射影・直和・直交直和のバックアップの現在との差分(No.12)

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* 目次 [#xf03612b]

#contents
#mathjax
&katex();

* ベクトルの成分 [#x61c2758]

規格化されたベクトル &math(\bm e); に対して、ベクトル &math(\bm x); を 
- &math(\bm e); に平行な成分 &math(\bm x_{\parallel}=x_\parallel \bm e); と、
- &math(\bm e); に垂直な成分 &math(\bm x_{\perp}); とに分け、
#ref(射影.png,right,around,40%);

&math(\bm x=\bm x_{\parallel}+\bm x_{\perp}=x_\parallel \bm e+\bm x_{\perp}); としたい。
規格化されたベクトル $\bm e$ に対して、ベクトル $\bm x$ を 
- $\bm e$ に平行な成分 $\bm x_{\parallel}=x_\parallel \bm e$ と、
- $\bm e$ に垂直な成分 $\bm x_{\perp}$ とに分解して、

&ref(成分分解.png,,33%);
$\bm x=\bm x_{\parallel}+\bm x_{\perp}$ と表したい。

両辺に左から &math(\bm e); をかければ、
両辺に左から $\bm e$ をかければ、

&math((\bm e,\bm x)=x_{\parallel}(\bm e,\bm e)+(\bm e,\bm x{\perp})=x_{\parallel});
$$\begin{aligned}(\bm e,\bm x)=x_{\parallel}(\bm e,\bm e)+(\bm e,\bm x_{\perp})=x_{\parallel}\end{aligned}$$

が得られ、

&math(\bm x_{\parallel}=(\bm e,\bm x)\bm e);~
&math(\bm x_{\perp}=\bm x-\bm x_\parallel=\bm x-(\bm e,\bm x)\bm e);
$$\bm x_{\parallel}=\underbrace{(\bm e,\bm x)}_{\text{大きさ}}\,\underbrace{\bm e\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}_\text{向き}$$
$$\begin{aligned}\bm x_{\perp}=\bm x-\bm x_\parallel=\bm x-(\bm e,\bm x)\bm e\end{aligned}$$

としてこれらのベクトルを求められる。~
（同じことをグラム・シュミットの直交化で行った）

この &math(\bm x_\parallel); を &math(\bm x); の &math(\bm e); 方向成分と呼ぶ。
この $\bm x_\parallel$ を $\bm x$ の $\bm e$ への正射影と呼ぶ（直交射影あるいは単に射影とも）。

*** 注意１ [#r5af3ba1]
$\bm e$ に垂直な光を $\bm x$ に当てたとき、
$\bm e$ 軸上にできる影が $\bm x_\parallel$ 
であるという気持ちが込められている → 「射影」

当然 &math(\bm e); は規格化されていなければならない。
#clear

一般のベクトル &math(\bm v); 方向成分であれば、
*** 注意１ [#he07ef1e]

&math(\bm x_{\parallel}=\frac{(\bm v,\bm x)}{\|\bm v\|^2}\bm v);~
例えば $xy$ 平面上のベクトル $\bm v=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
の「$\bm v$ の $x$ 方向成分 は $\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ である」と言う場合と
「$\bm v$ の $x$ 方向成分 は $2$ である」と言う場合と があるので、
どちらを指しているのかは文脈から読み取るように。

*** 注意２ [#s8228082]
*** 注意２ [#r5af3ba1]

複素ベクトルに対しては &math((\bm x,\bm e)\ne(\bm e,\bm x)); なので、
規格化されていない $\bm v$ 方向の成分を求めるなら、$\bm e=\bm v/\|\bm v\|$ だから、

$$\begin{aligned}\bm x_{\parallel}=(\frac{\bm v}{\|\bm v\|},\bm x)\,\frac{\bm v}{\|\bm v\|}=\frac{(\bm v,\bm x)}{\|\bm v\|^2}\bm v\end{aligned}$$

*** 注意３ [#s8228082]

複素ベクトルに対しては $(\bm x,\bm e)\ne(\bm e,\bm x)$ なので、
どちらから掛けるかが重要である。

&math((\bm e,\bm x)=(\bm e,x_\parallel \bm e)=x_{\parallel}); だが、~
&math((\bm x,\bm e)=(x_\parallel \bm e,\bm e)=\overline{x_{\parallel}}); となってしまう。
$(\bm e,\bm x)=(\bm e,x_\parallel \bm e)=x_{\parallel}$ だが、~
$(\bm x,\bm e)=(x_\parallel \bm e,\bm e)=\overline{x_{\parallel}}$ となってしまう。

*** 注意３ [#p72a2888]
*** 注意４ [#p72a2888]

この授業では &math((\bm a,k\bm b)=k(\bm a,\bm b)); となる内積の公理を採用しているため
この授業では $(\bm a,k\bm b)=k(\bm a,\bm b)$ となる内積の公理を採用しているため
上記が正しいが、

多くの教科書では &math((k\bm a,\bm b)=k(\bm a,\bm b)); を採用しているため、
そのような公理系では逆から掛ける必要がある。
$(k\bm a,\bm b)=k(\bm a,\bm b)$ を採用する場合には左ではなく右から掛ける必要がある。

この説明でピンとこない学生は [[計量空間に関する説明>線形代数II/内積と計量空間#e8db9a80]] を見直すこと。

* 射影演算子 [#c9c77b82]

&math(
\bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e
);
$\bm x$ から $\bm e$ に平行な成分 $\bm x_\parallel$ を求める演算、

は 「数」×「ベクトル」 で、「ベクトルのスカラー倍」
として任意の線形空間において正しい形であるが、
$$P_{\bm e}:\bm x\mapsto\bm x_\parallel\text{　　あるいは同じことだが　　}P_{\bm e}:\bm x\mapsto(\bm e,\bm x)\bm e$$

数ベクトル空間においてはこれを入れ替えると、
は線形変換であり、$P_{\bm e}$ は射影変換あるいは射影演算子と呼ばれる。

&math(
\bm x_{\parallel}=\bm e(\bm e,\bm x)
);
ある正規直交基底 $A$ の下で射影変換の行列表現を求めよう。数ベクトル $\bm a_A,\bm b_A$ の標準内積に対して、

「ｎ×１行列」×「１×１行列」で、行列のかけ算として正しい形になる。
（スカラーと１×１行列を同一視するのは１年生で学んだとおり）
$$\begin{aligned}
(\bm a_A,\bm b_A)&=\sum_k^n \overline{a_k}b_k=\begin{pmatrix}\overline a_1&\overline a_2&\dots&\overline a_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}={}^t\overline {\bm a_A}\bm b_A=\bm a_A^\dagger\bm b_A
\end{aligned}$$ 

さらに内積を行列の積で表わすと、
となることを用いて、

&math(
\bm x_{\parallel}&=\bm e \{\bm e^\dagger \bm x\}\\
&=\bm e \bm e^\dagger \bm x\\
&=P_{\bm e} \bm x
);
$$\begin{aligned}
(\bm x_{\parallel})_A
&=(\bm e_A,\bm x_A)\bm e_A\\
&=\{\bm e_A^\dagger \bm x_A\}\bm e_A\\
&=\bm e_A\{\bm e_A^\dagger \bm x_A\}\hspace{1cm}\because \{\ \}\,\text{部は}1\times 1\text{行列}\\
&=\{\bm e_A\bm e_A^\dagger\}\bm x_A\hspace{1cm}\because \text{結合法則}\\
&=(P_{\bm e})_A\,\bm x_A\\
\end{aligned}$$

ただし、&math(P_{\bm e}=\bm e\bm e^\dagger); である。
すなわち $P_{\bm e}$ の表現は、任意の正規直交基底 $A$ 
に対して次のように表せる。

この行列は &math(\bm x); から &math(\bm e); 方向成分を取り出す行列であり、
「&math(\bm e); 軸への射影演算子」と呼ばれる。

実際の形は、

&math(
P_{\bm e}&=\bm e\bm e^\dagger=
$$\begin{aligned}
(P_{\bm e})_A&=\bm e_A\bm e^\dagger_A=
\begin{pmatrix}
e_1\\e_2\\\vdots\\e_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\overline{ e_1}&\overline{ e_2}&\dots&\overline{ e_n}
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
e_1\overline{e_1}&e_1\overline{e_2}&\cdots&e_1\overline{e_n}\\
e_2\overline{e_1}&e_2\overline{e_2}&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&\vdots\\
e_n\overline{e_1}&\cdots&\cdots&e_n\overline{e_n}
\end{pmatrix}
);
\end{aligned}$$

のように &math(n\times n); 行列になる。

&attachref(射影.png,,33%);
*** 例 [#p94d13e4]

&math(\bm x); に &math(\bm e); に垂直に光を当てたとき、
&math(\bm e); 軸上にできる影が &math(\bm x_\parallel); 
であるという気持ちが込められている → 「射影」
$\bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ の $\bm v=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ 方向成分を求めよう。

** 射影演算子はエルミート行列になる。 [#tee56cfe]
$\bm e=\frac{1}{\|\bm v\|}\bm v=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ を用いて普通にやれば、

上記の「具体的な形」を見て分かるとおり、
$$
\bm x_\parallel=(\bm e,\bm x)\bm e=\frac{x-y}2\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}
$$

&math(\big(P_{\bm e}\big)_{ij}=e_j \overline{e_i});
同じことを射影演算子を求めて行えば、

&math(\big(P_{\bm e}\big)_{ji}=e_i \overline{e_j}=\overline{(e_j \overline{e_i})});
$$
P_{\bm v}=P_{\bm e}=\bm e\bm e^\dagger
=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}
=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}
$$

より、&math(\big(P_{\bm e}\big)_{ji}=\overline{\big(P_{\bm e}\big)_{ij}}); であり、
射影演算子はエルミートであることが分かる。
$$\begin{aligned}\bm x_\parallel&=P_{\bm v}\bm x\\
&=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}x-y\\-x+y\\0\end{pmatrix}
=\frac{x-y}{2}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\hspace{1cm}\parallel \bm v
\end{aligned}$$

以下、あるベクトルを「成分」に分ける話を一般化する。
$\bm v$ に垂直成分を求めれば、

* 復習１：線形空間 [#y64f3022]
$$\begin{aligned}\bm x_\perp&=\bm x-\bm x_\parallel\\
&=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\frac{x-y}{2}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}(x+y)/2\\(x+y)/2\\z\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

線形空間とは、ベクトルの和とスカラー倍について閉じた集合のことだった。
これは明らかに $\bm v$ と直交する。

- 任意の &math(\bm x,\bm y\in V); に対して、必ず &math(\bm x+\bm y\in V);
- 任意の &math(\bm x\in V,k\in K); に対して、必ず &math(k\bm x\in V);
当然、

* 復習２：部分空間 [#t397a1fd]
$$
\bm x_\parallel+\bm x_\perp=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\bm x
$$

線形空間の部分集合 &math(W\subset V); がベクトルの和とスカラー倍について閉じている場合、
&math(W); も線形空間となり、&math(W); は &math(V); の部分空間であるという。
が成り立つ。

&math(\mathbb R^3); の部分空間：

- ０次元の部分空間は原点のみからなる集合 &math(\set{\bm 0});
- １次元の部分空間は原点を通る直線　　　 &math(\set{\bm p=s\bm a|s\in K});
- ２次元の部分空間は原点を通る平面　　　 &math(\set{\bm p=s\bm a+t\bm b|s,t\in K});
- ３次元の部分空間は &math(\mathbb R^3); そのもの
** 射影演算子はエルミートになる。 [#tee56cfe]

同じ直線的でも、原点を通らない &math(\set{\bm p=s\bm a+\bm b|s\in K}); 
$$\begin{aligned}
(P_{\bm e})_A^\dagger=\big(\bm e_A\bm e_A^\dagger\big)^\dagger=\big(\bm e_A^\dagger\big)^\dagger\bm e_A^\dagger=\bm e_A\bm e_A^\dagger=(P_{\bm e})_A
\end{aligned}$$

より、射影演算子の表現行列はエルミートである。

このとき、任意のベクトル $\bm x,\bm y$ に対して 

$$\begin{aligned}
(\bm x,P_{\bm e}\bm y)=(P_{\bm e}^\dagger\bm x,\bm y)=(P_{\bm e}\bm x,\bm y)
\end{aligned}$$

が成り立ち、このような演算子はエルミート演算子と呼ばれる。

* 演習問題 [#y3ae2e46]

(1) 三次元複素数ベクトル空間 $C^3$ において、$\bm v=\begin{pmatrix}-1\\2\\i\\\end{pmatrix}$ 方向への射影演算子となる行列 $P_{\bm v}$ を求めよ。また、$\bm x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ の $\bm v$ 方向成分を求めよ。（余力があれば、内積を使って求めた結果と、$P_{\bm v}$ を使って求めた結果とが一致することを確かめよ）

(2) $x$ の２次以下の複素係数多項式空間 $P^2[x]=\{ax^2+bx+c\,|\,a,b,c\in C\}$ を考える。内積 $(f,g)=\int_{-1}^1 \overline{f(x)}g(x)dx$ に対して $x^2+1$ を $3x-i$ に平行な成分と垂直な成分とに分解せよ。（余力があれば、求めた平行成分と垂直成分とが実際に直交することを確認せよ）


* $n$ 次元空間への射影を考える [#oec8bd2b]

ここまで、あるベクトルに平行な直線（一次元空間）への射影を考えたが、
以下では平面への射影や、もっと一般に $n$ 次元空間への射影を考える。

そのためにまずはいくつか準備を行う。
** 復習１：線形空間 [#y64f3022]

$K$ 上の線形空間とは、ベクトルの和とスカラー倍について閉じた集合のことだった。

- 任意の $\bm x,\bm y\in V$ に対して、必ず $\bm x+\bm y\in V$~
　　↔ $\bm x,\bm y\in V$ から $\bm x+\bm y\in V$ を導けるということ
- 任意の $\bm x\in V,k\in K$ に対して、必ず $k\bm x\in V$~
　　↔ $\bm x\in V,k\in K$ から $k\bm x\in V$ を導けるということ

** 復習２：部分空間 [#t397a1fd]

線形空間の部分集合 $W\subset V$ がベクトルの和とスカラー倍について閉じている場合、
$W$ も線形空間となり、$W$ は $V$ の部分空間であるという。

$\mathbb R^3$ の部分空間：全体空間が３次元なので部分空間は３次元以下になる

- ０次元の部分空間は原点のみからなる集合 $\{\,\bm 0\,\}$
- １次元の部分空間は原点を通る直線　　　 $\{\,\bm p=s\bm a\,|\,s\in K\,\}$
- ２次元の部分空間は原点を通る平面　　　 $\{\,\bm p=s\bm a+t\bm b\,|\,s,t\in K\,\}$
- ３次元の部分空間は $\mathbb R^3$ そのもの

同じ直線的でも、原点を通らない $\{\,\bm p=s\bm a+\bm b\,|\,s\in K\,\}$ 
は線形空間にならない。（和やスカラー倍が元の集合からはみ出す）

* 復習３：集合の積と和 [#sea08144]
** 復習３：集合の積と和 [#sea08144]

集合 &math(A); と集合 &math(B); の積と和は、
集合 $A$ と集合 $B$ の積と和は、

#multicolumns
:積（交わり）|
&math(A\cap B=\set{x|x\in A\,\mathrm{かつ}\,x\in B});~
&math(A); および &math(B); の両方に含まれる要素の集合
$A\cap B=\{\,x\,|\,x\in A\,\text{かつ}\,x\in B\,\}$~
$A$ および $B$ の両方に含まれる要素の集合~
$A$ キャップ $B$ と読む。($\cap$ は帽子の形)
#multicolumns
:和（結び）|
&math(A\cup B=\set{x|x\in A\,\mathrm{または}\,x\in B});~
&math(A); あるいは &math(B); の少なくとも片方に含まれる要素の集合
$A\cup B=\{\,x\,|\,x\in A\,\text{または}\,x\in B\,\}$~
$A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合~
$A$ カップ $B$ と読む。($\cup$ はカップの形)
#multicolumns(end)

#ref(積集合和集合.png,center,33%);

~

記号の覚え方：
-「&math(x\in A\,\mathrm{かつ}\,x\in B);」は英語では「&math(x\in A\,\mathrm{and}\,x\in B);」
- And の A と &math(\cap); とは似ている（でしょ？）
-「$x\in A\,\text{かつ}\,x\in B$」は英語では「$x\in A\,\text{and}\,x\in B$」
- And の A と $\cap$ とは似ている（でしょ？）

* 交空間 [#oa2a08fa]
* 以下、$U$ の部分空間 $V,W$ について考える [#i78b84b7]

２つの部分空間 &math(W_1,W_2); の交わり &math(W_1\cap W_2); は無条件で線形空間となり、
交空間と呼ばれる。
$K$ 上の線形空間 $U$ の部分空間 $V,W$ を考え、~
$\{\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_n\},$ $\{\bm w_1,\bm w_2,\dots,\bm w_m\}$ をそれぞれの基底とする。~
($\dim V=n,\ \dim W=m$)

練習：部分空間の積（交わり）がベクトルの和とスカラー倍について閉じていることを示せ。
* 交空間 $V\cap W$ [#oa2a08fa]

* 和集合は線形空間にならない [#xd00301e]
２つの線形空間の、集合としての交わり $V\cap W$ は常に線形空間になり、交空間と呼ばれる。

&attachref(ベクトルの成分１.png,,33%);
>証明：~
$\bm x,\bm y\in V\cap W,\ k\in K$ とする。~
$\bm x,\bm y\in V$ かつ $\bm x,\bm y\in W$ であるから、~
$\bm x+\bm y\in V$ かつ $\bm x+\bm y\in W$ また
$k\bm x\in V$ かつ $k\bm x\in W$ ~
すなわち、$\bm x+\bm y, k\bm x\in V\cap W$ であり、~
$V\cap W$ はベクトルの和とスカラー倍に対して閉じている。

２つの１次元部分空間 &math(W_1,W_2); の和集合 &math(W_1\cup W_2); 
は、原点を通る２本の直線を合わせた集合。
交わり $V\cap W$ が空集合になることはない。

この集合から２つのベクトルを取って和を作ると、集合から「はみ出してしまう」。
線形空間は必ず $\bm 0$ を含むから、常に $\bm 0\in V\cap W$ である。

* 和空間 [#i53e231d]
$V\cap W=\{\,\bm 0\,\}$ のとき、$\dim(V\cap W)=0$

和集合を含む最小の線形空間を和空間 &math(W_1+W_2); と呼ぶ
&attachref(1D_cap_2D.png,,25%);　
&attachref(2D_cap_2D.png,,25%);

&math(W_1+W_2=\set{\bm x=\bm x_1+\bm x_2|\bm x_1\in W_1,\bm x_2\in W_2});　となる。
* 和集合 $V\cup W$ はベクトル和に対して閉じていないことがある [#xd00301e]

** 和集合は $W_1,W_2$ の基底ベクトルを合わせたベクトルで張られる [#w95305d5]
#ref(1D_cup_1D.png,right,around,25%);

&math(W_1,W_2); の基底を 
&math(B_1=\set{\bm b_{11},\bm b_{12},\dots,\bm b_{1m}});
&math(B_2=\set{\bm b_{21},\bm b_{22},\dots,\bm b_{2n}}); とする。
例えば図のように、２つの１次元空間 $V,W$ 
の和集合 $V\cup W$ は、
原点で交わる２本の直線の形をしている。

&math(\bm x=\bm x_1+\bm x_2); ただし &math(\bm x_1\in W_1,\bm x_2\in W_2); のとき、
$V,W$ 上から２つのベクトルを取り
$\bm v\in V, \bm w\in W$ とすれば、~
$\bm v, \bm w\in V\cap W$ でない限り、
$\bm v+\bm w\notin V\cup W$ である。

&math(\bm x=\sum_{k=1}^m x_{1k}\bm b_{1k}+\sum_{k=1}^m x_{2k}\bm b_{2k});
すなわち、和集合は必ずしも線形空間にならない

であり、任意の &math(\bm x\in W_1+W_2); を、&math(W_1); と &math(W_2); 
の基底を合わせたベクトルの一次結合で表せることが分かる。
#clear
* 和空間 $V+W$ [#i53e231d]

** 和集合の次元 [#iadf0b68]
和集合をベクトル和について閉じるように拡大した線形空間が和空間 $V+W$ である。

&math(W_1,W_2); の基底 &math(B_1,B_2); を合わせたベクトルが一次独立であれば
これは $V$ の元と $W$ の元の和で表せるすべてのベクトルからなる集合である。

&math(\dim (W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2);
$$\begin{aligned}V+W\equiv\{\,\bm x=\bm x_V+\bm x_W\,|\,\bm x_V\in V,\bm x_W\in W\,\}\end{aligned}$$

となるが、一般には２つの空間の交わりがゼロにはならないため、
$\bm x_V\in V,\bm x_W\in W$ はそれぞれ、$V,W$ の基底 
$\{\,\bm v_k\,\},\{\,\bm w_k\,\}$ の線形結合として表せるから、
$\bm x\in V+W$ は

&math(\dim (W_1+W_2)<\dim W_1+\dim W_2);
$$\begin{aligned}
\bm x&=\bm x_V+\bm x_W\\
&=\underbrace{\sum_{k=1}^n c_k\bm v_k}_{\bm x_V}+
{}\underbrace{\sum_{k=1}^m d_k\bm w_k}_{\bm x_W}
\end{aligned}$$

となる。より正確には、
のように $V,W$ の基底を合わせた線形結合として表せる。

&math(\dim (W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2));
すなわち、$V,W$ の基底ベクトルすべてで「張られる」空間が和空間である。

である。
ここから $\dim(V+W)\le\dim V+\dim W$ が言える。

例：３次元空間に原点を通る２枚の平面 &math(W_1,W_2); を考えると、これらはそれぞれ部分空間となる。
２枚が平行ではない場合、これらの和空間 &math(W_1+W_2); は３次元空間全体であり、原点を通る交線が交空間 &math(W_1\cap W_2); である。このとき、
$V,W$ の基底ベクトルを合わせたものが一次独立であるときに限り、
それがそのまま $V+W$ の基底となるから、
$\dim(V+W)=\dim V+\dim W$ となる。

&math(
\underbrace{\dim(W_1+W_2)}_3=\underbrace{\dim W_1}_2+\underbrace{\dim W_2}_2-\underbrace{\dim(W_1\cap W_2)}_1
);
** 和空間の次元 [#iadf0b68]

* 直和 [#u527a7fd]
厳密な証明は省くが、

&math(W_1,W_2); の基底を合わせると &math(W_1+W_2); の基底となる時、
すなわち &math(W_1); と &math(W_2); の基底を合わせたベクトルが一次独立であるとき、
$$\begin{aligned}\dim (V+W)=\dim V+\dim W-\dim(V\cap W)\end{aligned}$$

&math(W_1+W_2=W_1\dot +W_2);
の関係がある。(集合 $A\cup B$ の要素の数 $\#(A\cup B)$ が $\#A+\#B-\#(A\cap B)$ と表せたことに対応する)

と書き、&math(W_1\dot +W_2); を &math(W_1); と &math(W_2); の直和という。
これは、$V\cap W$ の基底にいくつかベクトルを加えて $V$ の基底を作成し、
同じ $V\cap W$ の基底にいくつかベクトルを加えて $W$ の基底を作成したならば、
それらすべてのベクトルを合わせると $V+W$ の基底となる、という事実による。

** 成分分解 [#o401c83d]
#ref(2D_cap_2D.png,right,around,25%);
>例：
>
>右図の平面状の $V,W$ の和空間は３次元空間全体となる。また２平面の交線が $V\cap W$ に相当する。すなわち、
>
>$$
\underbrace{\dim(V+W)}_3=\underbrace{\dim V}_2+\underbrace{\dim W}_2-\underbrace{\dim(V\cap W)}_1
$$

そのようにして作った &math(W_1\dot +W_2); の基底を 
&math(B=\langle\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n\rangle); とすると、
#clear

&math(
\bm x&=\underbrace{x_1\bm b_1+x_2\bm b_2+\cdots}_{\bm x_1\in W_1}
\underbrace{\cdots+x_n\bm b_n}_{\bm x_2\in W_2}\\
&=\bm x_1+\bm x_2
);

のように、任意の &math(\bm x\in W_1\dot +W_2); を２つの成分 
&math(\bm x_1\in W_1); と &math(\bm x_2\in W_2); とに ''一意に'' 分解できる。
* 直和 $V\dot +W$ [#u527a7fd]

上記より、$V\cap W=\{\bm 0\}$ のとき、$\dim(V+W)=\dim V+\dim W$ となる。

このとき「和空間 $V+W$ は $V$ と $W$ の直和になっている」と言い、

$$\begin{aligned}V+W=V\dot +W\end{aligned}$$ 

と書く。（プラス記号 $+$ の上に点を書く）

- 直和は新たな演算ではない
- 「～～の場合に $V+W$ は直和となる」「～～の場合には直和にならない」といった文脈で用いられる。
- $V$ の基底と $W$ の基底を合わせると、そのまま $V\dot +W$ の基底になる~
↔ $\dim V+\dim W=\dim(V\dot +W)$~

直和となるのは $V$ と $W$ （の基底）が一次独立なときである。

** 成分分解の一意性 [#o401c83d]

$V\dot +W$ すなわち $V\cap W=\{\bm 0\}$ のときに限り $\bm x\mapsto\bm x_V$ 
の射影演算を定義できる。

というのも、もし $\bm\delta\in V\cap W$ が $\bm\delta\ne\bm 0$ であれば、

$$\begin{aligned}\bm x&=\bm x_V+\bm x_W\\
&=(\bm x_V+\bm \delta)+(\bm x_W-\bm \delta)\\
&=\bm x_V'+\bm x_W'
\end{aligned}$$

のように成分分解が一意に定まらないためだ。

** 線形独立な空間 [#h781440c]

直和は「互いに線形独立な２つの空間」の和空間のイメージになる。

→ $\begin{aligned}\bm x_V+\bm x_W=\bm 0\end{aligned}$ から $\bm x_V=\bm x_W=\bm 0$ を導ける。

** 成分の値はもう一方の空間に依存する [#e7949533]

&attachref(ベクトルの成分１.png,,33%);
&attachref(ベクトルの成分２.png,,33%);
成分分解のイメージは下図のようなものになる。

同じベクトル &math(\bm x); を~
&math(W_1); と &math(W_2); に分解したときの &math(\bm x_1); と、~
&math(W_1); と &math(W_3); に分解したときの &math(\bm x'_1); とは~
&attachref(1d_dplus_1d.png,,25%);

同じベクトル $\bm x$ を~
　　$\begin{aligned}V\end{aligned}$ と $W$ に分解したときの $\bm x_V$ と、~
　　$\begin{aligned}V\end{aligned}$ と $W'$ に分解したときの $\bm x'_V$ とは~
一般には異なる値になる。

すなわち、ある部分空間の成分は、その部分空間だけでは決まらずに、他の部分空間の取り方に依存する。
すなわち、ある部分空間の成分は、その部分空間だけでは決まらずに、他の部分空間の取り方にも依存する。

* 直交直和 [#d251a548]
上で $e$ から $P_{\bm e}$ を求められたのとは違い、$V$ の情報のみから $\bm x_V$ を求めることはできない。

&math(V); の部分空間 &math(W_1,W_2); の''正規直交''基底を合わせると &math(V); の''正規直交''基底となる場合、
$V$ が２次元の時の成分分解のイメージは次の通り。

&math(W_1+W_2=W_1\oplus W_2);
&attachref(2D-1D.png,,20%);

と書き、&math(W_1\oplus W_2); を &math(W_1); と &math(W_2); の直交直和という。
* 直交する空間 [#he5eb453]

** 部分空間の直交性 [#k10e4a58]
$V$ の任意の元が、
$W$ の任意の元と直交するとき、
$V$ と $W$ とは直交すると言う。

&math(W_1,W_2); が直交直和 &math(W_1\oplus W_2); を作るとき、
任意の &math(\bm x_1\in W_1); と任意の &math(\bm x_2\in W_2); は直交する。
$V$ のすべての基底ベクトルが、~
$W$ のすべての基底ベクトルと直交することと同義。

すなわち &math((\bm x_1,\bm x_2)=0);
注意点として、例えば $xy$ 平面からなる空間 $V$ と $yz$ 平面からなる空間 $W$ とは図形的には直交しているが、
$y$ 軸上のベクトル $\bm v=(0,1,0)$ は $\bm v\in V$ かつ $\bm v\in W$ であり、
当然 $\bm v\perp \bm v$ は成り立たないので、$V$ と $W$ は直交する空間とは呼ばない。

** 直交直和の成分分解 [#d2df2673]
$V,W$ が直交する空間であれば、$V\cap W=\{\bm 0\}$ である。すなわち一次独立である。

直交直和の成分分解は簡単で、
* 直交直和 $V \oplus W$ [#d251a548]

&math(V); の正規直交基底を &math(\langle \bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_n\rangle); とすると、
任意の &math(\bm x\in V\oplus W); は、
２つの空間が直交する時、$V + W$ を $V$ と $W$ の「直交直和」であるといい、

&math(
\bm x&=\bm x_V+\bm x_W\\
&=(x_1\bm e_1+x_2\bm e_2+\dots+x_n\bm e_n)+\bm x_W
);
$$\begin{aligned}V+W=V \oplus W\end{aligned}$$ 

と分解でき、左から &math(\bm e_k); を掛ければ、
と書く。

&math(
(\bm e_k,\bm x)&=x_1(\bm e_k,\bm e_1)+x_2(\bm e_k,\bm e_2)+\dots+x_n(\bm e_k,\bm e_n)+(\bm e_k,\bm x_W)\\
&=x_k
);
#ref(perpendicular.png,right,around,25%);

となるから、これを元の式に代入すれば、
このとき、$V,W$ の''正規直交''基底を合わせると $V \oplus W$ の''正規直交''基底となる。

&math(
\bm x_V&=(\bm e_1,\bm x)\bm e_1+(\bm e_2,\bm x)\bm e_2+\dots+(\bm e_1,\bm x)\bm e_n\\
&=\bm e_1\bm e_1^\dagger\bm x+\bm e_2\bm e_2^\dagger\bm x+\dots+\bm e_n\bm e_n^\dagger\bm x\\
&=\big(\sum_{k=1}^n\bm e_k\bm e_k^\dagger\big)\bm x\\
∵ $V$ の正規直交基底は $W$ の正規直交基底とも直交するから

当然、直交直和は直和でもある。

** 直交直和の成分分解 [#d2df2673]

直交直和の成分分解は簡単である。$\{\,\bm v_k\},\{\,\bm w_k\,\}$ 
が正規直交基底であるとすると、

$$\begin{aligned}
\bm x&=\underbrace{\sum_{k=1}^n c_{k}\bm v_{k}}_{\,\bm x_V}
{    }+\underbrace{\sum_{k=1}^m d_{k}\bm w_{k}}_{\,\bm x_W}\\
&=c_k\bm v_k+\underbrace{\sum_{k'\ne k}^n c_{k'}\bm v_{k'}+\sum_{k'=1}^m d_{k'}\bm w_{k'}}_{\perp\bm v_k}
\end{aligned}$$

のように、$\bm c_k\bm v_k$ を取り出せば、残りの部分は $\bm v_k$ と直交するから、
$\bm c_k\bm v_k$ は $\bm x$ の $\bm v_k$ 方向成分である。

すると、上で見た任意の $\bm x$ から $\bm v_k$ 方向成分を取り出す１次元射影演算子
$P_{\bm v_k}$ を使って $c_k\bm v_k=P_{\bm v_k}\bm x$ と書けるから、

$$\begin{aligned}
\bm x_V
&=\sum_{k=1}^n P_{\bm v_k}\bm x\\
&=\left(\sum_{k=1}^n P_{\bm v_k}\right)\bm x\\
&=P_V\bm x
);
\end{aligned}$$

であり、&math(P_V=\sum_{k=1}^n\bm e_k\bm e_k^\dagger); が &math(V\oplus W); 
から &math(V); への射影演算子を表わすことになる。
すなわち、

射影演算子は &math(V); のみの情報から成り立っており、
&math(W); によらないことに注意せよ。
$$\begin{aligned}P_V=\sum_{k=1}^n P_{\bm v_k}\end{aligned}$$

直交直和でない場合には &math((\bm e_k,\bm x_W)=0); が必ずしも成り立たないため、
成分への分解がこれほど単純にならないことと対比して理解せよ
が $V\oplus W$ から $V$ への射影演算子となる。

数ベクトルに対しては上で見たとおり

$$\begin{aligned}P_V=\sum_{k=1}^n \bm v_k\bm v_k^\dagger\end{aligned}$$

である。

射影演算子は $V$ の情報だけから定まり、
$W$ に依存しないことに注意せよ。

エルミート演算子の和はエルミート演算子になるから、
$P_{\bm v_k}$ の和である $P_V$ もエルミートである。

（空間が直交しない一般の直和の場合にも「逆基底」を考えることにより、
直交直和の場合とそっくりな形に射影演算子を表すことが可能であるが、ここでは省略する。
→ 発展：[[線形代数II/非直交基底の成分分解]]）

** 直交補空間 [#td0c1fcb]

全体空間 &math(U); を &math(U=V\oplus W); と表せるとき、
&math(W); を &math(V); の「直交補空間」と呼び、&math(W=V^\perp); と表わす。
#ref(complementary-space.svg,around,right);

全体集合を、ある空間と、直交する補空間へと、分解するイメージである。
全体空間 $U$ が $U=V\oplus W$ と表されるとき、
$W$ を $V$ の「直交補空間」と呼び、$W=V^\perp$ と書く。

あるベクトル &math(\bm x); を &math(\bm e); 
に平行な成分 &math(\bm x_\parallel); と垂直な成分 &math(\bm x_\perp); 
に分ける問題は、それぞれ線形空間 &math(V=\set{\bm p=t\bm e|t\in K}); 
とその直交補空間 &math(V^\perp); の成分への分解を表わしていたことになる。
ある線形空間 $V$ に対してその直交補空間は一意に定まる。

一方、全体空間 &math(U); を &math(U=V\dot + W); と表せるとき、
&math(W); を &math(V); の（単なる）「補空間」と呼ぶが、こちらはあまり使われない。
$$\begin{aligned}V^\perp=\{\,\bm x\in U\,|\,\forall\bm y\in V,(\bm x,\bm y)=0\,\}\end{aligned}$$

** 性質 [#ae98dccc]
つまり全体集合を、ある空間と、それに直交する補空間と、に分解することはいつも可能である。

- &math(\bm x\in V); のとき &math(P_V\bm x=\bm x);
- &math(\bm x\in V^\perp); のとき &math(P_V\bm x=\bm 0);
- &math(E=P_V+P_{V^\perp});
- 一般に &math(P_V\bm x\in V); だから、&math(P_V^2\bm x=P_V\bm x); すなわち &math(P_V^2=P_V); あるいは &math(P_V(E-P_V)=P_V(E-P_V)=O);
- これは、&math(P_{V^\perp}=E-P_V); であり、&math((E-P_V)\bm x\in V^{\perp}); であることからも理解できる
あるベクトル $\bm x$ を $\bm e$ 
に平行な成分 $\bm x_\parallel$ と垂直な成分 $\bm x_\perp$ 
に分ける問題は、それぞれ線形空間 $V=\{\,\bm p=t\bm e\,|\,t\in K\,\}$ 
とその直交補空間 $V^\perp$ の成分への分解を表わしていたことになる。

** 例１ [#mfbb4345]
一方、全体空間 $U$ を $U=V\dot + W$ と表せるとき、
$W$ を $V$ の（単なる）「補空間」と呼ぶ。
ある空間の直交補空間が一意に決まるのに対して、
補空間にはさまざまな取り方がある。

&math(\mathbb R^3); の部分空間として
&math(\bm a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\bm b=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}); で張られる空間 &math(V=[\bm a,\bm b]\in \mathbb R^3);を考える。

&math(\mathbb R^3); から &math(V); への射影演算子を求めよ。
** 直交射影演算子の性質 [#ae98dccc]

解答：
$P_V$ が $V$ への直交射影演算子であるというのは、~
任意の $\bm x$ に対して $P_V\bm x=\bm x_\parallel\in V$ かつ $\bm x-P_V\bm x=\bm x_\perp\in V^\perp$ であるというのと同値である

&math(\bm b,\bm a); からシュミットの直交化を用いて正規直交系を作る。
このとき、

&math(\bm e_1=\frac{1}{\|\bm b\|}\bm b=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix});
- $\bm x\in V$ のとき $P_V\bm x=\bm x$
- $\bm x\in V^\perp$ のとき $P_V\bm x=\bm 0$
- $E=P_V+P_{V^\perp}$ ← ∵$\bm x=P_V\bm x+P_{V^\perp}\bm x=\bm x_\parallel+\bm x_\perp$
- $P_V^2=P_V$ あるいは $P_V(E-P_V)=O$~
∵ $P_V\bm x\in V$ だから、$P_V^2\bm x=P_V\bm x$
- これは、$P_{V^\perp}=E-P_V$ であり、$P_VP_{V^\perp}=O$ であることからも理解できる
- またここから、$P_V$ の固有値は $\lambda^2=\lambda$ を満たす、すなわち $\lambda=0,1$ であることが分かる。
-- 任意の $\bm x\in V$ が固有値 $1$ に対する固有ベクトル
-- 任意の $\bm x\in V^\perp$ が固有値 $0$ に対する固有ベクトル

&math(
\bm f_2
&=\bm a-(\bm e_1,\bm a)\bm e_1\\
&=\bm a-\bm e_1\bm e_1^\dagger\bm a\\
&=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}
また、計量線形空間に定義されたある線形変換 $P$ が直交射影演算子となる為の必要十分条件は
$PP = P$ かつ $P^\dagger=P$ である → [[その証明>線形代数II/射影・直和・直交直和/メモ]]

);
** 例 [#mfbb4345]

&math(
\bm e_2=\frac{1}{\|\bm f_2\|}\bm f_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
);
$\mathbb R^3$ の部分空間として
$\bm a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\bm b=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ で張られる空間 $V=\big[\bm a,\bm b\big]\subset \mathbb R^3$を考える。

(1) $\mathbb R^3$ から $V$ への直交射影演算子を求めよ。

(2) 直交補空間 $V^\perp$ に正規直交基底を定めよ。

*** 解答 (1) [#b1fdc171]

$\bm a,\bm b$ から正規直交基底を作る。

$\bm b$ と垂直なのは $\begin{pmatrix}s\\t\\s\end{pmatrix}$ 
の形のベクトルであることに注意して、
$\bm c=\bm a-\bm b=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$ とすれば 
これは $V$ 内にあり $\bm b$ と垂直なベクトルである。

これらを正規化すれば、

$$\begin{aligned}\bm e_1=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}, 
\bm e_2=\frac{1}{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\end{aligned}$$

として正規直交基底が得られる。

したがって、求める射影演算子は

&math(
$$\begin{aligned}
P_V&=\bm e_1\bm e_1^\dagger+\bm e_2\bm e_2^\dagger\\
&=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}
+ \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}
+ \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix}
);
&= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}
{}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}
{}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{6}\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

各射影演算子がエルミート（実数行列では対称）になっていることにも注目。
各射影演算子がエルミート（実数行列では対称）になっていることにも注目せよ。

** 例２ [#tac0cf13]
~

３次元空間に原点を通る平面 &math(x+y+z=0); を考える。
この平面への射影演算子を求めよ。
*** 解答 (1) 別解 [#r5bbcc18]

* 一般化 [#jaf6d678]
$\bm b,\bm a$ からシュミットの直交化を用いて正規直交系を作る。

上記は２つの部分空間について交空間、和空間、直和、直交直和を考えたが、
２つ以上の部分空間がある場合にも自然に拡張できる。
$\bm e_1=\frac{1}{\|\bm a\|}\bm a=\frac{1}{\sqrt 14}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$

|交空間  |&math(W_1\cap W_2\cap \dots\cap W_r);      |全空間の共通部分|
|和空間  |&math(W_1+W_2+\dots+W_r);                  |一般には一次従属な空間たちを内包する空間|
|直和    |&math(W_1\dot +W_2\dot +\dots\dot +W_r);   |一次独立な空間たちを内包する空間|
|直交直和|&math(W_1\oplus W_2\oplus \dots\oplus W_r);|直交する空間たちを内包する空間  |
$$\begin{aligned}
\bm f_2
&=\bm b-(\bm e_1,\bm b)\bm e_1\\
&=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}
{}-\frac{1}{14}\cdot 2\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}-8\\-2\\4\end{pmatrix}
=\frac{2}{7}\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

たとえば &math(W_1\cap W_2\cap \dots\cap W_r=(\dots((W_1\cap W_2)\cap W_3)\cap \dots)\cap W_r); の意味である。
$$\begin{aligned}
\bm e_2=\frac{1}{\|\bm f_2\|}\bm f_2=\frac{1}{\sqrt{21}}\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

交空間や和空間を表わす &math(\cap,+); が
複数の部分空間から新しい部分空間を作る演算子であるのに比べて、
直和や直交直和を表わす &math(\dot +,\oplus); は 「線形空間同士の演算」 ではなく、
和空間の演算子で結ばれる２つの空間が特殊な条件を満たすことを
表現しているに過ぎない。この違いに注意せよ。
$$\begin{aligned}
P_V&=
\frac{1}{14}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+
\frac{1}{21}\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4&-1&2\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}1&2&3\\&4&6\\&&9\end{pmatrix}+
\frac{1}{21}\begin{pmatrix}16&4&-8\\&1&-2\\&&4\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{42}\begin{pmatrix}3+32&6+8&9-16\\&12+2&18-4\\&&27+8\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{42}\begin{pmatrix}35&14&-7\\&14&14\\&&35\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix}\\
\end{aligned}$$

* 射影に関する簡易まとめ [#ydc7bdc9]
射影演算子はエルミートになるため、左下部分の計算は省略した。

全体空間 &math(U); から~
部分空間 &math(V); への射影演算子 &math(P_V); は、
$P_V$ の形は正規直交基底の取り方によらないことに注目せよ。

&math(\bm x\in U); に対して、
- &math(P_V \bm x\in V); かつ
- &math(\forall \bm y\in V); に対して &math((\bm x-P_V\bm x,\bm y)=0);
*** 解答 (2) [#n59bccf5]
 
$\mathbb R^3$ が３次元、$V$ が２次元なので、$V^\perp$ は１次元となる。

を満たす線形演算子。
$\bm e_1,\bm e_2$ に垂直なベクトルを１つ挙げれば例えば、$\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ 

これは、&math(U=V\oplus V^\perp); として &math(V); の直交補空間 &math(V^\perp); を導入して
したがって、

&math(\bm x-P_V\bm x\in V^\perp);
$$\begin{aligned}V^\perp=\Big[\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\Big]\end{aligned}$$

とも書ける。
である。正規直交基底はこれを正規化して、

数ベクトル空間における &math(P_V); の具体的な形は、&math(V); の正規直交基底の１つを &math(\set{\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_n}); として、
$$\begin{aligned}\Big\{\frac{1}{\sqrt 6}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\Big\}\end{aligned}$$

&math(
P_V&=\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger\\
   &=\sum_{k=1}^n \bm e'_k{\bm e'_k}^\dagger
);
このとき、

と表せる。ただし &math(\set{\bm e'_k}); は別の正規直交基底で、演算子の形は基底の取り方に依らず同じになる。
$$\begin{aligned}
P_{V^\perp}&=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2&1\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&1\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

&math(U=W_1\oplus W_2\oplus\dots\oplus W_r); のように多数の空間に別れているときは、例えば
であり、$P_V+P_{V^\perp}=E$ となることが確かめられる。

&math(U=W_1\oplus \underbrace{W_2\oplus\dots\oplus W_r}_{W_1^\perp}=W_1\oplus W_1^\perp);
* 演習 [#tac0cf13]

である。
３次元空間に原点を通る平面 $x+y+z=0$ を考える。
この平面への直交射影演算子を求めよ。
またその直交補空間を求めよ。

任意のベクトルの &math(W_1); 成分は他の &math(W_k'); の取り方に寄らず決定されるため、
射影演算子は上記のように &math(W_1); に取った正規直交基底のみによって定義される。
** 解答例 [#kee7e633]

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*** まず平面内に基底を取る [#l8835428]

この「原点を通る平面」は２次元部分空間となるから、
平面内に２つの一次独立なベクトルを取れば、
それが平面に対応する線形空間の基底となる。

$x+y+z=0$ を満たせば良いから、例えば、 $\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$
など、条件を満たすベクトルを「&ruby(めのこ){目の子};」で探しても良いが、
どんな場合にも通用する一般的なやり方を使うなら、

$x+y+z=0$ を 
$\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\bm 0$ 
の形に書いて、掃出し法により係数行列を階段化する。

今の場合は元の
$\begin{pmatrix}
1&1&1
\end{pmatrix}$ がすでに階段行列であり、１列目は掃出しの完了した形になっているから、
掃出しの行えなかった列に対応する $y,z$ をパラメータと見て、

$$\begin{aligned}\begin{cases}
x=-y-z\\
y=y\\
z=z
\end{cases}\end{aligned}$$

すなわち、

$$\begin{aligned}\bm x=y\begin{pmatrix}
{}-1\\1\\0
\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}
{}-1\\0\\1
\end{pmatrix}\end{aligned}$$

とすれば、２つのベクトル $\bm b_1=\begin{pmatrix}
{}-1\\1\\0
\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}
{}-1\\0\\1
\end{pmatrix}$ がこの空間の基底となることが明らかである。

「拡大係数行列にガウスの掃出し法を適用して、
掃出しの行えなかった列に対応する変数をパラメータに置く」
という手順は常に使える汎用的なものであるから、
必ず身につけておくように。
（そうでないと一般解に含まれるパラメータを１つ忘れるといったミスが起きやすい）

*** 基底を正規直交化する [#me88ef96]

これらを直交化するのも暗算で行っても良いが、
シュミットの直交化を使えばどんな場合にも必ず実行できて、

$$\begin{aligned}\bm f_1=b_1=\begin{pmatrix}
{}-1\\1\\0
\end{pmatrix}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\bm e_1=\frac{\bm f_1}{\|\bm f_1\|}=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}
{}-1\\1\\0
\end{pmatrix}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
\bm f_2&=\bm b_2-\big(\bm e_1,\bm b_2\big)\bm e_1\\
&=\begin{pmatrix}
{}-1\\0\\1
\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\underbrace{\overline{\begin{pmatrix}
{}-1&1&0
\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}
{}-1\\0\\1
\end{pmatrix}}_{=\,1}\cdot\begin{pmatrix}
{}-1\\1\\0
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
{}-1\\-1\\2
\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
\bm e_2=\frac{\bm f_2}{\|\bm f_2\|}=\frac{1}{\sqrt 6}\begin{pmatrix}
{}-1\\-1\\2
\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

途中で、転置されたベクトルの上に線が引いてあるのは
複素共役を取る演算であるが、ここでは実ベクトルなので値は変わらない。

したがって、$V$ の正規直交基底は、

$$\begin{aligned}\{\,\bm e_1,\bm e_2\,\}=\Bigg\{
\ \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}
{}-1\\1\\0
\end{pmatrix},\ \frac{1}{\sqrt 6}\begin{pmatrix}
{}-1\\-1\\2
\end{pmatrix}\ \Bigg\}
\end{aligned}$$

*** 正規直交基底から射影演算子を作る [#hc1e08df]

$$\begin{aligned}
P_V&=\bm e_1\bm e_1^\dagger+\bm e_2\bm e_2^\dagger=
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
{}-1\\1\\0
\end{pmatrix}\overline{\begin{pmatrix}
{}-1&1&0
\end{pmatrix}}+
\frac{1}{6}\begin{pmatrix}
{}-1\\-1\\2
\end{pmatrix}\overline{\begin{pmatrix}
{}-1&-1&2
\end{pmatrix}}\\
&=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
{}-1&1&0\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}+
\frac{1}{6}\begin{pmatrix}
1&1&-2\\
1&1&-2\\
{}-2&-2&4\\
\end{pmatrix}=
\frac{1}{6}\begin{pmatrix}
4&-2&-2\\
{}-2&4&-2\\
{}-2&-2&4\\
\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{3}\begin{pmatrix}
2&-1&-1\\
{}-1&2&-1\\
{}-1&-1&2\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

この $P_V$ に任意の $\bm x$ をかければ、

$$\begin{aligned}
P_V\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=
\frac{x}{3}\begin{pmatrix}
2\\-1\\-1
\end{pmatrix}+
\frac{y}{3}\begin{pmatrix}
{}-1\\2\\-1
\end{pmatrix}+
\frac{z}{3}\begin{pmatrix}
{}-1\\-1\\2
\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

となるが、右辺に現れる３つのベクトルはすべて $x+y+z=0$ を満たしており、
確かに $P_V\bm x\in V$ となることが確認できる。

*** 直交補空間を見つける [#r2a7e72f]

直交補空間 $V^\perp$ は、$V$ の任意の元と直交するベクトルを集めた集合である。

$$\begin{aligned}
V^\perp=\{\,\bm x\,|\,\forall\bm y\in V,(\bm x,\bm y)=0\,\}
\end{aligned}$$

$\bm y\in V$ は $\bm y=y_1\bm e_1+y_2\bm e_2$ と表せるから、

$(\bm x,\bm y)=0$ は $y_1(\bm x,\bm e_1)+y_2(\bm x,\bm e_2)=0$ を表し、
任意の $\bm y$ すなわち任意の $y_1,y_2$ についてこれが成り立つには、

$$\begin{aligned}(\bm x,\bm e_1)=(\bm x,\bm e_2)=0\end{aligned}$$

が必要十分条件となる。すなわち、

$$\begin{aligned}
V^\perp=\{\,\bm x\,|\,\bm x\perp\bm e_1\ \mathrm{and}\ \bm x\perp\bm e_2\,\}
\end{aligned}$$

$V$ のすべての基底と直交するベクトルを集めた集合が $V^\perp$ である。

$$\begin{aligned}\begin{cases}
{}-x+y=0\\
{}-x-y+2z=0
\end{cases}\end{aligned}$$

の係数行列を同値変形して、

$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}
{}-1&1&0\\
{}-1&-1&2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&-2&2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&1&-1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
0&1&-1
\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

すなわち、$\begin{cases}
x-z=0\\
y-z=0
\end{cases}$

掃出せなかった列に対応する $z$ をパラメータとすれば、

$$\begin{aligned}\bm x=z\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}
\end{aligned}$$

すなわち $V^\perp$ の正規直交基底は 
$\Bigg\{\ \frac{1}{\sqrt 3}\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}\ \Bigg\}$

そもそも $V$ の定義に現れた条件式
$x+y+z=0$ は、
$\Big(\ \bm x,\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\ \Big)=0$ と同値であるから、

$V^\perp$ が
$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ に平行な１次元空間となることは当然のこととも言える。

* 一般化 [#jaf6d678]

以上の話は３つ以上の部分空間がある場合にも拡張できて、以下の通りである。

|交空間  |$V_1\cap V_2\cap \dots\cap V_r$      |全空間の共通部分|
|和空間  |$V_1+V_2+\dots+V_r$                  |一般には一次従属な空間たちを内包する空間|
|直和    |$V_1\dot +V_2\dot +\dots\dot +V_r$   |一次独立な空間たちの和空間|
|直交直和|$V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_r$|直交する空間たちの和空間  |

たとえば $V_1\cap V_2\cap V_3\cap V_4=(((V_1\cap V_2)\cap V_3)\cap V_4$ などの意味であるが、これらの演算子には結合法則や交換法則が成り立ち、$(V_1\oplus V_2)\oplus V_3=V_1\oplus (V_2\oplus V_3)$, $V_1\oplus V_2=V_2\oplus V_1$ などとなる。

$\cap$ や $+$ が複数の部分空間から新しい部分空間を作る演算子であるのに比べて、
$\dot +$ や $\oplus$ は 「線形空間同士の演算」 ではなく、
和空間を形成する空間が特殊な条件を満たすことを表現しているに過ぎない。

この違いに注意せよ。



* 質問・コメント [#m8a71c0e]

#article_kcaptcha
**誤植 [#o8dbe6da]
>[[通りすがり]] (&timetag(2020-10-12T01:08:35+09:00, 2020-10-12 (月) 10:08:35);)~
~
成分分解の一意性~
δ∈V∩W~

//
- ご指摘ありがとうございます、おっしゃる通りでした。早速修正いたしました。 -- [[武内 (管理人)]] &new{2020-10-12 (月) 16:23:45};

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