線形代数II/基底の変換 のバックアップの現在との差分(No.2)

更新


  • 追加された行はこの色です。
  • 削除された行はこの色です。
[[線形代数Ⅱ]]
[[前の単元 <<<>線形代数II/線形写像・像・核・階数]]
               [[線形代数II]]
               [[>>> 次の単元>線形代数II/線形写像の行列表現と階数]]
* 目次 [#e0e24b6f]

#contents
#katex

* 基底の変換 [#lb2f5ba0]

次の3つのベクトルは &math(\mathbb R^3); の基底を為す。
** 異なる基底に対する表現 [#p1142f92]

&math(
\bm b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\bm b_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\bm b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
&math(\mathbb R^2); に2つの基底

 &math(A&:\Big\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\Big\}\\
B&:\Big\{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big\});

を取ると、1つのベクトル &math(\bm x); に対して2つの表現 &math(\bm x_A,\bm x_B); が得られる。

 &math(
\bm x&=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\\
&=\bigg(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\bigg)
\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\hspace{6mm}\to\ \bm x_A=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\
&=\bigg(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\bigg)
\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}\hspace{5mm}\to\ \bm x_B=\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}\\
);

これは、次の2つが成り立つという意味だった。
以下では、&math(\bm x_A); と &math(\bm x_B); との間に成り立つ関係について考える。

+ &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); は線形独立である
+ &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); は &math(\mathbb R^3); を張る
** 基底の変換行列 [#bebc4cfe]

1. はほぼ自明(ですよね?)
&math(K); 上の &math(n); 次元線形空間 &math(V); に2つの基底を取る

2. を確かめよう
 &math( A=\set{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n});

&math(\forall \bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3);
 &math( B=\set{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n});

に対して、
これらの基底に対するベクトル &math(\bm x\in V); の表現 
&math(\bm x_{ A}, \bm x_{ B}\in K^n); は、

&math(\bm x=\bm b_1 x' +\bm b_2 y'+\bm b_3 z');
(1) &math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{ A}
);

を満たす &math(x',y',z'); を見つけられるかがここでの問題。
(2) &math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{ B}
);

&math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}
=B\bm x');
の関係を満たす。図に表わせば、

1. より &math(B); は正則であるから、&math(\bm x'=B^{-1}\bm x); とすればよい。
&attachref(基底の変換.png,,30%);

上記により、&math(\mathbb R^3); のベクトル &math(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); の、
基底 &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); に対する数ベクトル表現は、
&math(\bm x_{ A}\to \bm x); および &math(\bm x\to \bm x_{ B}); はともに
線形写像(同型写像)となるから、その合成写像 &math(\bm x_{ A}\to \bm x_{ B}); 
も線形写像(同型写像)である。

&math(\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix});
** 数ベクトルの線形写像は行列のかけ算で表せる [#tbc1674c]

である。
一般に、数ベクトルから数ベクトルへの線形写像 &math(T:K^n\to K^m); は 
&math(m\times n); 行列のかけ算の形で表せる。

&math(\mathbb R^3); のベクトル &math(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); という書き方は、
なぜなら、

基本ベクトル &math(
\bm e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\bm e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},
\bm e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
); に対する数値表現と見なせる。
 &math(\bm x=\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i);

一方、行列 &math(B=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}); は、
ベクトル &math(\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3); の、&math(\bm e_1&\bm e_2&\bm e_3); に対する
数値表現を行列として並べた物となる。
とすると、&math(T); が線形写像であることから、

** 基底の変換行列 [#nfca15f3]
 &math(
T\bm x&=T\Bigg(\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i\Bigg)\\
&=\sum_{i=1}^n \hspace{3mm} x_i\hspace{-5mm}\underbrace{T\bm e_i}_{m次数ベクトル}\\
&=\underbrace{\Bigg(
T\bm e_1\ T\bm e_2\ \dots\ T\bm e_n
\Bigg)}_{m\times n行列} \bm x\\
&=A_T\bm x
);

線形空間 &math(V); に2つの基底、
&math(\mathcal A=\set{\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_n}); および &math(\mathcal B=\set{\bm b_1, \bm b_2, \dots, \bm b_n}); 
があるとする。(&math(n=\dim V);)
** そこで、 [#u953e345]

&math(\forall\bm x\in V); の~
&math(\mathcal A); に対する数値表現 &math(\bm x_{\mathcal A}); と~
&math(\mathcal B); に対する数値表現 &math(\bm x_{\mathcal B}); との間には、
ある &math(n); 次正方行列 &math(P_{ B\to  A}); を用いて、

&math(\bm x_{\mathcal B}=A_{\mathcal B}^{-1}\bm x_{\mathcal A});
(3) &math(\bm x_{ B}=P_{ B\to  A}\bm x_{ A});

の関係がある。ただし、
と表せる。

&math(B_{\mathcal A}); は &math(n\times n); 行列で、~
&math(\mathcal B); の基底ベクトルそれぞれに対して基底 &math(\mathcal A); での数値表現を作り、
それらを横に並べた行列である。
このとき、&math(P_{ B\to  A}); を 
基底 &math( B); から 基底 &math( A); への基底の変換行列と呼ぶ。

この &math(B_{\mathcal A}); を、基底 &math(\mathcal A); から基底 &math(\mathcal B); への
基底の変換行列と呼ぶ。
** 変換の向き [#ma60dc7d]

上記を良く読んで「変換の向きは逆じゃないの?」と思うのは正しい感覚。

どうしてこの向きかというと、

(2) に (3) を代入して、

 &math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to  A}\bm x_{ A}
);

と (1) とを比べると、

(4) &math(
\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to  A}
);

となり、&math(P_{ B\to  A}); は基底 &math( B); を基底 &math( A); に変換する。

数ベクトル表現を変換する (3) と、基底を変換する (4) とをしっかり区別して覚えよう。

** 具体例 [#d7adb478]

上記の例であれば &math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}); と置いて、

 &math(
\Big(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\Big)
&=
\Big(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big)
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\
&=
\Big(a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ \ 
b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big)\\
);

すなわち、

 &math(
\begin{cases}
\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
=a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
=b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
\end{cases}
);

 &math(a=1, c=-1, b=-1/2, d=2);

したがって、

 &math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix}1&-1/2\\-1&2\end{pmatrix});

上の例で言えば、

 &math(\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A);

 &math(
\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&-1/2\\-1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
);

であり、確かに成り立っている。


** $P_{B\to A}$ の求め方 [#yf460a50]

基底 &math(A); の &math(k); 番目の基底ベクトル &math(\bm a_k); の &math(B); に対する表現 &math((\bm a_k)_B); を考えるとわかりやすい。

&math((\bm a_k)_A=\bm e_k); なので(ただし &math(\bm e_k); は &math(k); 番目の基本ベクトル)、

&math(P_{B\to A}=\Bigg(\,\bm p_1\ \bm p_2\ \cdots\ \bm p_n\,\Bigg)); と置けば、

 &math((\bm a_k)_B=P_{B\to A}(\bm a_k)_A=P_{B\to A}\bm e_k=\bm p_k);

したがって、

 &math(P_{B\to A}=\Bigg((\bm a_1)_B\ (\bm a_2)_B\ \cdots\ (\bm a_n)_B\Bigg));

となって、&math(P_{B\to A}); は
基底 &math(A); の基底ベクトルの基底 &math(B); に対する表現を並べて作った行列となる。

上の例ならば、

 &math({\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!}_B=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix});

 &math({\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\!}_B=\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix});

となって、確かに正しい。

** 正則性 [#p6b07f11]

当然、逆写像も線形写像であるから、

 &math(\bm x_{ A}=P_{ A\to  B}\bm x_{ B});

であり、

 &math(P_{ A\to  B}=P_{ B\to  A}^{-1});

の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。

* 例 [#cd58eba3]

&math(\mathbb R^2); に、2つの基底を取る。

&math(
\bm x&=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm x_{\mathcal A}\\
&=\big(\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n\big)\bm x_{\mathcal B}\\
\bm a_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},
\bm a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
);

&math(
\bm b_i=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm b_{i\mathcal A}
\bm b_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},
\bm b_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
);

&math(\bm a_1,\bm a_2); を &math(\bm b_1,\bm b_2); で展開すれば、

&math(\bm a_1=\frac{1}{3}\bm b_1+\frac{1}{3}\bm b_2); 
→ &math(\bm a_{1B}=\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix});

&math(\bm a_2=-\bm b_1+\bm b_2);
→ &math(\bm a_{2B}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix});

2つの式をまとめると、

&math(
\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\bm a_{1B}&\bm a_{2B}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}
);

この表式を用いて、

&math(
\bm x&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}\bm x_B\\
);

すなわち、

&math(
\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A=\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\bm x_A
);

* 演習 [#b5b7ccac]

&math(P^2[x]); に2つの基底 ~
&math(A=\{1, x, x^2\});
と~
&math(B=\{1, 1+x, 1+x+x^2\});
を取る。

(1) &math(A); から &math(B); への変換行列 &math(P_{A\to B});、
&math(B); から &math(A); への変換行列 &math(P_{B\to A}); を求めよ。

(2) &math(\bm x_A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}); に対応する &math(\bm x,\bm x_B); を求めよ。

(3) &math(\bm x_B=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}); に対応する &math(\bm x,\bm x_A); を求めよ。

** 解答 [#c6ad9c4a]

(1)

 &math(
\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg) =
\Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg)
\underbrace{
\begin{pmatrix}
a&b&c\\d&e&f\\g&h&i
\end{pmatrix}
}_{P_{A\to B}}
);
  より、
 &math(P_{A\to B}=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&1&1\\
0&0&1\\
\end{pmatrix});

また、

 &math(
\Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg) =
\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)
\underbrace{
\begin{pmatrix}
a&b&c\\d&e&f\\g&h&i
\end{pmatrix}
}_{P_{B\to A}}
);
  より、
 &math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&1&-1\\
0&0&1\\
\end{pmatrix});

あるいは、&math(
P_{B\to A}=P_{A\to B}^{-1}
); から求めても良い。

(2)

 &math(
\bm x&=
\Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg)\bm x_A=
1+2x+3x^2
);

 &math(
\bm x_B&=P_{B\to A}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&1&-1\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
-1\\
-1\\
3\\
\end{pmatrix}
);

検算:

 &math(\bm x&=\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)\bm x_B
=1+2x+3x^2
);

(3)

 &math(\bm x&=
\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)\bm x_B=
6+5x+3x^2
);

 &math(\bm x_A&=P_{A\to B}\bm x_B\\
&=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&1&1\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
6\\
5\\
3\\
\end{pmatrix}
);

~

[[前の単元 <<<>線形代数II/線形写像・像・核・階数]]
               [[線形代数II]]
               [[>>> 次の単元>線形代数II/線形写像の行列表現と階数]]

* 質問・コメント [#ca406670]

#article_kcaptcha
**無題 [#kbc28954]
>[[いつもお世話になっております]] (&timetag(2019-05-24T04:02:36+09:00, 2019-05-24 (金) 13:02:36);)~
~
(3)~
最後から2行目の数式~
\bm x_A &= P_{A \to B} \bm x_B \\~
かと。~

//
- ありがとうございます、おっしゃるとおりでした。 -- [[武内(管理人)]] &new{2019-06-04 (火) 21:23:55};

#comment_kcaptcha

**変換の向き [#m0e8fbfe]
>[[南]] (&timetag(2018-12-25T08:39:52+09:00, 2018-12-25 (火) 17:39:52);)~
~
変換の向き、の節に書かれている~
“基底を変換する (3) と、数ベクトル表現を変換する (4) とをしっかり区別して覚えよう。”~
の式番号があべこべになっているかと思います。~

//
- ご指摘ありがとうございます。その通りでしたので修正いたしました。 -- [[武内(管理人)]] &new{2018-12-25 (火) 17:54:06};
- 訂正していただき恐縮なのですが、まだあべこべになっているかと思います。初学者にとって誤解しやすい部分ですので、再度ご確認いただければ幸いです。 -- [[南]] &new{2019-01-11 (金) 13:51:01};
- どうもすみません。全然直っていませんでしたね・・・今回こそは直ったと思います。 -- [[武内(管理人)]] &new{2019-01-11 (金) 21:03:14};

#comment_kcaptcha

**変換行列の具体的な形ー一般にはの部分 [#c5576967]
>[[濱口数馬]] (&timetag(2015-11-15T09:47:44+09:00, 2015-11-15 (日) 18:47:44);)~
~
 確認計算の2列目は、-1/2, 2では?

//

#comment_kcaptcha


Counter: 99219 (from 2010/06/03), today: 63, yesterday: 0