球対称井戸型ポテンシャル/メモのバックアップ差分(No.3)

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* 球ベッセル関数の導出 [#q4e20ed3]

　&math(
R''+\frac{2}{\rho}R'+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0
);

は &math(\rho\to\infty); にて &math(R''=-R); となるから、
&math(R(\rho)\propto\sin \rho); または &math(R(\rho)\propto\cos \rho); となる。
そこで、

　&math(
R(\rho)=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k}
);

と置いて代入すれば、

　&math(
R''&=\sum_{k=0}^\infty \left[
k(k+1)\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}}
-2k\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}}
-\frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\right]\\
&=\sum_{k=2}^\infty (k-2)(k-1)\frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}\\
&\phantom{=}-\sum_{k=1}^\infty 2(k-1)\frac{s_{k-1}\cos\rho-c_{k-1}\sin\rho}{\rho^k}\\
&\phantom{=}-\sum_{k=0}^\infty\frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\\
);

　&math(
\frac{2}{\rho}R'&=\sum_{k=0}^\infty \left[
-2k\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}}
+2\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}}\right]\\
&=-\sum_{k=2}^\infty 2(k-2)\frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}\\
&\phantom{=}+\sum_{k=1}^\infty 2\frac{s_{k-1}\cos\rho-c_{k-1}\sin\rho}{\rho^k}\\
);

　&math(
\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R&=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k}\\
&\phantom{=}-l(l+1)\sum_{k=2}^\infty \frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}
);

&math(\rho^0); については自動的に満たされる。

&math(\rho^{-1}); については、

　&math(2(k-1)c_{k-1}-2c_{k-1}-l(l+1)s_{k-2}=0);

　&math(-2(k-1)s_{k-1}+2s_{k-1}-l(l+1)c_{k-2}=0);

すなわち、

　&math(c_0=\frac{l(l+1)}{-2}s_{-1}=0);

　&math(s_0=\frac{l(l+1)}{2}c_{-1}=0);

&math(k\ge 2); については、

&math(\frac{\sin\rho}{\rho^k}); の係数より、

　&math(
&(k-2)(k-1)s_{k-2}+2(k-1)c_{k-1}-\cancel{s_k}\\
&\hspace{1cm} -2(k-2)s_{k-2}-2c_{k-1}+\cancel{s_k}-l(l+1)s_{k-2}\\
&=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}s_{k-2}+2(k-2)c_{k-1}\\
&=0
);

すなわち、

　&math(
2(k-2)c_{k-1}=\{l(l+1)-(k-3)(k-2)\}s_{k-2}
);　（&math(k\ge 2);）

あるいは、

　&math(
2kc_{k+1}=\{l(l+1)-(k-1)k\}s_k
);　（&math(k\ge 0);） 

&math(\frac{\cos\rho}{\rho^k}); の係数より、

　&math(
&(k-2)(k-1)c_{k-2}-2(k-1)s_{k-1}-\cancel{c_k}\\
&\hspace{1cm}-2(k-2)c_{k-2}+2s_{k-1}+\cancel{c_k}-l(l+1)c_{k-2}\\
&=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}c_{k-2}-2(k-2)s_{k-1}\\
&=0
);

すなわち、

　&math(
2(k-2)s_{k-1}=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}c_{k-2}
);　（&math(k\ge 2);）

あるいは、

　&math(
2ks_{k+1}=\{(k-1)k-l(l+1)\}c_k
);　（&math(k\ge 0);）

となる。

得られた２つの漸化式は &math(k=0); で意味をなさないから、
&math(s_1,c_1); は自由に選べて、&math(k\ge 1); において、

　&math(
c_{k+1}=\frac{l(l+1)-(k-1)k}{2k}s_k
);

　&math(
s_{k+1}=\frac{(k-1)k-l(l+1)}{2k}c_k
);

となる。&math(k\to\infty); にて &math(s_k\ne 0,c_k\ne 0); であれば、

　&math(c_{k+1}\sim-\frac{k}{2}s_k);

　&math(s_{k+1}\sim \frac{k}{2}c_k);

となって明らかに発散するから、この漸化式は &math(k=l+1); で打ち切られる必要がある。

&math(l=0); のとき &math(c_2=s_2=0); より、

　&math(R=\frac{1}{\rho}(s_1\sin\rho+c_1\cos\rho));

であるが、&math(c_1\ne 0); では &math(\rho=0); で発散してしまうため、&math(c_1=0); であり、

　&math(j_0(\rho)\propto\frac{\sin\rho}{\rho});

&math(l=1); のとき、&math(c_2=s_1);、&math(s_2=-c_1); より、

　&math(R=s_1\left(\frac{\sin\rho}{\rho}+\frac{\cos\rho}{\rho^2}\right)+
c_1\left(\frac{\cos\rho}{\rho}-\frac{\sin\rho}{\rho^2}\right)
);

であるが、&math(s_1\ne 0); では &math(\rho=0); で発散してしまうため、&math(s_1=0); であり、

　&math(j_1(\rho)\propto \frac{\cos\rho}{\rho}-\frac{\sin\rho}{\rho^2}
);



* 球ベッセル関数 [#p507b042]

 LANG:mathematica
 MySphericalBesselJ[l_, x_] := 
   Nest[D[#, x]/x &, Sin[x]/x, l] x^l // FullSimplify
 Table[MySphericalBesselJ[l, x], {l, 0, 4}]

~
&math(
&\Bigg\{\frac{\sin (x)}{x},\frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^2},
-\frac{\left(x^2-3\right) \sin (x)+3 x \cos (x)}{x^3},\\
&\hspace{5mm}\frac{3 \left(2 x^2-5\right) \sin (x)-x \left(x^2-15\right) \cos (x)}{x^4},\frac{5 x \left(2 x^2-21\right) \cos (x)+\left(x^4-45 x^2+105\right) \sin (x)}{x^5}\Bigg\}
);

* 球ベッセル関数のグラフ [#a9909050]

 LANG:mathematica
 Plot[
   SphericalBesselJ[{0, 1, 2}, r] // Evaluate, 
   {r, 0, 40}, PlotRange -> Full, ImageSize -> 800, 
   BaseStyle -> 20, PlotStyle -> Thick]
  Join[
    SphericalBesselJ[{0, 1, 2, 3}, r], 
    {1/r, -1/r}
  ] // Evaluate, 
  {r, 0, 40}, PlotRange -> {-0.3, 1.05}, ImageSize -> 800, BaseStyle -> 20, 
  PlotStyle -> {Thick, Thick, Thick, Thick, {Thick, Dotted, Gray}, {Thick, Dotted, Gray}}, 
 ]
  
 Plot[Join[
   SphericalBesselJ[{1, 5, 9}, (Pi r)], {1/(Pi r), -1/(Pi r)}] // 
   Evaluate, {r, 0, 16}, ImageSize -> 800, BaseStyle -> 20, 
   PlotStyle -> {Thick, Thick, 
   Thick, {Thick, Dotted, Gray}, {Thick, Dotted, Gray}}, 
   PlotRange -> {-0.3, 0.5}, AspectRatio -> 0.4]
 
 Plot[
  r^2 SphericalBesselJ[{0, 1, 2, 3}, r]^2 // Evaluate, 
  {r, 0, 40}, PlotRange -> Full, ImageSize -> 800, 
  BaseStyle -> 20, PlotStyle -> Thick, Filling->Axis]

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