ハートレー方程式の導出 のバックアップソース(No.2)

更新 
* ハートレー方程式の導出 [#u66c423f]

ハートレー法の基本方程式となるハートレー方程式を導出する。

変分法を使うので、まだ学んでいなければ次のことだけ理解しておくこと。

- 変分原理
-- 近似パラメータを含む波動方程式を作ったとする
-- 近似パラメータを調節して真の波動方程式に最も近づけたい
-- それには波動方程式に対するエネルギー期待値を最小化するようにパラメータを調節すれば良い

** 目次 [#r83ab22e]

#contents()

** 時間に依らないシュレーディンガー方程式 [#f100d27c]

&math(n); 個の同種粒子からなる系を考える。

　&math(
\hat H\mathit\Phi =\varepsilon \mathit\Phi
);

ハミルトニアン &math(\hat H); は運動エネルギー &math(T);、１体ポテンシャル &math(V_\mathrm{１体});、
２体ポテンシャル &math(V_\mathrm{２体}); の和として表わせる。

　&math(
H&=T+V_\mathrm{１体}+V_\mathrm{２体}\\
&=\sum_i T_i + \sum_i V_1(\bm r_i,s_i) + \sum_i \sum_{j>i} V_2(\bm r_i,s_i,\bm r_j,s_j)\\
&=\sum_i T_i + \sum_i V_1(x_i) + \sum_i \sum_{j>i} V_2(x_i,x_j)\\
&=\sum_i T_i + \sum_i V_i + \sum_i \sum_{j>i} V_{ij}\\
&=\sum_i T_i + \sum_i V_i + \frac{1}{2}\sum_i \sum_{j\ne i} V_{ij}\\
);((&math(j>i); となっているのは、同じ２つの電子に対してポテンシャルを重複して計算することのないようにするため))

ここで、&math(\bm r_i); 等は空間座標、&math(s_i); などはスピン座標、&math(x_i); 
などは空間座標とスピン座標を合わせた座標の意味で使っている。

** 多粒子波動関数モデル [#qbd8cb97]

正規化された &math(n); 個の１粒子関数 &math(\{\phi_i\}); を想定する。
繰り返しになるが &math(x); は空間座標 &math(\bm r); とスピン座標 &math(s); とを合わせた座標である。

　&math(
\int d\bm r\,\sum_s\,\phi_i(\bm r,s)\phi_i(\bm r,s)=
\int dx\,\phi_i(x)\phi_i(x)=1
);

多粒子波動関数を &math(\{\phi_i\}); から作られる単一のハートレー積で表すものとする。

　&math(
\mathit\Phi=\phi_1(x_1) \phi_2(x_2) \cdots\phi_n(x_n)
);

以下で見るとおり、この形に置くこと自体が平均場近似で電子相関および交換相互作用を
無視することに繋がる。


** エネルギーの期待値 [#y7e853b8]

変分法で１粒子波動関数を最適化するため、まずはエネルギーの表式を求めておく。
（変分原理によればエネルギーを最小化する関数が最良の関数である）

　&math(
E=\langle H\rangle=\int d^nx\ \mathit\Phi^* H \mathit\Phi
);

以下、各項毎に見ていく。

*** 運動エネルギー [#p4f2985d]

　&math(
\langle T_i\rangle
&=\int d^nx\ \mathit\Phi^* T_i \mathit\Phi\\
);

　&math(
\phantom{\langle T_i\rangle}
&=-\frac{\hbar^2}{2m}
\int d^nx\, \phi_1^*(x_1) \phi_2^*(x_2) \cdots\phi_n^*(x_n) \nabla_i^2 \phi_1(x_1) \phi_2(x_2) \cdots\phi_n(x_n)\\
);

　&math(
\phantom{\langle T_i\rangle}
&=-\frac{\hbar^2}{2m}\int dx_i\, \phi_i^*(x_i) \nabla_i^2 \phi_i(x_i)\\
);

&math(\nabla_i); が作用するのは &math(x_i); のみなので、&math(j\ne i); については積分が実行できて &math(1); が現れる。

*** １体エネルギー [#a9ebd219]

計算は上と同様に、

　&math(
\langle V_i\rangle
&=\int d^nx\ \mathit\Phi^* V_i \mathit\Phi\\
&=\int d^nx\, \phi_1^*(x_1) \phi_2^*(x_2) \cdots\phi_n^*(x_n)\,V_1(x_i)\,\phi_1(x_1) \phi_2(x_2) \cdots\phi_n(x_n)\\
&=\int dx_i\ \phi_i^*(x_i)\,V_1(x_i)\,\phi_i(x_i)\\
);

*** ２体エネルギー [#pac01992]

　&math(
\langle V_{ij}\rangle
&=\int d^nx\ \mathit\Phi^* V_{ij} \mathit\Phi\\
&=\int d^nx\, \phi_1^*(x_1) \phi_2^*(x_2) \cdots\phi_n^*(x_n)\,V_2(x_i,x_j)\,\phi_1(x_1) \phi_2(x_2) \cdots\phi_n(x_n)\\
&=\int dx\int dx'\, \phi_i^*(x) \phi_j^*(x') \,V_2(x,x')\,\phi_i(x) \phi_j(x') \\
);

*** エネルギーの最小化 [#wd60253d]

エネルギーの期待値は次のようになった。

　&math(
E=&-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_i \int dx\ \phi_i^*(x) \nabla^2 \phi_i(x)
+\sum_i \int dx\ \phi_i^*(x) V_1(x) \phi_i(x)\\
&+\frac{1}{2}\sum_i\sum_{j\ne i} \iint dxdx'\phi_i^*(x)\phi_j^*(x') V_2(x,x') \phi_i(x)\phi_j(x')
);

このエネルギーを最小化するような &math(\set{\phi_i}); を求めることにより、
１つのハートレー積で表現可能な波動関数の最良解を探そう。

ただし、&math({\phi_i}); が規格化されていることを前提としているので、

　&math(
\int dx_i \phi_i^*(x)\phi_i(x)=1
);

の条件下で &math(\phi_i); を変化させて &math(E); を最小化することになる。

そこで [[ラグランジュの未定係数法>量子力学Ⅰ/ラグランジュの未定係数法]] を使う。

正規性を表す条件式は &math(n); 個あるので、&math(n); 個の未定係数を &math(2\varepsilon_{i}); として、

　&math(
L=E-\sum_i 2\varepsilon_i \Big[\int dx\,\phi_i^*(x)\phi_i(x)-1\Big]
);

を定義し、この &math(L); を &math(\phi_i,\varepsilon_i); で微分しゼロと置く。

&math(\varepsilon_i); で微分した結果をゼロと置けば正規直交条件が出てくるので、これは &math(\{\phi_i\}); として正規化された関数を用いることのみで成立する。

一方、&math(\phi_i(x)); を変化させ、&math(\phi_i(x)+\delta\phi_i(x)); とした時の変化を
&math(E\to E+\delta E); として、&math(\delta E/\delta \phi_i=0); となる条件が、求める１体方程式となる。

ここで、ある演算子 &math(\hat H); がエルミートであるとき、

　&math(
\langle x|\hat H|y\rangle=\langle x|\hat Hy\rangle=\langle \hat Hy|x\rangle^*=\langle y|\hat H^\dagger|x\rangle^*=\langle y|\hat H|x\rangle^*
);

すなわち、

　&math(
\int dx f^*(x)\hat Hg(x)+\!\int dx g^*(x)\hat Hf(x)=\int dx f^*(x)\hat Hg(x)+\Big(\int dx f^*(x)\hat Hg(x)\Big)^*=2\,\mathrm{Real}\!\int dx f^*(x)\hat Hg(x)
);

のようにまとめられる。

そこで各演算子がエルミートであることを使うと、

　&math(
\delta L=
&-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_i \int dx\ \delta\phi_i^*(x) \nabla^2 \phi_i(x)
-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_i \int dx\ \phi_i^*(x) \nabla^2 \delta\phi_i(x)\\
&+\sum_i \int dx\ \delta\phi_i^*(x) V_1(x) \phi_i(x)
+\sum_i \int dx\ \phi_i^*(x) V_1(x) \delta\phi_i(x)\\
&+\sum_i\sum_{j\ne i} \int dx \delta\phi_i^*(x)\Big[\int dx'V_2(x,x') |\phi_j(x')|^2\Big]\phi_i(x')
+\sum_i\sum_{j\ne i} \int dx \phi_i^*(x)\Big[\int dx'V_2(x,x') |\phi_j(x')|^2\Big]\delta\phi_i(x')\\
&-\sum_i 2\varepsilon_i \int dx\,\delta\phi_i^*(x)\phi_i(x)
-\sum_i 2\varepsilon_i \int dx\,\phi_i^*(x)\delta\phi_i(x)
);

　&math(
\phantom{\delta L}
=&\,2\,\mathrm{Real}\,\Bigg\{\sum_i \int dx\ \delta\phi_i^*(x) \bigg[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +V_1(x)+\sum_{j\ne i}\int dx'V_2(x,x') |\phi_j(x')|^2-\varepsilon_i\bigg]\phi_i(x)\Bigg\}\\
=&\,0
);

これが任意の &math(\delta\phi_i(x)); に対して成立するためには、&math(\Big[\ \ \Big]\phi_i(x)); 
がゼロでなければならない。すなわち、

　&math(
\underbrace{\Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +V_1(x)+\sum_{j\ne i}\int dx'V_2(x,x') |\phi_j(x')|^2\Big]}_{\hat H_h}\phi_i(x)=\varepsilon_i\phi_i(x)
);

これが、&math(\phi_i(x)); を求めるための１粒子方程式となる。

多粒子波動関数を単一のハートレー積の形に限定することにより、
非常に自然な流れで「平均場近似」が得られることに注目せよ。

* 多粒子エネルギーと１粒子エネルギー [#b6f5df5a]
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