メモのバックアップソース(No.4)

更新
[[量子力学Ｉ/調和振動子]]

* 解答：１次元の調和振動子 [#l80144e9]

(1)

　&math(
\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{k}{2}x^2\right)\psi(x)=E\psi(x)
);

(2)

　&math(
x^2=\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2
); より、

　&math(\left(
-\frac{\hbar^{\not2}}{2\not\!\!m}\frac{\not\!\!m\omega}{\not\!\hbar}\frac{d^2}{d\xi^2}
+\frac{k}{2}\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2\right)\psi(\xi)=E\psi(\xi)
);

　&math(\frac{\hbar\omega}{2}\left(
-\frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{k}{m\omega^2}\xi^2
\right)\psi(\xi)=E\psi(\xi)
);

　&math(
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{\not\!k}{\not\!\!m\not\!\omega^2}\xi^2-\frac{2E}{\hbar\omega}\right)\psi(\xi)=0
);

　&math(
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\xi^2-\lambda\right)\psi(\xi)=0
);

(3)

　&math(
&-\frac{d^2}{d\xi^2}\big[X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\
&=-\frac{d}{d\xi}\big[X'(\xi)e^{-\xi^2/2}-\xi X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\
&=-X''(\xi)e^{-\xi^2/2}+2\xi X'(\xi)e^{-\xi^2/2}+X(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\
&=0\\
);

両辺を &math(e^{-\xi^2/2}\ne 0); で割れば、

　&math(
X''(\xi)=2\xi X'(\xi)+(1-\lambda) X(\xi)
);

(4)

　&math(
\sum_{l=0}^\infty l(l-1)c_l\xi^{l-2}=2\xi \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^{l-1}+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l
);

左辺は &math(l=0,1); でゼロになるから、&math(l-2\to l); すなわち &math(l\to l+2); と書き直して、

　&math(
\sum_{l=0}^\infty (l+2)(l+1)c_{l+2}\xi^l=2 \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^l+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l
);

より &math(l\ge 0); において、

　&math((l+2)(l+1)c_{l+2}=(2l+1-\lambda)c_l);~

　&math(c_{l+2}=\frac{2l+1-\lambda}{(l+2)(l+1)}c_l);~

(5)

　&math(\lambda_n=2n+1);

　&math(E_n=\hbar\omega\lambda_n/2=\hbar\omega(n+1/2));

(6)

&math(n=4); のとき、&math(c_6=0\cdot c_4); であるから &math(c_0); は任意に選べるが、
一方で &math(c_1=0); でなければならない。

　&math(\lambda_4=2\cdot 4+1=9);

　&math(c_2=\frac{2\cdot 0+1-9}{(0+2)(0+1)}c_0=-4c_0);

　&math(c_4=\frac{2\cdot 2+1-9}{(2+2)(2+1)}c_2=-\frac{1}{3}c_2=\frac{4}{3}c_0);

したがって、

　&math(X_4(\xi)=c_0\left(1-4\xi^2+\frac{4}{3}\xi^4\right));

** エルミート多項式が微分方程式を満たすことを確認 [#p2faeebd]

&math(
S(\xi,t)=e^{-t^2+2\xi t}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n
);

の中辺、右辺を &math(\xi); で偏微分すれば、

　&math(
\frac{\PD}{\PD\xi}(中辺)=2te^{-t^2+2\xi t}=2t\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n-1)!}2H_{n-1}(\xi)t^n
);

　&math(
\frac{\PD}{\PD\xi}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n'(\xi)t^n
);

したがって、&math(2nH_{n-1}(\xi)=H_n'(\xi));

同様に &math(t); で微分すれば、

　&math(
\frac{\PD}{\PD t}(中辺)=(-2t+2\xi)e^{-t^2+2\xi t}=
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left(-2nH_{n-1}(\xi)+2\xi H_n(\xi)\right)t^n
);

　&math(
\frac{\PD}{\PD t}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}nH_n(\xi)t^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_{n+1}(\xi)t^n
);

したがって、&math(-2nH_{n-1}(\xi)+2\xi H_n(\xi)=H_{n+1}(\xi));

番号を１つずらして、

　&math(-2(n-1)H_{n-2}(\xi)+2\xi H_{n-1}(\xi)=H_n(\xi));

また、

　&math(H_{n-1}(\xi)=\frac{H_n'(\xi)}{2n});、&math(H_{n-2}(\xi)=\frac{H_{n-1}'(\xi)}{2n}=\frac{H_n''}{2n\cdot 2(n-1)});

より、

　&math(-2(n-1)\frac{H_n''}{2n\cdot 2(n-1)}+2\xi \frac{H_n'(\xi)}{2n}=H_n(\xi));

　&math(H_n''-2\xi H_n'(\xi)+2nH_n(\xi)=0);

となって、求める微分方程式を満たすことを確認できた。

** エルミート多項式の漸化式 [#ae4fed6d]

証明したい漸化式は微分を済ませて &math(e^{-\xi^2/2}); で割れば、

　&math(H_{n+1}=\xi H_n-H_n'+\xi H_n=2\xi H_n-H_n'=2\xi H_n-2nH_{n-1});

および、

　&math(2nH_{n-1}=\xi H_n+H_n'-\xi H_n=H_n');

であるから、上記の関係式により常に成り立つ。

** エルミート多項式の直交性 [#y396f5ad]

** 固有関数の形 [#l95bbc76]

 LANG:mathematica
 (* harmonic1.png, harmonic2.png, harmonic2.png, harmonic-density.png *)
 harmonic[n_, x_] := Sqrt[1/Sqrt[Pi]/2^n/Factorial[n]] HermiteH[n, x] Exp[-x^2/2]
 Plot[Flatten[{x^2/2, Table[2 harmonic[n, x]^2 + (n + 1/2), {n, 0, 10}]}] // Evaluate, 
   {x, -6, 6}, PlotRange -> {0, 12}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}]
 Plot[Flatten[{x^2/2, Table[harmonic[n, x] + (n + 1/2), {n, 0, 10}]}] // Evaluate, 
   {x, -6, 6}, PlotRange -> {0, 12}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}]
 Plot[Flatten[{x^2/2, harmonic[10, x]^2 + (10 + 1/2), 1/Sqrt[2 10.5 - x^2]/Pi + 10.5}] // Evaluate, 
   {x, -6, 6}, PlotRange -> {10.5, 10.9}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}, 
   Filling -> {3 -> Axis}, FillingStyle -> {3 -> {Opacity[0.02]}}, PlotStyle -> {{Thick}, {Thick}, {}}]
 
 (* harmonic3.png *)
 Show[{
     Table[
        DensityPlot[harmonic[Floor[n], x]^2, {x, -8, 8}, {h, n, n + 1}, 
          PlotPoints -> {801, 2}, MaxRecursion -> 0], 
        {n, 0, 40}
      ], 
      Plot[x^2/2, {x, -8, 8}, PlotStyle -> {Red}]
   }, PlotRange -> {0, 30},  ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 16}]
 
 (* h10.png *)
 Plot[{HermiteH[10, x], 5000000 Exp[-x^2/2], HermiteH[10, x] 60 Exp[-x^2/2]}, {x, -7, 7}, 
   PlotRange -> {-5000000, 5000000}, 
   PlotLegends -> 
     LineLegend[{
         "\!\(\*SubscriptBox[\(H\), \(10\)]\)(x)", 
         "exp(-\!\(\*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]\)/2)", 
         "exp(-\!\(\*SuperscriptBox[\(x\), \\(2\)]\)/2)\!\(\*SubscriptBox[\(H\), \(10\)]\)(x)"},
       LabelStyle -> {FontSize -> 20}], 
   PlotStyle -> {Thick, Dashed, Black}, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, 
   ImageSize -> Large, Axes -> {True, False}]
Counter: 25107 (from 2010/06/03), today: 11, yesterday: 0