多粒子系の波動関数とボゾン・フェルミオンのバックアップ差分(No.19)

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[[量子力学Ⅰ]]

* 概要 [#q7edd673]

これまで、１粒子のシュレーディンガー方程式の解法を細かく見てきたが、
以下では多粒子系の問題について考える。(教科書では「量子力学II」に収録されている９章の内容となる)

** 目次 [#g08172c8]
#contents

* ２粒子系の量子力学 [#w3265732]

２粒子系の古典的なハミルトニアンは、系のエネルギーを
２つの粒子の位置座標 &math(\bm r_1,\bm r_2); および、運動量 &math(\bm p_1,\bm p_2); 
で表したものであり、、

　&math(
H(\bm r_1,\bm r_2,\bm p_1,\bm p_2)=\underbrace{\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}}_{運動エネルギー}+\underbrace{\mathop{V(\bm r_1,\bm r_2)}_{\ } }_{ポテンシャル}
);

などと書ける。

量子力学ではハミルトニアンに &math(\bm p\to\frac{\hbar}{i}\bm \nabla);
の置き換えをして、

　&math(
\hat H\big(\bm r_1,\bm r_2,\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_{r_1},\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_{r_2}\big)=
-\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_{r_1}^2
-\frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_{r_2}^2
+V(\bm r_1,\bm r_2)
);

を得る。これが波動関数に作用する演算子となるのであるから、
２粒子系の波動関数は &math(\bm r_1,\bm r_2); の関数であるはずだ。

　２粒子系の波動関数： &math(\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)); 

すると、シュレーディンガー方程式は

　&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)=\hat H\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t));

と書ける。

波動関数を大文字にしたのは教科書に合わせるためで、表記上の問題しかない。
教科書では、１粒子波動関数を小文字 &math(\psi,\varphi); で、多粒子波動関数を大文字 
&math(\Psi,\Phi); で表すことになっている。

　波動関数の絶対値の二乗：　&math(\big|\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\big|^2d\bm r_1d\bm r_2);　

は時刻 &math(t); において、
-粒子１を位置 &math(\bm r_1); 付近の &math(d\bm r_1); に、
-粒子２を位置 &math(\bm r_2); 付近の &math(d\bm r_2); に、

それぞれ見いだす確率となる。

物理量 &math(O(\bm r_1,\bm r_2,\bm p_1,\bm p_2)); の期待値 &math(\langle O\rangle); は、
対応する演算子 &math(\hat O(\bm r_1,\bm r_2,\hbar\bm \nabla_{r_1}/i,\hbar\bm \nabla_{r_2}/i)); 
を用いて次のように与えられる。

　&math(
\langle O(t)\rangle=\iint \Psi^*(\bm r_1,\bm r_2,t)\,\hat O\,\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\,d\bm r_1\,\bm r_2
);

これらが１粒子系で学んだ内容の自然な拡張となっていることを確認せよ。

* 多粒子系の量子力学 [#ne59b5a9]

位置座表をそれぞれ &math(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n); として、~
波動関数を &math(\Psi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t)); とすれば良い。

このときハミルトニアンは例えば次のような形に書けるはずで、

　&math(
\hat H=
\underbrace{\sum_{j=1}^n -\frac{\hbar^2}{2m_j}\bm\nabla_{r_j}^2}_{運動エネルギー}+
\underbrace{V(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n)\rule[-16.5pt]{0pt}{10pt}}_{ポテンシャルエネルギー}
);

これを用いてシュレーディンガー方程式はやはり次の形に書ける。

　&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\Psi=\hat H\Psi);

波動関数の物理的意味は、時刻 &math(t); において、
それぞれの粒子を位置 &math(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n); 
に見出す確率が &math(|\Psi|^2d\bm r_1\cdot d\bm r_n); である。

これまで学んだとおり、１粒子のシュレーディンガー方程式でも
解析的に閉じた解が得られるのは非常に単純な問題に限られており、
そのような例外的な場合に限ってさえ、解を得るには高度な数学を要するのであった。

多体のシュレーディンガー方程式を解析的に閉じた形で解くことはほぼ不可能であるため、
様々な近似を用いて１体の問題に直し、さらに近似を用いて複雑な１体問題を解くことにより、
ようやく実験結果と比較できるような理論的予測が得られる。

* 多粒子ハミルトニアンの対称性 [#jc3b610f]

水素様「分子」であれば、２つの陽子位置を &math(\bm R_1,\bm R_2); に固定して、

　&math(
V(\bm r_1,\bm r_2)&=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\Biggl[
\underbrace{
\frac{-1}{|\bm r_1-\bm R_1|}+
\frac{-1}{|\bm r_1-\bm R_2|}}_{電子1と原子核}+
\underbrace{
\frac{-1}{|\bm r_2-\bm R_1|}+
\frac{-1}{|\bm r_2-\bm R_2|}}_{電子2と原子核}+
\underbrace{\frac{+1}{|\bm r_1-\bm r_2|}}_{電子間相互作用}
\Biggr]\\
&=V_{１体}(\bm r_1)+V_{１体}(\bm r_2)+V_{２体}(\bm r_1,\bm r_2)
); 

と書ける。

このポテンシャルが２つの電子の位置座標 &math(\bm r_1,\bm r_2); 
の入れ替えに対して対称性を持っている（値が変わらない）ことに注意せよ。

一般に、ハミルトニアンは同種粒子の入れ替えに対して対称な形をしている。~
　↔ 質量やポテンシャル=相互作用が違えば「同種」とは言えない

* 同種粒子の不可弁別性 [#q8a2e6f8]

量子力学では同種の粒子の間に不可弁別性が成り立つ。

多粒子系において、粒子 &math(j); と &math(k); とが同種の粒子
（たとえば電子）であるとする。

粒子 &math(j); が &math(\bm r_a); に、粒子 &math(k); が &math(\bm r_b); に、見つかる確率と、~
粒子 &math(j); が &math(\bm r_b); に、粒子 &math(k); が &math(\bm r_a); に、見つかる確率と、~
は常に等しい、というのが同種粒子の不可弁別性である。

量子力学では観測するまで粒子の位置は決まっていない。

観測した結果、２カ所に電子が見つかったとして、
それらのどちらがどちらの電子かを判別する方法はない。

したがって、そもそもそれら２つの状態は区別できないものとして扱うべきだ、
とするのが不可弁別性であり、これに基づき構築した理論が現実をよく再現する。

すべての粒子に個別の軌道が存在することをよりどころとする
古典論とは大きく異なる考え方であることに注意せよ。

* 粒子の入れ替え [#o688ef49]

不可弁別性を式で書けば、同種粒子 &math(j); と &math(k); に対して、

　&math(
&\big|\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\big|^2\\
=&\big|\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\big|^2\\
&\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k
);

すなわち、

　&math(
&\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\\
=C&\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\ \ \ ただし |C|=1\\
&\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k
);

同種の２つの粒子の座標（一般には空間座標＋スピン座標）を入れ替えても、
波動関数の絶対値は変化せず、位相のみが変化する。

不可弁別性だけが条件であれば、
&math(C); は時刻 &math(t); や位置座標 &math(\bm r_k); に依存して変化しても構わないのであるが、
実際には以下に見るように、&math(C); の値は粒子の種類によって &math(\pm 1); 
のどちらか一方を取ることが知られている。

まず数学的な背景として、時間に依らないシュレーディンガー方程式に対して、
&math(C); の値が &math(\bm r_a, \bm r_b); 
によらない定数となるようにエネルギー固有関数（定常状態）を見つけることはいつでも可能である。

以下、これを証明する。

「関数に作用して座標 &math(\bm r_a); と &math(\bm r_b); とを入れ替えた関数を作る」
という線形演算子 &math(\hat P_{ab}); を導入する。粒子 &math(a,b); が同種粒子であれば
&math(\hat P_{ab}); に対してハミルトニアン &math(\hat H); は不変になるから、
任意の &math(\Psi); に対して

　&math(
\hat P_{ab}\big\{\hat H\Psi\big\}=\big\{\hat P_{ab}\hat H\big\}\big\{\hat P_{ab}\Psi\big\}=\hat H\hat P_{ab}\Psi
);

が成り立つ。すなわち両者は可換 &math(\hat P_{ab}\hat H=\hat H\hat P_{ab}); であるから、
両者の同時固有関数が存在する。それを &math(\Phi); とすると、

　&math(\hat H\Phi=\varepsilon \Phi);

に加えて、

　&math(
\hat P_{ab}&\Phi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots)=C\Phi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots)\\
=&\Phi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots)
);

が成り立ち、このとき &math(C); は &math(\hat P_{ab}); の固有値であり、&math(\bm r_k); によらない定数となる。

さらに、&math(\hat P_{ab}^2); は恒等変換となるから &math(C^2=1); 
であり、そこから &math(C=\pm 1); が導かれる。

また、時間に依存する波動関数 &math(\Psi); が時刻 &math(t); において、定数 &math(C=+1); あるいは &math(C=-1); に対して &math(\hat P_{ab}\Psi(t)=C\Psi(t)); を満たすならば、

　&math(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\hat H(t)\Psi);

より、微小時間後の &math(t+\Delta t); における波動関数は

　&math(\Psi(t+\Delta t)=\Psi(t)+\frac{\Delta t}{i\hbar}\hat H\Psi(t));

と表せるから、

　&math(
\hat P_{ab}\Psi(t+\Delta t)&=\hat P_{ab}\Psi(t)+\hat P_{ab}\left[\frac{\Delta t}{i\hbar}\hat H\Psi(t)\right]\\
&=\hat P_{ab}\Psi(t)+\frac{\Delta t}{i\hbar}\hat H\hat P_{ab}\Psi(t)\\
&=C\Psi(t)+\frac{\Delta t}{i\hbar}\hat HC\Psi(t)\\
&=C\Psi(t+\Delta t)\\
);

として、&math(\hat P_{ab}\Psi(t+\Delta t)=C\Psi(t+\Delta t)); も成り立つことが分かる。

つまり、ある時刻において &math(\hat P_{ab}); の固有状態にあれば、
時刻が変化してもやはり同じ固有値の固有状態のままであることが分かる。

* ボゾンとフェルミオンの対称性・反対称性 [#s491e79c]

場の量子論などの進んだ研究から、
実在粒子の波動関数はシュレーディンガー方程式の解になることに加えて
粒子入替操作 &math(\hat P_{ab}); 
の固有関数になっているという条件も満たさねばならないことが知られており、
例えば電子では &math(C=-1);、光子では &math(C=+1); の固有関数になる。

- &math(C=+1); を満たす粒子はボーズ粒子（ボゾン）~
→ スピンは整数値を取る~
~
- &math(C=-1); を満たす粒子はフェルミ粒子（フェルミオン）~
→ スピンは半整数値を取る

と呼ばれ、すべての粒子はこのどちらかに属する。

実際には、波動関数は実空間座標の他にスピン座標 &math(s_j); の関数でもあるから、

　&math(\Psi(\bm r_1,s_1,\bm r_2,s_2,\dots,\bm r_n,s_n));

の形を取る。粒子の入れ替えは空間座標とスピンの座標を同時に入れ替える操作に対応する。

特に覚えておくべきなのは、粒子の入れ替えに対する
ボーズ粒子の対称性 &math(\hat P_{ab}\Psi=\Psi); や
フェルミ粒子の反対称性 &math(\hat P_{ab}\Psi=-\Psi); 
は、「シュレーディンガー方程式とは独立した基本原理」であるから、
多粒子系の波動関数を求める際には、それがシュレーディンガー方程式を満たすことだけでなく、
これらの対称性を備えていることも確認しなければならないことである。

逆に言えば、与えられたポテンシャルに対してシュレーディンガー方程式（＋境界条件）だけでは
数学的に波動関数を一意に定めることはできず、
対称性を指定して始めて波動関数が１つに定まるのである（規格化定数を除いて）。

電子、陽子、中性子などの「物質的な粒子」はすべてフェルミオンとなり、
これらの粒子は同種の粒子と物理的に重なることができない（パウリの排他律）。

光子、ウィークボゾン、グルーオンなど、相互作用を媒介する粒子（それぞれ電磁気力、弱い力、強い力を媒介）や、フォノン、ポラリトンなどの仮想粒子、
ヘリウム原子のようなスピンが整数値となる原子、などがボゾンとして振る舞う。

以下では主に電子を想定して、フェルミオンについて主に学ぶ。
ボゾンについては付録的に述べる。

* パウリの排他律１ [#ze677499]

フェルミオンに関する著しい性質として、
２つのフェルミオンが同じ座標を取る確率は常にゼロになる。

なぜならこの場合、２つの位置座標を入れ替えても形が変わらないため、

　&math(
\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=C\Psi(\dots,\,&\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)\\
&\ \ \uparrow\hspace{17mm}\uparrow\\
&\ \ \ 入れ替えた
);

　&math(
&(1-C)\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0\\
);

フェルミオン &math(C=-1); では

　&math(
&2\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0\\
);

となり、波動関数の値がゼロであることが導かれるためだ。
これはパウリの排他律の一例となっている。

ボゾンの場合には &math(1-C=0); となるため、必ずしも波動関数はゼロとならず、
同じ座標に複数の粒子が存在できる。

* 多粒子系の物理量 [#i5550a42]

粒子の不弁別性により、

- 粒子１の位置
- 粒子２の運動量

などの物理量は、「観測可能量」とはならない。

観測可能（定義可能）な物理量としては、

- 全エネルギー
- 全運動量
- 全角運動量

のような「全粒子の物理量の総和」や、

- ある範囲に入る粒子の数
- 上向きスピンを持つ粒子の数

のように「ある条件を満たす粒子数」など、~
「個々の粒子を区別せずに定義できるもの」のみとなる。


* 質問・コメント [#t9e105fe]

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