量子力学Ⅰ/前期量子論 のバックアップ差分(No.3)

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[[公開メモ]]
[[量子力学I]]

#contents

* 量子力学以前の世界 [#xfb3d7b2]

物理学の略史:
- 16世紀半ば コペルニクスの地動説 (戦国時代)
- 17世紀後半 ニュートンの力学   (江戸時代)
- 18世紀半ば 産業革命
- 19世紀初頭 熱力学
- 19世紀初頭 熱力学の発展
- 19世紀半ば            (明治時代)
-- 分子運動論から統計力学へ
-- マクスウェル方程式による電磁気学
- 19世紀末  トムソンが電子を発見
- 20世紀初頭            (大正時代)
-- アインシュタインの相対性理論

目に見えるサイズ以上については、ほぼすべてこれらの理論で説明できるように思われていた。
この時点までに観測されていた実験結果は、ほぼすべてこれらの理論で説明できていた。

これらの理論の特徴:
- 決定論的
-- 初期状態が決まれば未来永劫までの運動が決定される
-- 初期状態を決めるための計測に、原理的な限界はない

量子力学以前の物理を指して「古典論」と呼ぶ。

* 暗雲 [#uc9bd062]
* 古典論での認識 [#xe361be0]

いくつかの分野で、古典論では説明できない現象が発見され始めた。
** 光について [#ade58146]

- 黒体放射のスペクトル (1900年 プランク)
- 光電子 (1905年 アインシュタイン)
- 惑星型原子模型 (1910年 ラザフォード)

* 前期量子論 [#v12d8353]

** 前提1:光について [#ade58146]

光は電磁波である。
電磁気学によれば、光は電磁波である。
つまり、光が通ればそこに電場 &math(\bm E(\bm x,t)); と磁場 &math(\bm B(\bm x,t)); の波ができる。
電磁波は横波なので、電場や磁場は光の進行方向に垂直な面内にできる。

電磁波は &math(c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}); を用いた次の波動方程式を満たす。
波であるから、干渉や回折、散乱などの''波に特有な性質''を示す。
物理学実験でもレーザー光の回折現象を学んだ。

&math(
\nabla^2 \bm E(\bm x,t)=\frac{1}{c^2}\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm x,t)\\
\nabla^2 \bm B(\bm x,t)=\frac{1}{c^2}\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm B(\bm x,t)\\
);
光のエネルギー密度や運動量密度は電場や磁場の振幅の2乗に比例するから、当然ながら''連続的な値を取りうる''。

解は、互いに垂直となる &math(\bm E); と &math(\bm B); とが同位相で速度 &math(c); で伝わる形になる。電場と磁場の大きさは &math(|\bm E(\bm x,t)|=c|\bm B(\bm x,t)|); の形で互いに比例し、両者は同位相で振動しながら伝わっていく。
光についてもう少し詳しくはこちら → [[量子力学I/電磁気学における光]]

光の周期 &math(T);、周波数 &math(\nu);、角周波数 &math(\omega);、波長 &math(\lambda);、波数 &math(k); の関係は、
** 電子について [#ra061dee]

&math(\nu=1/T);, &math(\omega=2\pi\nu=2\pi/T);, &math(\lambda=cT);, &math(k=2\pi/\lambda=\omega/c);
真空中で物質を加熱したり、物質に光を当てると、その物質から負電荷が飛び出すのを確認できる。

電場や磁場が運ぶエネルギーの密度(単位時間、単位面積あたり)は、ポインティングベクトル &math(\bm S=\bm E\times\bm B/2\mu_0); で表わされる。
出てきた電荷を電場や磁場の中を通すとその軌道が湾曲することから、この負電荷が''帯電した粒子''からなることが分かり、その比電荷(粒子1つあたりの電荷と質量の比)が求まる。これは物理学実験でも扱った。

波数 &math(k); の光では、電場と磁場の振幅をそれぞれ &math(E_0, B_0); として、次のように表わされる。
さらにウィルソンの霧箱と呼ばれる装置を用いることで、箱の中の荷電粒子の数と、電荷の総量を求めることができ、そこから粒子1つあたりの電荷量が求まった。

&math(S=\frac{1}{2c\mu_0}E_0^2=\frac{1}{2c\mu_0}(cB_0)^2);
この電荷量と比電荷から、この荷電粒子の質量が水素原子の 1/1000 程度と非常に小さいことが確認された。
(トムソンの実験 1887年)

このままだとエネルギーは波数に依存しないように見えるが、これをベクトルポテンシャルで書き直すと、ベクトルポテンシャルの振幅を &math(A_0); として、次のように &math(k^2); に比例する形に書き表される。
これが電子の発見とされる。((https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kori/science/ayumi/ayumi13.html))

&math(S=\frac{ck^2}{2\mu_0}A_0^2);
** すなわち [#hc62cb2d]

空間中のエネルギー密度(単位体積あたり)はこれを &math(c); で割って、次のようになる。
光は波、電子は粒子、と考えられていた。

&math(w=S/c=\frac{1}{2c^2\mu_0}E_0^2=\frac{k^2}{2\mu_0}A_0^2);
以下に見るように量子論では、光も、電子も、波の性質と粒子の性質との両方を示す。
→ 粒子と波動の二重性

電場や磁場が運ぶ運動量密度(単位時間あたり、単位面積あたり)は &math(\bm S/c); であり、
その大きさは &math(w); に等しい。
* 前期量子論 [#v12d8353]

空間中の運動量密度(単位体積あたり)は &math(|\bm S/c^2|=w/c); となる。この、
いくつかの分野で、古典論では説明できない現象が発見され、
それらを解決する課程で「量子論」が形成されていった。

&math((運動量)=(エネルギー)/c);
- 黒体放射のスペクトル (1900年 プランク)
- 光電効果 (1905年 アインシュタイン)
- アルファ線の散乱 (1910年 ラザフォード)
- 原子の発光スペクトル (1913年 ボーア)

という関係は、量子力学でも保たれる。
括弧内は量子論により問題が説明された年。

このように、光のエネルギーや運動量は &math(k); や &math(\lambda); によらず、
振幅 &math(A_0); や &math(E_0, B_0); により連続的な値を取りうる。

また、光は波であるから、干渉や回折、散乱などの''波に特有な性質''を示す。
物理学実験でもレーザー光の回折現象を学んだ。

** 黒体放射 [#w8bc6591]

有限温度の物体は温度に依存したスペクトルの光を出す (例:赤熱する鉄など)

反射率が高い物体ではその分だけ輻射が減るので、完全な「黒体」が最もたくさん光を出す

&attachref(kokutai.png,,20%);

反射率が高い物はその分だけ輻射が減るため、完全な「黒体」が最もたくさん光を出す
物体から出る光のエネルギーが連続値を取る前提で黒体放射のスペクトルを理論的に導出すると、
実験値と合わないばかりか、予想される放出エネルギーは''無限大になってしまう!''

物体から出る光のエネルギーが連続値を取り得るとすると、
理論的に予想されるスペクトル形状が実験値と合わないばかりか、
予想される放出エネルギーは''無限大になってしまう''。
これに対して、光により運ばれるエネルギーに最小値がある(量子化されている)ことを仮定すると
黒体放射のスペクトルを理論的に導出できた。

光により持ち出されるエネルギーに最小値がある(量子化されている)ことを仮定して、
黒体放射のスペクトルを理論的に導出した。

*** 得られた結果 [#p3a65adc]

周波数 &math(\nu); (ニュー) の光が物質から運び去るエネルギーは、&math(h=6.62606957\times10^{-34}\,\mathrm{m^2 kg/s}); をプランク定数として、&math(h\nu); の整数倍である。

&math(\Delta E=h\nu);

電磁波としての光は連続的なエネルギーを運ぶはずなのに・・・
電磁波としての光は連続的なエネルギーを運ぶはずなのに???

** 前提2:電子について [#ra061dee]
** 光電効果 [#x7025b1c]

https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kori/science/ayumi/ayumi13.html
金属に紫外光を当てると、金属中の電子が外へ飛び出してくる(&ruby(こうでんし){光電子};と呼ぶ)。この現象を光電効果という。

真空中で物質を加熱したり、物質に光を当てると、その物質から負電荷(陰極線)が飛び出すことを確認できる。

出てきた電荷を電場や磁場の中を通すとその軌道が湾曲することから、この負電荷が帯電する粒子であることが分かり、その比電荷(粒子1つあたりの電荷と質量の比)が求まる。

ウィルソンの霧箱と呼ばれる装置を用いることで、箱の中の荷電粒子の数と、電荷の総量を求めることができ、そこから粒子1つあたりの電荷量が分かった。(トムソンの実験 1887年)

この電荷量と比電荷から、この荷電粒子の質量が水素原子の 1/1000 程度と非常に小さいことが確認された。

これが電子の発見とされる。

** 光量子仮説 [#x7025b1c]

金属に光(紫外光)を当てると、金属中の電子が外へ飛び出してくる。この現象を光電効果という。
また、光を当てて出てくる電子を&ruby(こうでんし){光電子};と呼ぶ。

光電効果は、当てる光の周波数 &math(\nu); が金属の種類によって決まるある値 &math(\nu_c); 
より大きいときのみ生じる。また、出てくる光電子の速度(運動エネルギー)は &math(\nu); に依存する。
より大きくないと生じない。また、出てくる光電子の速度(運動エネルギー)は &math(\nu); に依存する。

+ &math(\nu<\nu_c); では、光強度が強い場合にも光電子はまったく出ない。
+ &math(\nu>\nu_c); では、出てくる光電子の量は光の強さに比例する。電子の運動エネルギーは光量によらない。
+ 電子の運動エネルギーは &math(\nu); が大きくなると増加する。
+ &math(\nu>\nu_c); では、出てくる光電子の量は光の強さに比例する。
+ 光電子の運動エネルギーは &math(\nu); が大きくなると増加する。光量には依存しない。

これらの結果から、アインシュタインは光を吸収することにより電子が受け取るエネルギーが量子化されていることを提案した。これを光量子仮説という。
これらの結果から、アインシュタインは光が粒子(光子)からなることを提案した。これを光量子仮説という。

- 光がそれぞれエネルギー &math(h\nu); を持つ粒子=光子の流れであるとする。
- 電子が1つの光子を吸収することにより &math(h\nu); のエネルギーを得るとする。
- 電子を金属柱に閉じ込めているエネルギー障壁の高さ(仕事関数)を &math(W); とする。
- 光電子は、&math(\Delta E=h\nu-W); の運動エネルギーを持って飛び出してくる。
- 光は粒子(=光子)の流れである
- 電子が光子を1つ吸収すると &math(h\nu); のエネルギーを得る
- 電子を金属内に閉じ込めているエネルギー障壁の高さ(仕事関数)を &math(W=h\nu_c); とする
- &math(h\nu<W); では電子は出てこない
- &math(h\nu>W); では、&math(\Delta E=h\nu-W); の運動エネルギーを持って飛び出してくる
- 強い光ほどたくさんの光子が流れているから、電子もたくさん飛び出す

これらを仮定すれば、&math(W=h\nu_c); として、

+ &math(\nu<\nu_c); では電子は障壁を越えられず金属から飛び出さない。光子の数が増えても状況は変わらない。
+ &math(\nu>\nu_c); では、単位時間あたりに金属に飛び込む光子の数が多いほど(光が強いほど)光電子の数が増える。光電子の運動エネルギーは変わらない。
+ &math(\nu); が増えれば光電子の運動エネルギーも増える。

として、実験結果を説明できる。

*** 得られた結果 [#hb91fe55]

振動数 &math(\nu); の光は1つあたり &math(h\nu); のエネルギーを持つ粒子=光子の集まりである。

でも光は明らかに波としての性質も持っているのだが・・・
またその運動量 &math(p); は &math(p=h/\lambda=\hbar k); と表せる。((特殊相対論により得られる &math(E^2=c^2p^2+m^2c^4); と、光子の質量 &math(m=0); から導出された → 参照 http://www.jsimplicity.com/ja_Report_QuantumMechanics_html/ja_Chapter3_DualityOfLightAndMatter.html 。 後にコンプトン散乱などで確かめられた))

光の波としての性質はどこから来る???

** 惑星型原子模型 [#re8baef5]

電子の発見により、原子はその質量のほとんどを占める正電荷を持つ部分と、
非常に軽い電子とからなることが分かっていた。
非常に軽く負電荷を帯びた電子とから構成されることが分かっていた。

1910年頃、ラザフォードは金属箔に放射線(アルファ線 = 正に帯電した粒子)を当てると、
ほとんどの粒子がそのまま箔を通り抜けるにもかかわらず、
非常に低い確率でアルファ線が大きな角度で散乱されることを見いだした。
非常に低い確率で粒子が大きな角度で散乱されることを発見した。

この結果は、金属箔を構成する原子の質量の大部分が非常に小さな領域に固まっていること(= 原子核が存在すること)を示している。なぜなら原子核が大きければ、散乱される確率が上がったり、は散乱角度が小さくなったりするはずだから。(これはアルファ線自体が原子よりもずっと小さな粒子であることが前提 = アルファ線はヘリウム原子核なので無問題)
つまり、金属は「すかすか」だった!~

&attachref(Geiger-Marsden_experiment_expectation_and_result_(Japanese).svg,,515x480);
この結果は、金属箔を構成する原子の質量の大部分が非常に小さな領域に固まっていること(= 原子核が存在すること)を示している。なぜなら原子核が大きければ、散乱される確率はもっと高いはずだから。

(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Geiger-Marsden_experiment_expectation_and_result_%28Japanese%29.svg より)
(前提として、アルファ線の粒子に比べて電子はずっと軽いので、アルファ線は電子にぶつかっても方向を変えない。非常に小さなアルファ線の粒子と、非常に小さな原子核がぶつかったときだけ、アルファ線の方向が変化する。アルファ線の粒子の正体はヘリウム原子の原子核である。)

詳しい計算から、原子核は原子のサイズのⅠ万分の以下であることが分かった。

*** 得られた結果 [#caf37a2c]

電子が原子核の周りを回っているという惑星型原子モデル
原子の中では、非常に小さいが重い原子核の周りを、非常に軽い電子が回っている(惑星型原子モデル)

荷電粒子である電子が加速度運動(円運動)すると、電磁波を放出してエネルギーを失ってしまうのだが・・・
荷電粒子である電子が加速度運動(円運動)すると、電磁波を放出してエネルギーを失ってしまうはずでは???

古典論によれば、
太陽の周りを回る惑星なら引力と遠心力とが釣り合う軌道を安定して回ることができるのに対して、
電荷を帯びた電子が回転運動をすれば電磁波が放出されるため、電子はすぐにエネルギーを失い、
原子核に落ち込んでしまうことが予想される。つまり古典論では惑星型原子は安定に存在できない。

** 原子の発光スペクトル [#ca0d4c54]

孤立した原子にエネルギーを与えると、特定の波長の光を放出することが発見された。

原子は原子核と電子からなるから、
「原子のエネルギー」は原子核と電子の間の静電ポテンシャルエネルギーと
電子の持つ運動エネルギーの和で表せる。
(原子核は重いためほとんど動かず運動エネルギーは無視できる)

高いエネルギーを持った原子では、電子は原子核から遠い軌道を回ることになる。

ボーアは原子から出る光が電子が外側の軌道から内側の軌道へ飛び移る際に余ったエネルギーが光子として放出されたものであると考えた。

特定のエネルギーの光子だけが放出されるということは、
電子の軌道半径が連続的な値を取ることができず、
特定の値しか許されないことを示している。

このために電子は電磁波を出し続けてエネルギーを失うことができず、
結果的に原子が安定に存在できることになる。

*** 得られた結果 [#l95d8307]

電子の軌道が満たさなければならない条件は、
電子の運動量を &math(p);、軌道半径を &math(r); とすると、

&math(2\pi rp=nh);

ここでもプランク定数 &math(h); が出てくる。

** 電子の波 = 物質波 [#h661db2a]

波であるはずの光が光子としての側面も持つことが分かった。

1つの光子は運動量 &math(p=\hbar k); を持つ。

ド・ブロイは逆に、これまで粒子であるとされていた電子に
波数 &math(k=p/\hbar);、つまり波長 &math(\lambda=h/p); を持つ波としての性質があると考えると、
ボーアの量子条件が

&math(2\pi r=n\lambda);

すなわち「軌道の1周が波長の整数倍である」という理解しやすい形に書けることを指摘した。

後に、電子が波長 &math(\lambda=h/p); を持つ波としての性質を持つことは、
物質に電子線を当てた際に X 線回折と同様の回折現象を生じることなどにより確かめられた。

*** 得られた結果 [#gc3021b0]

粒子と考えられてきた電子も波としての性質を持つ。

その波数は &math(k=p/\hbar); である。

* 質問・コメント [#n54e9c0f]

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