量子力学Ⅰ/不確定性原理 のバックアップソース(No.1)

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[[量子力学I/波動関数の解釈]]

* 不確定性原理 [#q23b2625]

量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。
不確定性原理は例えば、&math(x); と &math(p_x); が同時に正確に定まるような状態は存在しない、という形で言い表せる。以下、この項では &math(p_x=p); と書き、一次元で考える。

上記を数学的に表わせば、&math(\sigma_x\cdot\sigma_p); に最小値があり、ある一定値以下にはならない、ということになる。

得られる結果は次のようになる。

 &math(
\sigma_x\cdot\sigma_p = \ge \frac{\hbar}{2}
);

* 不確定性原理の導出 [#g5fe668e]

定義より、

&math(\sigma_x=\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle});

&math(\sigma_p=\sqrt{\big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle});

より、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
=\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle
);

演算子 &math(\alpha=x-\langle x\rangle);、
&math(\beta=p-\langle p\rangle=-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle); を導入すると、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx
);

ここで &math(\alpha^*=\alpha); より、

 &math(
\sigma_x^2=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx
);

&math(\beta); についても、

 &math(
\int \psi^*\beta^2\psi\,dx
&=\int \psi^*\left[-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle\right]^2\psi\,dx\\
&=\int 
-\hbar^2\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}
+2i\hbar\psi^*\langle p\rangle\frac{d\psi}{dx}
+\langle p\rangle|\psi|^2\,dx\\
);

であり、

 &math(
\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx
&=\int \left[+i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}-\langle p\rangle\psi^*\right]
       \left[-i\hbar\frac{d\psi  }{dx}-\langle p\rangle\psi  \right]\,dx\\
&=\int 
\hbar^2\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi  }{dx}
-i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}\langle p\rangle\psi
+i\hbar\langle p\rangle\psi^*\frac{d\psi  }{dx}
+\langle p\rangle^2|\psi|^2
\,dx\\
);

部分積分により、

 &math(
\int\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}\,dx
= -\int\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi}{dx}\,dx
  +\underbrace{\left[\psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}
);

 &math(
\int\psi^*\frac{d\psi}{dx}\,dx
= -\int\frac{d\psi^*}{dx}\psi\,dx
  +\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}
);

であるから、

 &math(
\int \psi^*\beta^2\psi\,dx=\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx
);

と書ける。すなわち、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx
);

一般の &math(f,g); について、

 &math(
\int\Bigg|f-g\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\Bigg|^2dx\ge 0
);

は積分の中が常に非負であるから必ず成立する。
等号はある定数 &math(\gamma); に対して  &math(x); の全範囲において &math(f=\gamma g); となる場合のみ成り立つ。

 &math(
\int|f|^2\,dx
-\int f^*g\,dx\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}
-\int fg^*\,dx\frac{\int f^*gdx}{\int|g|^2dx}
+\int|g|^2\,dx\left(\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\right)^2
\ge 0
);

両辺に &math(\int|g|^2dx\ge 0); を掛けて、

 &math(
\int|f|^2dx\int|g|^2dx
-\int f^*g\,dx\int fg^*dx
\underbrace{-\int fg^*dx\int f^*g\,dx
+\left(\int fg^*dx\right)^2}_{=0}
\ge 0
);

したがって、

 &math(\int|f|^2dx\int|g|^2dx\ge\left|\int f^*g\,dx\right|^2);

を得る。&math(f=\alpha\psi);、&math(g=\beta\psi); とすれば、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
&\ge\left|\int (\alpha\psi)^*\beta\psi\,dx\right|^2\\
&=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2
);

となる。ここで、&math(\alpha^*=\alpha); を用いた。
右辺は、

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