解析力学/ラグランジアンのバックアップソース(No.1)

更新
&katex();
* ラグランジアン [#oa193382]

力学系の運動エネルギーを $T$、ポテンシャルエネルギーを $U$ とするとき、
ラグランジアン $L$ を、

$$
L=T-U
$$

として定義する。

* 力学系の座標と速度 [#a3b96963]

その力学系を記述するための座標が $q_1,q_2,\dots,q_n$ で表されるとしよう。

>３次元中での質点１個の運動なら $n=3$ で、$q_1=x,q_2=y,q_3=z$ と考えればいい。

>３次元中での質点２個の運動なら $n=6$ で、$q_1=x_1,q_2=y_1,q_3=z_1,q_4=x_2,q_5=y_2,q_6=z_2$ と考えればいい。

>質点１が原点から距離 $r$ の球面上を動くなら、球座標を使って $n=2$ として $q_1=\theta,q_2=\phi$ と取れば良い。

また、それらの座標の時間微分を $\dot q_k=\frac{dq_k}{dt}$、 $\ddot q_k=\frac{d^2q_k}{dt^2}$ などと表すことにする。

一般に、ラグランジアンは $q_1,q_2,\dots,q_n$ および $\dot q_1,\dot q_2,\dots,\dot q_n$ の関数として表せる。（$\ddot q_k$ などは含まない）

* 最小作用の原理 [#maf140c9]

時刻 $t_1$ の座標値 $q_k(t_1)$  と、時刻 $t_2$ の座標値 $q_k(t_2)$ が与えられたとすると、
その間での系の運動 $q_k(t)$ はラグランジアンの積分値として与えられる「作用」と呼ばれる値

$$
S=\int_{t_1}^{t_2}L\,dt
$$

を最小にするようなものとなる。

何を言っているかというと、各座標の最初と最後の値が決まってもその間で座標が時間と共にどのように変化するかはいろんな取り方がある。しかし、そのうち実際に実現する運動は $S$ が最小となるようなものになる、と言っている。

え、そんな話は聞いたことがないんだけど、と思うだろうけど実際そうなので仕方がない。
上記の話とニュートン方程式が成り立つ話とが矛盾しないことを以下で見る。

* ラグランジュの運動方程式 [#x337268d]

「作用を最小化する」という条件を微分方程式の形で書いたのがラグランジュの運動方程式だ。

ある座標の軌跡 $q_k(t)$ を少しだけ変化させて $q_k(t)+\Delta q_k(t)$ としたとする。$q_k(t)$ が最小作用を与えるという意味は、どのように $\Delta q_k(t)$ を選んだとしても $S$ は元の値より増加する、ということと同値である。ただし始点と終点は決まっているので $\Delta q_k(t_1)=\Delta q_k(t_2)=0$ とする。

** 汎関数微分 [#u34af725]

$S$ は関数 $q_k(t)$ を与えると値が決まるという意味で「汎関数」と呼ばれ、これを強調する際には

$$S=S\big[q_k(t)\big]$$

などと書かれる。$S$ の $q_k$ による「汎関数微分 $\frac{\delta S}{\delta q_k}$」は、

$$
\begin{aligned}
\Delta S&=S\big[q_k(t)+\Delta q_k(t)\big]-S\big[q_k(t)\big]\\
&\sim\int_{t_1}^{t_2}\frac{\delta S}{\delta q_k}\Delta q_k(t)\,dt
\end{aligned}
$$

として定義される。

普通の関数 $f(x)$ の微分が

$$
\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)\sim\frac{df}{dx}\Delta x
$$

であるのと比べると、汎関数微分の定義になぜ積分が現れるのか疑問に思うかもしれない。この疑問は、多変数関数 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ の全微分が、

$$
\begin{aligned}
\Delta f&=f(x_1+\Delta x_1,\ x_2+\Delta x_2,\ \dots\ ,x_n+\Delta x_n)-f(x_1,x_2,\dots,x_n)\\
&\sim\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_k}\Delta x_k
\end{aligned}
$$

であることと比べると解決する。汎関数 $S$ は $t_1$ から $t_2$ までのすべての時刻に対する $q_k(t)$ の値を引数とする超多変数関数であると見做せるのだ。それら個々の値の変化に、その値に対する微分値 $\frac{\delta S}{\delta q_k}$ を掛けて足したものが全体としての変化となるのだ。

ということで、当然だが汎関数微分 $\frac{\delta S}{\delta q_k}$ は時刻の関数となる。

** 汎関数微分がゼロとなる [#ifcb74cb]

$f(x)$ の極大点・極小点において $\frac{df}{dx}=0$ が成り立つのと同様に、最小作用を与える $q_k(t)$ に対して、

$$\frac{\delta S}{\delta q_k}=0$$

が成り立つ必要がある。

実際に汎関数微分を計算してみると、

$$\begin{aligned}
\Delta S
&=\int_{t_1}^{t_2}\bigg[\frac{\partial L(\dots,q_k(t),\dot q_k(t),\dots)}{\partial q_k(t)}\Delta q_k(t)+\frac{\partial L(\dots,q_k(t),\dot q_k(t),\dots)}{\partial \dot q_k(t)}\Delta \dot q_k(t)\bigg]\,dt\\
&=\bigg[\frac{\partial L(\dots,q_k(t),\dot q_k(t),\dots)}{\partial \dot q_k(t)}\Delta  q_k(t)\bigg]_{t_1}^{t_2}+\\
&\phantom{=}\int_{t_1}^{t_2}\bigg[\frac{\partial L(\dots,q_k(t),\dot q_k(t),\dots)}{\partial q_k(t)}\Delta q_k(t)-\frac{d}{dt}\bigg\{\frac{\partial L(\dots,q_k(t),\dot q_k(t),\dots)}{\partial \dot q_k(t)}\bigg\}\Delta q_k(t)\bigg]\,dt\\
&=\int_{t_1}^{t_2}\underbrace{\bigg[\frac{\partial L(\dots,q_k(t),\dot q_k(t),\dots)}{\partial q_k(t)}-\frac{d}{dt}\bigg\{\frac{\partial L(\dots,q_k(t),\dot q_k(t),\dots)}{\partial \dot q_k(t)}\bigg\}\bigg]}_{=\,\frac{\delta S}{\delta q_k}}\Delta q_k(t)\,dt\\
\end{aligned}$$

任意の $\Delta q_k(t)$ に対してこれがゼロとなるには、任意の時刻に対して

$$
-\frac{\delta S}{\delta q_k}=\frac{d}{dt}\bigg\{\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\bigg\}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=0
$$

が成り立つ必要がある。

この方程式はラグランジュの運動方程式と呼ばれ、任意の $k$ に対してこの式が成り立つことが「停留作用」の法則の微分系を与える。（この式は最小となることを保証しない）

** ニュートン方程式との親和性 [#a6468f36]

ポテンシャルエネルギー $U(x,y,z)$ 中で運動する質量 $m$ を持つ質点の運動は、ニュートン方程式

$$
\begin{cases}
m\ddot x=-\frac{\partial}{\partial x} U\\
m\ddot y=-\frac{\partial}{\partial y} U\\
m\ddot z=-\frac{\partial}{\partial z} U\\
\end{cases}
$$

で記述される。

一方、この系の運動エネルギーは $T=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)$ であるから、

$$
L=T-U=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)-U(x,y,z)
$$

である。

ラグランジュの運動方程式は、

$$
\begin{cases}
\displaystyle\frac{d}{dt}\bigg\{\frac{\partial L}{\partial \dot x}\bigg\}=\frac{\partial L}{\partial x}
\ \ \to\ \ \frac{d}{dt}m\dot x=\frac{\partial}{\partial x}U\\
\displaystyle\frac{d}{dt}\bigg\{\frac{\partial L}{\partial \dot y}\bigg\}=\frac{\partial L}{\partial y}
\ \ \to\ \ \frac{d}{dt}m\dot y=\frac{\partial}{\partial y}U\\
\displaystyle\frac{d}{dt}\bigg\{\frac{\partial L}{\partial \dot z}\bigg\}=\frac{\partial L}{\partial z}
\ \ \to\ \ \frac{d}{dt}m\dot z=\frac{\partial}{\partial z}U
\end{cases}
$$

となって、確かにニュートン方程式と一致する。

* 例題 [#qd0685db]

$x$ 軸上に限り摩擦無く自由に動ける点電荷 $q$ (質量 $m$) が $t=0$ において $(-1,0)$ において静止している。$t>0$ においてこの点電荷が
$(0,1)$ に固定された点電荷 $-q$ からのクーロン力と、運動を $x$ 軸上に限るための拘束力のみを受けて運動するとして、点電荷の $x$ 座標の時間変化を表す運動方程式を求めよ。ただし系の誘電率を $\epsilon_0$ とする。

普通にやるなら、

電荷間の引力 $-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{x^2+1}$

$x$ 軸に沿った成分は $-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{x^2+1}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

したがって、

$$
m\ddot x=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{x^2+1}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
$$

運動エネルギー $T=\frac{1}{2}m\dot x^2$

ポテンシャルエネルギー $U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{\sqrt{x^2+1}}$

ラグランジアン $L=T-U$

$$
L=\frac{1}{2}m\dot x^2-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{\sqrt{x^2+1}}
$$

運動方程式

$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0
$$

$$
m\ddot x=-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}
$$

として求められる。

* 質問・コメント [#r1984971]

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