スピントロニクス理論の基礎/5-3 のバックアップソース(No.3)

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* 5-3 ゼロモード [#zf121d9b]

(5.12) 式の固有値方程式から得た (5.13), (5.15) の固有関数を用いて
ゆらぎ &math(\tilde\eta); を展開し、その係数を &math(\eta_i); とする。

(5.18)

&math(
\tilde\eta(\bm r,t)=\frac{1}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\eta_k(t)\varphi_k(z)
);

これを (5.11) に代入すると、ラグランジアンを &math(\eta_i); を変数として表せる。

(5.11)

&math(
L_S=-\hbar S\int\frac{d^3r}{a^3}\left(\bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}-\dot{\bar{\tilde\eta}}\tilde\eta\right)-2KS^2\left\{\lambda^2\nabla\bar{\tilde\eta}\nabla\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\tilde\bar\eta\tilde\eta\right\}\\
);

を、

&math(
&\int \frac{d^3r}{a^3} \bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}\\
&=\frac{A}{a^3}\int dz
\left(\frac{1}{2}\bar\eta_0(t)\bar\varphi_0(z)+\sum_k\bar\eta_k(t)\bar\varphi_k(z)\right)
\left(\frac{1}{2}\dot\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\dot\eta_k(t)\varphi_k(z)\right)\\
&=\frac{A}{a^3}\left(2\lambda\bar\eta_0\dot\eta_0+\sum_{k',k}\bar\eta_{k'}\dot\eta_k\delta(k'-k)\right)
);

&math(
&\int \frac{d^3r}{a^3}\left\{\lambda^2\nabla\bar{\tilde\eta}\nabla\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\
&=\frac{A}{a^3}\int dz\left\{\lambda^2\nabla_z\bar{\tilde\eta}\nabla_z\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\
&=\frac{A}{a^3}\int dz\left\{-\lambda^2\bar{\tilde\eta}\nabla_z^2\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\
&=\frac{A}{a^3}\int dz \bar{\tilde\eta}\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\right\}\tilde\eta\\
&=\frac{A}{a^3}\int dz \left(\frac{1}{2}\bar\eta_0(t)\bar\varphi_0(z)+\sum_k\bar\eta_k(t)\bar\varphi_k(z)\right)
\left(\frac{0}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\omega_k\eta_k(t)\varphi_k(z)\right)\\
&=\frac{A}{a^3} \sum_{k',k}\omega_k\bar\eta_{{k'}}\eta_k{\delta(k'-k)}\\
);

などに注意して展開すると、

(5.19)

&math(
L_S=N_w\left[\frac{i\hbar S}{4}(\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0)+
\red{\frac{1}{2\lambda}}\sum_{\red{k'},k}\big\{i\hbar S(\bar\eta_{\red{k'}}\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_{\red{k'}}\eta_k)-2KS^2\omega_k\bar\eta_{\red{k'}}\eta_k\big\}\red{\delta(k'-k)}\right]
);

となる気がする?ただし、&math(N_w\equiv 2\lambda A/a^3); は (5.8) ですでに出てきたがここで初めて定義される定数で、磁壁を構成しているスピンの総数である(&math(A); は系の断面積)

&math(N_w); に含まれる &math(2\lambda); は &math(\varphi_0); が正規化されていなかったために現れた定数なので、正規化されてた &math(\varphi_k); からは出てこない。そのため全体を &math(N_w); で括ると上記の &math(\red{1/2\lambda}); が現れてしまう。

そもそも、(5.14) から (5.17) あたりでは &math(k); は連続だったのに、
(5.18) の展開で &math(k); を整数に限っているのがおかしい。
&math(\delta(k'-k)); は次元を持つので、これを無視してしまうと次元すら狂ってしまう。

(5.18)'

&math(
\tilde\eta(\bm r,t)=\frac{1}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\red{2\lambda\int dk}\eta_k(t)\varphi_k(z)
);

とすれば、

(5.19)'

&math(
L_S=N_w\left[\frac{i\hbar S}{4}(\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0)+
\red{2\lambda\int dk}\big\{i\hbar S(\bar\eta_k\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_k\eta_k)-2KS^2\omega_k|\eta_k|^2\big\}\right]
);

となって、これなら次元も問題ない。

ただ、これ以降の話が全部 &math(\sum_k); で書かれているので、
果たして上記の解釈が正しいのかどうか、あまり自信を持てない・・・

* θとの関係 [#b238fa32]

(5.4) に (5.18)' を代入すると、

(5.20)

&math(
&\xi=\exp\left\{-u+i\phi_0+2\cosh\left[\frac{1}{2}\eta_0\varphi_0+\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\
&\red{=}\exp\left\{-\frac{z-X}{\lambda}+i\phi_0+\eta_0+2\cosh\left[\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\
&\red{=}\exp\left\{-\frac{z-(X+\lambda\mathrm{Re}[\eta_0])}{\lambda}+i(\phi_0+\mathrm{Im}[\eta_0])+2\cosh\left[\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\
);

となって、普通に (5.20) が得られそうに思うのだが、
教科書では何故か等号が &math(\simeq); になっている。
どこかに近似が入っている???

(5.20) から、&math(\varphi_0); の励起モードは、
係数 &math(\eta_0); の実部が &math(X); を、虚部が &math(\phi_0); を、
それぞれシフトすることに対応している。

(5.21) 

&math(X(t)=X+\lambda\mathrm{Re}\eta_0(t));

&math(\phi_0(t)=\phi_0+\mathrm{Im}\eta_0(t));

ゼロモードの存在により、これら &math(X(t)); および &math(\phi_0(t)); 
自体が力学変数に昇格することになる。

励起モードの直交性 (5.16) により、ラグランジアンはこれら &math(X(t), \phi_0(t));
による部分と、それ以外の励起モード &math(\eta_k); による部分とに分離できる。

&math(\eta_0=\frac{X(t)-X}{\lambda}+i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right));

&math(
&\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0\\
&=
\left\{\frac{X(t)-X}{\lambda}-i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)\right\}
\left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}+i\dot\phi_0(t)\right\}
-
\left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}-i\dot\phi_0(t)\right\}
\left\{\frac{X(t)-X}{\lambda}+i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)\right\}\\
&=
\left\{\frac{X(t)}{\lambda}-i\phi_0(t)\right\}
\left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}+i\dot\phi_0(t)\right\}
-
\left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}-i\dot\phi_0(t)\right\}
\left\{\frac{X(t)}{\lambda}+i\phi_0(t)\right\}\\
&=\frac{2i}{\lambda}\left\{X(t)\dot\phi_0(t)-\dot X(t)\phi_0(t)\right\}
);

途中で時間に対する全微分となる項 ( 定数×時間微分 となる項) は落とした。

(5.23)

&math(
L_w^{(0)}=\frac{\hbar N_wS}{2\lambda}(\dot X\phi_0-X\dot\phi_0)
);

&math(
L_{sw}=\red{2\lambda}N_w\red{\int dk}\big\{i\hbar S(\bar\eta_k\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_k\eta_k)-2KS^2\omega_k\bar|\eta_k|^2\big\}
);

以上の結果から、磁壁の位置 &math(X); と回転位相 &math(\phi_0); 
は力学変数として振る舞うことが裏付けられた。これらの変数は「集団座標」である。

これらを含んだ形で書くと、5-2 で見た関係式は

(5.25)

&math(\cos\theta=\tanh\frac{z-X(t)}{\lambda});

&math(\sin\theta=\frac{1}{\cosh\frac{z-X(t)}{\lambda}});

&math(\phi=\phi_0(t));

と表せる。

* 量子論 [#i2d066f7]



* 質問・コメント [#ld6bb3d7]

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