ラグランジュの未定係数法のバックアップ差分(No.1)

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[[量子力学Ⅰ]]

* 概要 [#f4d9cac4]

&math(f(x_1,x_2,\dots,x_n)); について、

拘束条件 &math(g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\ \ \ (i=1\dots m, m<n)); の下での停留点を探したい。

** キモ [#x9a84277]

&math(\bm x=(x_1,x_2,\dots,x_n)); を &math(n); 次元空間のベクトルと考えると、
&math(\bm x); は拘束条件を満たす方向にしか動かせないので、
そのような方向へ動かした際に &math(\Delta f=0); となることが
「拘束条件下での停留点」の意味するところである。

拘束条件を満たさない方向へ動かしたときに &math(\Delta f\ne 0); となっても構わないということ。

* ラグランジュの未定係数法 [#v1fe15da]

&math(L(x_1,x_2,\dots,x_n)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\sum_i \lambda_i g_i(x_1,x_2,\dots,x_n));

に対して、

&math(\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{\partial L}{\partial x_2}=\dots=\frac{\partial L}{\partial x_n}=0);

&math(\frac{\partial L}{\partial lambda_1}=\frac{\partial L}{\partial \lambda_2}=\dots=\frac{\partial L}{\partial \lambda_m}=0);

を満たす点が停留点となる。

** 微係数の意味 [#h726f0a8]

&math(x_i); での微分は、

&math(\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\sum_i \lambda_i\frac{\partial g}{\partial x_1}=0);

などとなるから、ベクトル表記を使えば &math(n); 本の条件をまとめて、

&math(\bm \nabla L(x_1,x_2,\dots,x_n)=\bm \nabla f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\sum_i \lambda_i \bm \nabla g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=\bm 0);

と書ける。

&math(\lambda_i); での微分からは元の拘束条件が現れるのみである。

* ラグランジュの未定係数法の意味 [#j4fbf759]

ベクトル &math(\bm x); を &math(\Delta \bm x); だけ動かしたとすると、

&math(\Delta L=\bm \nabla L\cdot\Delta \bm x=\bm \nabla f\cdot \cdot\Delta \bm x+\sum_i \lambda_i \bm \nabla g_i\cdot \cdot\Delta \bm x=\bm 0);
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