量子力学Ⅰ/調和振動子/メモ のバックアップソース(No.5)

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[[量子力学I/調和振動子]]

* 解答:1次元の調和振動子 [#l80144e9]

(1)

 &math(
\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{k}{2}x^2\right)\psi(x)=E\psi(x)
);

(2)

 &math(
x^2=\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2
); より、

 &math(\left(
-\frac{\hbar^{\not2}}{2\not\!\!m}\frac{\not\!\!m\omega}{\not\!\hbar}\frac{d^2}{d\xi^2}
+\frac{k}{2}\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2\right)\psi(\xi)=E\psi(\xi)
);

 &math(\frac{\hbar\omega}{2}\left(
-\frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{k}{m\omega^2}\xi^2
\right)\psi(\xi)=E\psi(\xi)
);

 &math(
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{\not\!k}{\not\!\!m\not\!\omega^2}\xi^2-\frac{2E}{\hbar\omega}\right)\psi(\xi)=0
);

 &math(
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\xi^2-\lambda\right)\psi(\xi)=0
);

(3)

 &math(
&-\frac{d^2}{d\xi^2}\big[X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\
&=-\frac{d}{d\xi}\big[X'(\xi)e^{-\xi^2/2}-\xi X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\
&=-X''(\xi)e^{-\xi^2/2}+2\xi X'(\xi)e^{-\xi^2/2}+X(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\
&=0\\
);

両辺を &math(e^{-\xi^2/2}\ne 0); で割れば、

 &math(
X''(\xi)=2\xi X'(\xi)+(1-\lambda) X(\xi)
);

(4)

 &math(
\sum_{l=0}^\infty l(l-1)c_l\xi^{l-2}=2\xi \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^{l-1}+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l
);

左辺は &math(l=0,1); でゼロになるから、&math(l-2\to l); すなわち &math(l\to l+2); と書き直して、

 &math(
\sum_{l=0}^\infty (l+2)(l+1)c_{l+2}\xi^l=2 \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^l+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l
);

より &math(l\ge 0); において、

 &math((l+2)(l+1)c_{l+2}=(2l+1-\lambda)c_l);~

 &math(c_{l+2}=\frac{2l+1-\lambda}{(l+2)(l+1)}c_l);~

(5)

 &math(\lambda_n=2n+1);

 &math(E_n=\hbar\omega\lambda_n/2=\hbar\omega(n+1/2));

(6)

&math(n=4); のとき、&math(c_6=0\cdot c_4); であるから &math(c_0); は任意に選べるが、
一方で &math(c_1=0); でなければならない。

 &math(\lambda_4=2\cdot 4+1=9);

 &math(c_2=\frac{2\cdot 0+1-9}{(0+2)(0+1)}c_0=-4c_0);

 &math(c_4=\frac{2\cdot 2+1-9}{(2+2)(2+1)}c_2=-\frac{1}{3}c_2=\frac{4}{3}c_0);

したがって、

 &math(X_4(\xi)=c_0\left(1-4\xi^2+\frac{4}{3}\xi^4\right));

** エルミート多項式が微分方程式を満たすことを確認 [#p2faeebd]

&math(
S(\xi,t)=e^{-t^2+2\xi t}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n
);

の中辺、右辺を &math(\xi); で偏微分すれば、

 &math(
\frac{\PD}{\PD\xi}(中辺)=2te^{-t^2+2\xi t}=2t\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n-1)!}2H_{n-1}(\xi)t^n
);

 &math(
\frac{\PD}{\PD\xi}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n'(\xi)t^n
);

したがって、&math(2nH_{n-1}(\xi)=H_n'(\xi));

同様に &math(t); で微分すれば、

 &math(
\frac{\PD}{\PD t}(中辺)=(-2t+2\xi)e^{-t^2+2\xi t}=
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left(-2nH_{n-1}(\xi)+2\xi H_n(\xi)\right)t^n
);

 &math(
\frac{\PD}{\PD t}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}nH_n(\xi)t^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_{n+1}(\xi)t^n
);

したがって、&math(-2nH_{n-1}(\xi)+2\xi H_n(\xi)=H_{n+1}(\xi));

番号を1つずらして、

 &math(-2(n-1)H_{n-2}(\xi)+2\xi H_{n-1}(\xi)=H_n(\xi));

また、

 &math(H_{n-1}(\xi)=\frac{H_n'(\xi)}{2n});、&math(H_{n-2}(\xi)=\frac{H_{n-1}'(\xi)}{2n}=\frac{H_n''}{2n\cdot 2(n-1)});

より、

 &math(-2(n-1)\frac{H_n''}{2n\cdot 2(n-1)}+2\xi \frac{H_n'(\xi)}{2n}=H_n(\xi));

 &math(H_n''-2\xi H_n'(\xi)+2nH_n(\xi)=0);

となって、求める微分方程式を満たすことを確認できた。

** エルミート多項式の漸化式 [#ae4fed6d]

証明したい漸化式は微分を済ませて &math(e^{-\xi^2/2}); で割れば、

 &math(H_{n+1}=\xi H_n-H_n'+\xi H_n=2\xi H_n-H_n'=2\xi H_n-2nH_{n-1});

および、

 &math(2nH_{n-1}=\xi H_n+H_n'-\xi H_n=H_n');

であるから、上記の関係式により常に成り立つ。

** エルミート多項式の直交性 [#y396f5ad]

** 固有関数の形 [#l95bbc76]

 LANG:mathematica
 (* harmonic1.png, harmonic2.png, harmonic2.png, harmonic-density.png *)
 harmonic[n_, x_] := Sqrt[1/Sqrt[Pi]/2^n/Factorial[n]] HermiteH[n, x] Exp[-x^2/2]
 Plot[Flatten[{x^2/2, Table[2 harmonic[n, x]^2 + (n + 1/2), {n, 0, 10}]}] // Evaluate, 
   {x, -6, 6}, PlotRange -> {0, 12}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}]
 Plot[Flatten[{x^2/2, Table[harmonic[n, x] + (n + 1/2), {n, 0, 10}]}] // Evaluate, 
   {x, -6, 6}, PlotRange -> {0, 12}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}]
 Plot[Flatten[{x^2/2, harmonic[10, x]^2 + (10 + 1/2), 1/Sqrt[2 10.5 - x^2]/Pi + 10.5}] // Evaluate, 
   {x, -6, 6}, PlotRange -> {10.5, 10.9}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}, 
   Filling -> {3 -> Axis}, FillingStyle -> {3 -> {Opacity[0.02]}}, PlotStyle -> {{Thick}, {Thick}, {}}]
 
 (* harmonic3.png *)
 Show[{
     Table[
        DensityPlot[harmonic[Floor[n], x]^2, {x, -8, 8}, {h, n, n + 1}, 
          PlotPoints -> {801, 2}, MaxRecursion -> 0], 
        {n, 0, 40}
      ], 
      Plot[x^2/2, {x, -8, 8}, PlotStyle -> {Red}]
   }, PlotRange -> {0, 30},  ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 16}]
 
 (* h10.png *)
 Plot[{HermiteH[10, x], 5000000 Exp[-x^2/2], HermiteH[10, x] 60 Exp[-x^2/2]}, {x, -7, 7}, 
   PlotRange -> {-5000000, 5000000}, 
   PlotLegends -> 
     LineLegend[{
         "\!\(\*SubscriptBox[\(H\), \(10\)]\)(x)", 
         "exp(-\!\(\*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]\)/2)", 
         "exp(-\!\(\*SuperscriptBox[\(x\), \\(2\)]\)/2)\!\(\*SubscriptBox[\(H\), \(10\)]\)(x)"},
       LabelStyle -> {FontSize -> 20}], 
   PlotStyle -> {Thick, Dashed, Black}, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, 
   ImageSize -> Large, Axes -> {True, False}]

* 3次元の調和振動子 [#d91ce630]

** 演習:解答 [#r89c3184]

(1) 

 &math(\hat H(x)&=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\frac{K}{2}r^2\\
&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD y^2}+\frac{\PD^2}{\PD z^2}\right)+\frac{K}{2}(x^2+y^2+z^2)\\
&=\hat H_x(x)+\hat H_y(y)+\hat H_z(z));

(2) 

 &math(EX(x)Y(y)Z(z)=[\hat H_x(x)+\hat H_y(y)+\hat H_z(z)]X(x)Y(y)Z(z));

 &math(EX(x)Y(y)Z(z)=\Big\{\hat H_x(x)X(x)\Big\}Y(y)Z(z)+X(x)\Big\{\hat H_y(y)Y(y)\Big\}Z(z)+X(x)Y(y)\Big\{\hat H_z(z)Z(z)\Big\});

 &math(E=\Big\{\hat H_x(x)X(x)\Big\}/X(x)+\Big\{\hat H_y(y)Y(y)\Big\}/Y(y)+\Big\{\hat H_z(z)Z(z)\Big\}/Z(z));

右辺の3項はそれぞれ &math(x); のみ、&math(y); のみ、&math(z); のみに依存する項であるから、
これらの和が常に定数になるためには、それぞれの項が定数でなければならない。そこで例えば

&math(\Big\{\hat H_x(x)X(x)\Big\}/X(x)=E_x);

と置けば、

&math(\Big\{\hat H_x(x)X(x)\Big\}=E_xX(x));

となって、これは &math(X(x)); が &math(\hat H_x(x)); の固有関数であり、
その固有値が &math(E_x); であることを表わす。

また、元の式に代入すれば、

 &math(E=\Big\{E_xX(x)\Big\}/X(x)+\Big\{E_yY(y)\Big\}/Y(y)+\Big\{E_zZ(z)\Big\}/Z(z));

より、

 &math(E=E_x+E_y+E_z);

を得る。

(3) &math(E_x=\hbar\omega(n_x+1/2)); などとなるから、

 &math(E=\hbar\omega(n_x+n_y+n_z+3/2));

ただし、&math(n_x,n_y,n_z); は非負整数である。したがって、

基底状態は、&math(n_x+n_y+n_z=0); で &math(E=3\hbar\omega/2);

 このとき、&math((n_x,n_y,n_z)=(0,0,0)); であるから縮退していない。

第1励起状態は、&math(n_x+n_y+n_z=1); で &math(E=5\hbar\omega/2);

 &math((n_x,n_y,n_z)=(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)); であるから3重に縮退している。

第2励起状態は、&math(n_x+n_y+n_z=2); で &math(E=7\hbar\omega/2);

 &math((n_x,n_y,n_z)=(2,0,0),\,(0,2,0),\,(0,0,2),\,(1,1,0),\,(0,1,1),\,(1,0,1)); 
であるから6重に縮退している。

第3励起状態は、&math(n_x+n_y+n_z=3); で &math(E=9\hbar\omega/2);

 &math((n_x,n_y,n_z)=&(3,0,0),\,(0,3,0),\,(0,0,3)\,(2,1,0)\,(1,2,0),\\
&\,(0,2,1),\,(0,1,2),\,(1,0,2),\,(1,0,2),\,(1,1,1)); 
であるから10重に縮退している。

(4) &math(n_x+n_y+n_z=n); は、平面 &math(x+y+z=n); 上の格子点の数であるから、

 &math(\sum_{m=0}^n (m+1)=\sum_{m=1}^{n+1} m=(n+1)(n+2)/2);

より、&math((n+1)(n+2)/2); 重に縮退している。

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