電磁気学/Gauss の定理 のバックアップソース(No.2)

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[[電磁気学]]

* Gauss の定理 [#i2e8a98e]

** 基本 [#d04c8f8e]

任意の滑らかなベクトル場 &math(\bm E(\bm x)); に対して、その閉曲面 &math(S); からの発散を考える。

&math(\int_S \bm E\cdot\bm n dS);

この値が次の2つの性質を持つことが基本となる。

+ 微小領域からの発散は体積に比例する
+ 全体の発散は微小領域の発散を積算することで求められる

** 微小量域の発散は体積に比例する [#j0fcf317]

&math((x,y,z)); に存在する &math(dx,dy,dz); を辺とする微小な直方体領域に、
&math(x); 軸方向の電場 &math(\bm E(x,y,z)=(E_x(x,y,z),0,0)); が存在する状況を考える。

&attachref(divergence.png,,50%);

それぞれの面から外へ出る発散量を考えると、&math(y); 方向、&math(z); 方向の
電場成分はゼロだから、

&math(
&\int \bm E\cdot\bm n dS\\
&=\bm e_x\cdot \bm E(x+dx,y,z) dy\,dz - \bm e_x\cdot \bm E(x,y,z) dy\,dz \\
&+\bm e_y\cdot \bm E(x,y+dy,z) dz\,dx - \bm e_y\cdot \bm E(x,y,z) dz\,dx \\
&+\bm e_z\cdot \bm E(x,y,z+dz) dx\,dy - \bm e_z\cdot \bm E(x,y,z) dx\,dy \\
&=\{E_x(x+dx,y,z)-E_x(x,y,z)\}dy\,dz\\
&=\frac{\PD E_x}{\PD x}dx\,dy\,dz\\
&\prop dx\,dy\,dz
);

すなわち、
- &math(E_x(x+dx)-E_x(x)); が &math(dx); に比例する
- 面積が &math(dy\,dz); に比例する

が合わさって、全体として「体積」に比例することになる。

任意軸方向の電場が存在する時は

&math(
\int \bm E\cdot\bm n dS
=\Big\{\frac{\PD E_x}{\PD x}+\frac{\PD E_y}{\PD y}+\frac{\PD E_z}{\PD z}\Big\}dx\,dy\,dz
);

となり、この「比例係数」を &math(\DIV\bm E); と書く。

&math(
\DIV\bm E=\frac{\PD E_x}{\PD x}+\frac{\PD E_y}{\PD y}+\frac{\PD E_z}{\PD z}=\bm\nabla\cdot\bm E
);

** 全体の発散は微小量域の発散を積算することで求められる [#j633a789]

&attachref(gauss.png,,50%);

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