位相も必ずゼロになる。

*** Berry 曲率のゲージ不変性 [#v014c4b8]

http://mercury.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~bussei.kenkyu/wp/wp-content/uploads/6300-072210.pdf#page=4 を参考に、

波動関数に異なるゲージを適用して、

$$
|\tilde\psi_{\bm p}\rangle=e^{i\varphi(\bm p)}|\psi_{\bm p}\rangle
$$

としたものに対して Berry 接続を計算すると、

$$
\tilde\bm A=-i\langle\tilde\psi_{\bm p}|\bm\nabla_{\bm p}|\tilde\psi_{\bm p}\rangle=\bm A+\bm\nabla_{\bm p}\,\varphi(\bm p)
$$

であるから、Berry 位相は

$$
\begin{aligned}
\tilde\gamma&=\int_{\bm p_1}^{\bm p_2}\tilde\bm A\cdot d\bm p\\
&=\int_{\bm p_1}^{\bm p_2}\bm A\cdot d\bm p+\int_{\varphi(\bm p_1)}^{\varphi(\bm p_2)}d\varphi\\
&=\gamma+\varphi(\bm p_1)-\varphi(\bm p_2)
\end{aligned}
$$

となって、正しく $\varphi(\bm p)$ 分の位相差を反映する。

一方で Berry 曲率は

$$
\begin{aligned}
\tilde\bm\Omega=\bm\nabla_{\bm p}\times\tilde \bm A=\bm\nabla_{\bm p}\times\bm A=\bm\Omega
\end{aligned}
$$

となって、Berry 曲率はゲージ不変量であることがわかる。

*** 具体的な表式 [#i72a8d2b]

Berry 曲率の具体的な形としては例えば、

$$
\begin{aligned}
\Omega_z
&=\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\\
&=i\frac{\partial}{\partial x}\Big(\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial}{\partial y}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\Big)-
i\frac{\partial}{\partial y}\Big(\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial}{\partial x}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\Big)\\
&=i\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial y}\rangle+
\cancel{i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}-
\cancel{i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}-
i\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial y}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial x}\rangle\\
&=-2\,\text{Im}\,\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial y}\rangle\\
&=\frac{\partial A_y}{\partial q_x}-\frac{\partial A_x}{\partial q_y}\\
&=i\frac{\partial}{\partial q_x}\Big(\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial}{\partial q_y}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\Big)-
i\frac{\partial}{\partial q_y}\Big(\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial}{\partial q_x}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\Big)\\
&=i\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle+
\cancel{i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial^2}{\partial q_x\partial q_y}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}-
\cancel{i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial^2}{\partial q_y\partial q_x}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}-
i\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}\rangle\\
\bigg(&=\Big(i\langle\bm\nabla_{\bm q}\psi_{\bm q}^{(n)}|\times|\bm\nabla_{\bm q}\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\Big)_z\bigg)\\
&=-2\,\text{Im}\,\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle\\
\end{aligned}
$$

などとなる。

$$
\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial y}\rangle=
\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle=
\sum_{n'}
\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial x}|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle
\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial y}\rangle
\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle
\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle
$$

の形に上で求めた

$$
\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=
{}-i\bm A\ |\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+
\sum_{n'\ne n}-
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}\ |\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle
$$

を入れると、

$$
\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial y}\rangle=
\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle=
\underbrace{A_xA_y}_{\text{実数}}+
\sum_{n'\ne n}
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|
\tfrac{\partial}{\partial x}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\tfrac{\partial}{\partial y}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\big(\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\big)^2}
$$

より、

$$
\Omega_z=-2\,\text{Im}\,\sum_{n'\ne n}
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|
\tfrac{\partial}{\partial x}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\tfrac{\partial}{\partial y}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\big(\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\big)^2}
$$

を得る。

また、この節の初めの式のカッコで括った行から、

$$
\bm\Omega^{(n)}(\bm q)=i\langle\bm\nabla_{\bm q}\psi_{\bm q}^{(n)}|\times|\bm\nabla_{\bm q}\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$

と書けることもわかる（https://kats.issp.u-tokyo.ac.jp/kats/semicon3/note/note7.pdf#page=9 にこの形があった）。

** Berry 位相の重要性 [#le3e30ba]

なぜ Berry 位相が重要かというと、
$\bm q$ として $\bm k$ を取るとき、

$$
\bm\nabla_{\bm k} \hat H
$$

は群速度 $v_g=\frac{\partial\omega}{\partial k}=\frac1\hbar\frac{\partial E}{\partial k}$ に相当する演算子

$$
\hat\bm v_g=\frac{1}{\hbar}\bm\nabla_{\bm k}\hat H
$$

に $\hbar$ をかけたものとなる。

逆に、群速度と関連する「電流」などを求めようとすると、その過程で Berry 位相が出てくるため学んでおく必要がある。ということなのだと思う。
逆に、群速度と関連する「電流」などを求めようとすると、その過程で Berry 位相が出てくるため学んでおく必要がある。ということなのだと思う（とても弱気）。

** 例：マグネティックモノポールとスピンの系（２） [#u950dc6c]

上記の例について、

Berry 接続：

$$
\begin{aligned}
A_\theta^{(1)}
&=i\langle\psi^{(1)}|\frac{\partial}{\partial\theta}|\psi^{(1)}\rangle\\
&=i\begin{pmatrix}
\sin(\theta/2) e^{i\phi}&
{}-\cos(\theta/2)\rule{0pt}{10pt}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2) e^{-i\phi}/2\\
\sin(\theta/2)/2
\end{pmatrix}\\
&=0\hspace{5mm}(\,=A_\theta^{(2)})
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
A_\phi^{(1)}
&=i\langle\psi^{(1)}|\frac{\partial}{\partial\phi}|\psi^{(1)}\rangle\\
&=i\begin{pmatrix}
\sin(\theta/2) e^{i\phi}&
\cos(\theta/2)\rule{0pt}{10pt}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
{}-i\sin(\theta/2) e^{-i\phi}\\
0
\end{pmatrix}\\
&=\sin^2\theta/2=\frac{1-\cos\theta}2\hspace{5mm}(\,=-A_\phi^{(2)})
\end{aligned}
$$

Berry 曲率：

$$
\begin{aligned}
\Omega_{\theta\phi}^{(1)}
&=-2\,\text{Im}\,\langle\tfrac{\partial\psi^{(1)}}{\partial\theta}|\tfrac{\partial\psi^{(1)}}{\partial\phi}\rangle\\
&=-2\,\text{Im}\,\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2) e^{i\phi}/2&\rule{0pt}{10pt}
\sin(\theta/2)/2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
{}-i\sin(\theta/2) e^{-i\phi}\\
0
\end{pmatrix}\\
&=\frac12\sin\theta\hspace{5mm}(\,=-\Omega_{\theta\phi}^{(2)})
\end{aligned}
$$

Berry 位相：($\theta$ を一定にして $\phi$ を１周させる経路)

$$
\begin{aligned}
\gamma^{(1)}(\theta)&=\oint_{C(\theta)}\bm A\cdot d\bm q\\
&=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\theta d\theta'\,\bm\Omega_{\theta'\phi}\\
&=2\pi\int_0^\theta d\theta'\,\frac12\sin\theta\\
&=\pi(1-\cos\theta)
\end{aligned}
$$

となる。

このとき $\theta$ を $\pi$ にもっていくと $2\pi$ になる。

$$
\lim_{\theta\to\pi}\gamma^{(1)}(\theta)=2\pi
$$

** Berry 束と Chern 数 [#qb54a0ce]

一般に、閉じた二次元多様体上でベリー曲率を積分した値は「Berry 束」と呼ばれ(?)
、この値は $2\pi$ の整数倍となることが知られている(Chern の定理?)。

上の例で $\theta\to\pi$ は積分範囲がパラメータ空間全域にわたっており、この条件が満たされている。（二次元系において「閉じた二次元多様体」はパラメータ空間全体を覆うものしかないということ(?)）

また、この「整数値」を Chern 数と呼ぶ。

上記の例では Chern 数は 1 である。

* Zak 位相 [#cc464553]
* Block 波状態に適用する [#zfa33121]

Berry 位相の線積分は始点と終点が同じとなる「周回積分」だったが、ある $\bm k$ から隣のブリルアンゾーンの対応する $\bm k+\bm G$ まで Berry 接続を線積分した値は Zak 位相と呼ばれる。$\bm k$ と $\bm k+\bm G$ は物理的には同じ状態であるから、両者に対する波動関数は位相以外同一のものとなるが、その位相差が Zak 位相である。
$n$ 番目のバンドにある波数 $\bm k$ の Block 波状態：

実は Berry 曲率 $\bm\Omega$ には
$$
\psi_{\bm k}^{(n)}(\bm r)=e^{i\bm k\cdot\bm r}\underbrace{u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)}_{\text{周期関数}}
$$

- 系が時間反転対称性($i\to-i$ に対して対称)を持つと $\bm\Omega(-\bm k)=-\bm\Omega(\bm k)$ 
- 系が空間反転対称性($\bm r\to-\bm r$ に対して対称)を持つと $\bm\Omega(-\bm k)=\bm\Omega(\bm k)$ 
シュレーディンガー方程式：

という性質があるため、空間反転対称性の両方を持つような普通の物質の中では $\bm\Omega=0$ になり、Berry 位相はゼロになる（磁束密度がゼロの時の磁束に対応）。

一方、そのような場合にも Berry 接続自体は有限になり、Zak 位相が有限となる場合が生じる（磁場がなくてもベクトルポテンシャルは存在する可能性あり）。

この議論は磁場がない空間でもベクトルポテンシャルは有限になっており、その空間での波動関数に影響を及ぼしうるというアハラノフ＝ボーム効果（AB 効果）のアナロジーとして理解できるとのこと。

* Adiabatic dynamics （断熱的運動）としての理解 [#z35dea0d]

https://www.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/ryoushirikigaku4.pdf#page=227 を参考に、

ハミルトニアンがゆっくりと時間変化するパラメータ $\bm q(t)$ を含んでいるとする。

$$
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=\hat H(\bm q(t))|\psi\rangle
\begin{aligned}
\hat H\psi_{\bm k}^{(n)}(\bm r)
&=\Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\bm\nabla^2+V(\bm r)\Big]e^{i\bm k\cdot\bm r}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)\\
&=e^{i\bm k\cdot\bm r}\underbrace{\Big[\frac{1}{2m}\big(-i\hbar\bm\nabla+\hbar\bm k\big)^2+V(\bm r)\Big]}_{\hat H_{\bm k}}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)\\
&=e^{i\bm k\cdot\bm r}\cdot\varepsilon_{\bm k}^{(n)}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)\\
\end{aligned}
$$

十分にゆっくりなため、各時刻ごとに固有値問題が解けて、
より、

$$
\hat H(\bm q(t))\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle=\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle
\hat H_{\bm k}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)=\varepsilon_{\bm k}^{(n)}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)
$$

を満たすものとする（ここが断熱近似）。
すなわち、$u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)$ に対するハミルトニアンはパラメータ $\bm k$ を含んだ $\hat H_{\bm k}$ となる。で、$\hat H_{\bm k}$ の形は $\hbar\bm k$ のところを $e\bm A$ （この $A$ はベクトルポテンシャル）に読み替えると磁場があるときのハミルトニアンになることに注目しよう。→ [[電磁気学/電磁ポテンシャルの導入#k13bd197]]

これらの正規直交固有関数は時刻 $t$ の近辺で

$$
|\psi^{(n)}_{\bm q(t)}(t+\delta t)\rangle=e^{-i\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}\delta t/\hbar}|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle
\bm A^{(n)}(\bm k)=i\langle u_{\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}u_{\bm k}^{(n)}\rangle
$$

のように時間発展するため、この固有関数を使って時間変化する任意の波動関数を

$$
|\psi(t)\rangle=\sum_nc^{(n)}(t)e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle
\bm \Omega^{(n)}(\bm k)=\bm\nabla_{\bm k}\times\bm A^{(n)}(\bm k)
$$

と展開した時の $c^{(n)}(t)$ の変化を求めたい。シュレーディンガー方程式に代入し、

$$
\begin{aligned}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=i\hbar\sum_n\Big[
&\dot c^{(n)}(t)e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle\\
&+\cancel{(1/i\hbar)c^{(n)}(t)\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle}\\
&+c^{(n)}(t)e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,\bm\nabla_{\bm q(t)}|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle\cdot \dot \bm q(t)\\
&\hspace{-15mm}=\cancel{\sum_nc^{(n)}(t)\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle}
\gamma^{(n)}
&=\oint\bm A^{(n)}(\bm k)\cdot d\bm k\\
&=\int_S\bm \Omega^{(n)}(\bm k)\cdot d\bm S\\
\end{aligned}
$$

$\langle u^{(n)}_{\bm q(t)}|$ をかけ $i\hbar e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}$ で割ると、
ブリルアンゾーン(B.Z.)の周囲を回る周回経路の Berry 位相は Berry 曲率を閉じた二次元多様体全域で面積分したものとみなすことができ、Chern 数で表される。

$$
\begin{aligned}
&\dot c^{(n)}(t)=-\sum_{n'}c^{(n')}(t)e^{-i\int^t (\varepsilon^{(n')}_{\bm q(t')}-\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')})dt'/\hbar}\, \langle u^{(n)}_{\bm q(t)}|\underbrace{\bm\nabla_{\bm q(t)}|u^{(n')}_{\bm q(t)}\rangle\cdot  d\bm q(t)}_{\text{この部分}}/dt
\gamma^{(n)}_{\text{B.Z.}}
&=\int_{B.Z.}\bm \Omega^{(n)}(\bm k)\cdot d\bm S=2\pi\times(\text{Chern数})\\
\end{aligned}
$$

を得る。「この部分」はハミルトニアン中のパラメータ $\bm q$ が微少量 $d\bm q$ だけ変化したときの波動関数 $|u^{(n')}_{\bm q(t)}\rangle$ の変化であるから摂動を使ってこれを評価しよう。
** Berry 曲率と時間・空間反転対称性 [#ef8c7d18]

$|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ の周囲で $\bm q$ を少し変えたときに波動関数がどう変わるか調べる。
http://mercury.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~bussei.kenkyu/wp/wp-content/uploads/6300-072210.pdf#page=7
を参考に、

$$
\hat H(\bm q+\delta \bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}+\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=(\varepsilon_{\bm q}^{(n)}+\delta\varepsilon_{\bm q}^{(n)})\,|\psi_{\bm q}^{(n)}+\delta\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$

これを一次まででばらしてみる、
Block 状態

$$\hat H(\bm q+\delta \bm q)=\hat H(\bm q)+\underbrace{\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\cdot \delta\bm q}_{\text{摂動項}}$$

$$
\delta\varepsilon_{\bm q}^{(n)}=\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\cdot\delta\bm q
\psi^{(n)}_{\bm k}(\bm r)=e^{i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{\bm k}(\bm r)
$$
を使って、

$$
\big(\hat H(\bm q)+\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\cdot \delta\bm q\big)\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}+\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=(\varepsilon_{\bm q}^{(n)}+\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\cdot\delta\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}+\delta\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$
を考える。

$$
\hat H(\bm q)\,|\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
{}+\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\cdot \delta\bm q\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
=\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\,|\delta\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+
\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\cdot\delta\bm q\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$
系が空間反転対称性を持つ場合、$\bm r\to-\bm r$ と置き換えた

左から $\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|$ をかけると、

$$
(\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)})\,\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=-\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\cdot \delta\bm q\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+
\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\cdot\delta\bm q\,\delta_{n'n}
\psi^{(n)}_{\bm k}(-\bm r)=e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{\bm k}(-\bm r)
$$

$n'=n$ では
もシュレーディンガー方程式を満たすが、これは波数 $-\bm k$ に属する状態であるから

$$
\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=
\bm\nabla_{\bm q}\varepsilon_{\bm q}^{(n)}
\psi^{(n)}_{\bm k}(-\bm r)=e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{\bm k}(-\bm r)\propto e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{-\bm k}(\bm r)=\psi^{(n)}_{-\bm k}(\bm r)
$$

$n'\ne n$ では
の関係がある。縮退がない場合、この係数（位相差）が１となるゲージを取れば

$$
\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\delta \psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=
\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\cdot \delta\bm q=-
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}\cdot \delta\bm q
u^{(n)}_{\bm k}(-\bm r)=u^{(n)}_{-\bm k}(\bm r)
$$

すなわち一次摂動でおなじみの形、
が言え、このとき Berry 曲率は

$$
\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=-
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}
$$

が出る。これで $\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ を $|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle$
で展開した際の係数が $n'=n$ を除き求まったので、

$$
\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=
\underbrace{\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}_{=-i\bm A}\ |\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+
\sum_{n'\ne n}-
\frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}|
\bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,
|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}\ |\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle
$$

と書ける。$n'=n$ の成分の係数はわからないので、形式的に $\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ と書いている。上のように定義した

$$
\bm A=i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle
$$

は Berry 接続と呼ばれる実ベクトルになる。

なぜ実数になるかというと、

$$
\begin{aligned}
|\psi_{\bm q+\delta\bm q}^{(n)}\rangle
&=|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+|\delta\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\\
&=(1+\delta_n)|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+\sum_{n'\ne n} \delta_{n'}|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle
\bm\Omega^{(n)}(\bm k)
&=-i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{\bm k}^{(n)}\rangle\\
&=-i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle\\
&=-i\bm\nabla_{-\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{-\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle=\bm\Omega^{(n)}(-\bm k)\\
\end{aligned}
$$

と書けるとき、$|\psi_{\bm q+\delta\bm q}^{(n)}\rangle$ が規格化されている条件は、
となる。そこで Berry 曲率はゲージ不変量であることから、系が空間反転対称性を持つ場合には一般に

$$
\langle\psi_{\bm q+\delta\bm q}^{(n)}|\psi_{\bm q+\delta\bm q}^{(n)}\rangle=(1+\delta_n^*)(1+\delta_n)+\sum_{n'\ne n} |\delta_{n'}|^2=1
\bm\Omega^{(n)}(\bm k)=\bm\Omega^{(n)}(-\bm k)
$$

であり、２次の項を落とすと、

$$
\delta_n^*+\delta_n=0
$$
となることが結論できる。(($\int u_{-\bm k}^*(-\bm r)\bm\nabla_\bm ku_{-\bm k}(-\bm r)d^3\bm r=\int u_{-\bm k}^*(\bm r)\bm\nabla_\bm ku_{-\bm k}(\bm r)d^3\bm r$ は正しいんだっけ？？？))

が得られる。これは $\delta_n$ が純虚数であることを表し、すなわち $\bm A$ が実数であることを表す。
((もっと簡単に書くと、あるベクトル $\bm v$ がノルムを変えず変化して $\bm v+\delta\bm v$ となったとすると、$$\begin{aligned}&\|\bm v\|^2=\|\bm v+\delta\bm v\|^2=\\&\|\bm v\|^2+2\,\text{Re}\,(\bm v,\delta\bm v)+\|\delta\bm v\|^2\end{aligned}$$２次の微少量を無視すると$$\,\text{Re}\,(\bm v,\delta\bm v)=0$$すなわち、$\delta\bm v$ の $\bm v$ 成分は純虚数でなければならない。ということ。))
一方、系が時間反転対称性を持つ場合、$i\to-i$ と置き換えた

得られた形を上記の式へ代入すると、

$$
\begin{aligned}
\dot c^{(n)}(t)
=&c^{(n)}(t)\, i\bm A^{(n)}_{\bm q(t)}\cdot \dot \bm q(t)\\
&+\sum_{n'\ne n}c^{(n')}(t)e^{-i\int^t (\varepsilon^{(n')}_{\bm q(t')}-\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')})dt'/\hbar}\, \frac{\langle u^{(n)}_{\bm q(t)}|\bm\nabla_{\bm q(t)}\hat H(\bm q(t))|u^{(n')}_{\bm q(t)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n)}-\varepsilon_{\bm q}^{(n')}}\cdot \dot \bm q(t)
\end{aligned}
\psi^{(n)*}_{\bm k}(\bm r)=e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)*}_{\bm k}(\bm r)
$$

を得る。右辺第１項は $n$ 番目の準位にいた電子がそのまま $n$ 番目に居続けるときの位相の変化を表しており、第２項以降は他の準位から $n$ 番目の準位に遷移してくる確率と、その際の位相の変化を表している。
もシュレーディンガー方程式を満たすが、これはやはり波数 $-\bm k$ に属する状態であるから

もし準位間遷移が無視できるなら１項目だけ考えれば良く、このとき

$$
\frac{\dot c^{(n)}(t)}{c^{(n)}(t)}
=\,i\bm A^{(n)}_{\bm q(t)}\cdot \dot \bm q(t)
\psi^{(n)*}_{\bm k}(\bm r)=e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)*}_{\bm k}(\bm r)\propto e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{-\bm k}(\bm r)=\psi^{(n)}_{-\bm k}(\bm r)
$$

両辺積分すれば、
の関係がある。縮退がない場合、この係数（位相差）が１となるゲージを取れば

$$
c^{(n)}(t)=c^{(n)}(t_0)\,e^{i\int_{t_0}^t \bm A^{(n)}_{\bm q(t)}\cdot \dot\bm q(t)dt}
u^{(n)*}_{\bm k}(\bm r)=u^{(n)}_{-\bm k}(\bm r)
$$

ここで出てくる、ある $\bm q_1$ から $\bm q_2$ へのある決まった経路に沿った積分
が言え、このとき Berry 曲率は

$$
\begin{aligned}
\gamma=\int_{\bm q_1}^{\bm q_2} \bm A^{(n)}(\bm q)\cdot d\bm q
\bm\Omega^{(n)}(\bm k)
&=-i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{\bm k}^{(n)}\rangle\\
&=-i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)*}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)*}\rangle\\
&=-i\bm\nabla_{\bm k}\times(\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle)^*\\
&=+i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle\\
&=+i\bm\nabla_{-\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{-\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle=-\bm\Omega^{(n)}(-\bm k)\\
\end{aligned}
$$

は Berry 位相と呼ばれ、これは断熱過程の始点と終点とにおける波動関数の位相差を表す。
となる。３行目から４行目では $\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle$ が純虚数になることを使った。Berry 曲率はゲージ不変量であるから、系が時間反転対称性を持つ場合には一般に

式の形からも分かるとおり Berry 位相は経路のみで決まり、変化速度 $\dot\bm q(t)$ によらず定義される。
これは「十分にゆっくり」変化させる断熱近似の特徴でもある。

* Block 波状態に適用する [#zfa33121]

$n$ 番目のバンドにある波数 $\bm k$ の Block 波状態：

$$
\psi_{\bm k}^{(n)}(\bm r)=e^{i\bm k\cdot\bm r}\underbrace{u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)}_{\text{周期関数}}
\bm\Omega^{(n)}(\bm k)=-\bm\Omega^{(n)}(-\bm k)
$$

シュレーディンガー方程式：
となることが結論できる。

したがって、もし系が空間反転対称性と時間反転対称性との両方を持つ場合には、

$$
\begin{aligned}
\hat H\psi_{\bm k}^{(n)}(\bm r)
&=\Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\bm\nabla^2+V(\bm r)\Big]e^{i\bm k\cdot\bm r}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)\\
&=e^{i\bm k\cdot\bm r}\underbrace{\Big[\frac{1}{2m}\big(-i\hbar\bm\nabla+\hbar\bm k\big)^2+V(\bm r)\Big]}_{\hat H_{\bm k}}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)\\
&=e^{i\bm k\cdot\bm r}\cdot\varepsilon_{\bm k}^{(n)}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)\\
\end{aligned}
\bm\Omega^{(n)}(\bm k)=0
$$

より、
となることが結論できる。

$$
\hat H_{\bm k}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)=\varepsilon_{\bm k}^{(n)}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)
$$
** Zak 位相 [#cc464553]

すなわち、$u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)$ に対するハミルトニアンはパラメータ $\bm k$ を含んだ $\hat H_{\bm k}$ となる。で、$\hat H_{\bm k}$ の形は $\hbar\bm k$ のところを $e\bm A$ （この $A$ はベクトルポテンシャル）に読み替えると磁場があるときのハミルトニアンになることに注目しよう。→ [[電磁気学/電磁ポテンシャルの導入#k13bd197]]
始点と終点が同じとなる「周回積分」ではなく、ある $\bm k$ から隣のブリルアンゾーンの対応する $\bm k+\bm G$ まで Berry 接続を線積分した値は Zak 位相と呼ばれる。$\bm k$ と $\bm k+\bm G$ は物理的には同じ状態であるから、両者に対する波動関数は位相以外同一のものとなるが、その位相差が Zak 位相である。

$$
\bm A^{(n)}(\bm k)=i\langle u_{\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}u_{\bm k}^{(n)}\rangle
$$
上で見た通り Berry 曲率 $\bm\Omega$ には

$$
\bm \Omega^{(n)}(\bm k)=\text{rot}\,\bm A^{(n)}(\bm k)
$$
- 系が空間反転対称性($\bm r\to-\bm r$ に対して対称)を持つと $\bm\Omega(-\bm k)=\bm\Omega(\bm k)$ 
- 系が時間反転対称性($i\to-i$ に対して対称)を持つと $\bm\Omega(-\bm k)=-\bm\Omega(\bm k)$ 

$$
\begin{aligned}
\gamma^{(n)}
&=\oint\bm A^{(n)}(\bm k)\cdot d\bm k\\
&=\int_S\bm \Omega^{(n)}(\bm k)\cdot d\bm S\\
\end{aligned}
$$
という性質があるため、時間反転と空間反転との両方に対称性を持つような普通の物質の中では $\bm\Omega=0$ になり、Berry 位相はゼロになる（磁束密度がゼロの時の磁束に対応）。

ブリルアンゾーン(B.Z.)の周囲を回る周回経路の Berry 位相は Berry 曲率を閉じた二次元多様体全域で面積分したものとみなすことができ、Chern 数で表される。
一方、そのような場合にも Berry 接続自体は有限になり、Zak 位相が有限となる場合が生じる（磁場がなくてもベクトルポテンシャルは存在する可能性あり）。

$$
\begin{aligned}
\gamma^{(n)}_{\text{B.Z.}}
&=\int_{B.Z.}\bm \Omega^{(n)}(\bm k)\cdot d\bm S=2\pi\times(\text{Chern数})\\
\end{aligned}
$$
この議論は磁場がない空間でもベクトルポテンシャルは有限になっており、その空間での波動関数に影響を及ぼしうるというアハラノフ＝ボーム効果（AB 効果）のアナロジーとして理解できるとのこと。

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