スピントロニクス理論の基礎/5-5 のバックアップソース(No.2)

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#contents

* 5-5 磁場中での磁壁の運動 [#mfca2a58]

ピン止めポテンシャル (5.36) と困難軸磁気異方性 (5.38) を含めた磁壁のラグランジアンは、

(5.39)

&math(
L_w&\equiv L_w^B-H_{K_\perp}-V_\mathrm{pin}\\
&= N_wS \left[ 
\hbar\frac{\dot X}{\lambda}\phi_0
-\frac{K_\perp S}{2}\sin^2\phi_0
-\frac{V_0}{S}\left(\frac{X^2}{\xi^2}-1\right)\theta(\xi-|X|)
+\hbar\gamma B\frac{X}{\lambda} \right]
);

緩和入りの運動方程式は、

(5.40)

&math(
&\frac{\PD}{\PD X}L_w-\frac{d}{dt}\frac{\PD}{\PD \dot X}=-\frac{\PD}{\PD\dot X}W_s\\
&N_wS \left[ 
-\frac{V_0}{S}\frac{2X}{\xi^2}\theta(\xi-|X|)
+\hbar\gamma B\frac{1}{\lambda} \right]
-N_wS \hbar\frac{1}{\lambda}\dot\phi_0
=\frac{\alpha N_w\hbar S}{2}\frac{2\dot X}{\lambda^2}\\
&-\frac{V_0}{\hbar S}\frac{2\lambda X}{\xi^2}\theta(\xi-|X|)
+\gamma B
-\dot\phi_0
=\alpha\frac{\dot X}{\lambda}
);

および、

(5.41)

&math(
&\frac{\PD}{\PD \phi_0}L_w-\frac{d}{dt}\frac{\PD}{\PD \dot \phi_0}=-\frac{\PD}{\PD\dot \phi_0}W_s\\
&N_wS \left[ 
\hbar\frac{\dot X}{\lambda}
-\frac{K_\perp S}{2}2\sin\phi_0\cos\phi_0
\right]=
\frac{\alpha N_w\hbar S}{2}2\dot\phi_0\\
&\frac{\dot X}{\lambda}
-\frac{K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0
=\alpha \dot\phi_0\\
);

となる。

この運動には困難軸磁気異方性が大きく影響する。

* ピン止めポテンシャルを無視した際の運動 [#r3dde6fd]

まずピン止めポテンシャルを無視した (&math(V_0=0);) 磁壁の運動を見る。

磁場が弱いとき、&math(\phi_0); が定数となる解 (&math(\dot\phi_0=0);) が存在する。

(5.42)

&math(\gamma B=\alpha\frac{\dot X}{\lambda});

&math(\frac{\dot X}{\lambda}-\frac{K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0=0);

より、

&math(\frac{\gamma B}{\alpha}=\frac{K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0);

(5.43)

&math(\sin 2\phi_0=\frac{2\hbar\gamma B}{\alpha K_\perp S});

すなわち、この右辺が1以下となるとき解が存在して、その条件は

(5.44)

&math(B \leq \frac{\alpha K_\perp S}{2\hbar\gamma} \equiv B_w);

&math(B_w); は Walker breakdown field と呼ばれる。

この解は、&math(\theta\neq n\pi); であるすべての部分で &math(\phi=\phi_0); を満たし、
磁壁位置が速度 &math(\frac{1}{\alpha}\lambda\gamma B); で等速直線運動するというものである。

困難軸異方性を入れていない (5.33) では &math(\alpha); が分母にあったが、~
困難軸異方性を入れたために (5.42) では &math(\alpha); が分子に来ている。

** 磁場が強いとき [#mb475a51]

付録 [[スピントロニクス理論の基礎/A-2]] はちょっとおかしい?~
なにより振動数であるべき (5.46) に次元が無いのがありえない。

ここでは普通に解いてみる。

(5.40) と (5.41) から、

&math(
\gamma B
&=\alpha\left(\frac{K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0+\alpha \dot\phi_0\right)+\dot\phi_0\\
&=\frac{\alpha K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0+(\alpha^2+1) \dot\phi_0\\
&=\gamma B_w\sin 2\phi_0+(\alpha^2+1) \dot\phi_0\\
);

&math(
&1=\frac{B_w}{B}\sin 2\phi_0+\frac{\alpha^2+1}{\gamma B} \dot\phi_0\\
&\dot\phi_0=\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}\left[1-\frac{B_w}{B}\sin 2\phi_0\right]\\
);

&math(
&\dot\phi_0=\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}\left[1-2\frac{B_w}{B}\sin \phi_0\cos \phi_0\right]\\
&\frac{\dot\phi_0}{\cos^2\phi_0}=\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}\left[\frac{1}{\cos^2\phi_0}-2\frac{B_w}{B}\tan \phi_0\right]\\
&\frac{\dot\phi_0}{\cos^2\phi_0}=\frac{d}{dt}\big(\tan\phi_0\big)=\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}\left[\tan^2\phi_0-2\frac{B_w}{B}\tan \phi_0+1\right]\\
&\int dt\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}=\int \frac{d\big(\tan\phi_0\big)}{\tan^2\phi_0-2\frac{B_w}{B}\tan \phi_0+1}\\
&=\int \frac{d\big(\tan\phi_0\big)}{\left(\tan\phi_0-\frac{B_w}{B}\right)^2+1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\\
&\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}(t-t_0)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}}\arctan\frac{\tan\phi_0-\frac{B_w}{B}}{\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}}\\
&\tan\left[\left\{ \frac{\gamma B_w}{\alpha^2+1}\sqrt{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}\right\}(t-t_0)\right]\equiv\tan\omega(t-t_0)=\frac{\tan\phi_0-\frac{B_w}{B}}{\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}}
);

&math(
&\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\tan\omega(t-t_0)=\tan\phi_0-\frac{B_w}{B}\\
&\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)=\tan^2\phi_0-2\frac{B_w}{B}\tan\phi_0+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\\
&\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)\cos^2\phi_0=\sin^2\phi_0-\frac{B_w}{B}\sin 2\phi_0+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\cos^2\phi_0\\
&\frac{B_w}{B}\sin 2\phi_0=\sin^2\phi_0+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\cos^2\phi_0-\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)\cos^2\phi_0\\
&=1-\left\{\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)+1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right\}\cos^2\phi_0\\
&=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}{\cos^2\omega(t-t_0)}\frac{1}{1+\tan^2\phi_0}\\
&=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}{\cos^2\omega(t-t_0)}
\frac{1}{1+\left\{\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)+2\frac{B_w}{B}\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\tan\omega(t-t_0)+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right\}}\\
&=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}
{\left[1+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\cos^2\omega(t-t_0)+\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\sin^2\omega(t-t_0)+\frac{B_w}{B}\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\sin 2\omega(t-t_0)}\\
&=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}
{1+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\cos 2\omega(t-t_0)+\frac{B_w}{B}\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\sin 2\omega(t-t_0)}\\
&=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}{1+\frac{B_w}{B}\sin 2\omega(t-t_0')}\\
&=1-\frac{B}{B_w}\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\\
);

(5.45)

&math(
&\sin 2\phi_0=\frac{B}{B_w}-\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\\
);

ただし、&math(\omega); は途中で出てきた値で、

(5.46)

&math(\omega=\frac{\red{\gamma B_w}}{\alpha^2+1}\sqrt{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1});

これを、

&math(
&\dot X-\alpha\lambda\left(-\alpha\frac{\dot X}{\lambda}+\gamma B\right)=\frac{K_\perp\lambda}{2\hbar}S\sin 2\phi_0\\
&(1+\alpha^2)\dot X=\alpha\lambda\gamma B+\frac{K_\perp S}{2\hbar}\lambda\sin 2\phi_0\\
&(1+\alpha^2)\frac{\dot X}{\lambda}=\alpha\gamma B+\frac{\gamma B_w}{\alpha}\sin 2\phi_0\\
);

へ代入して、

(5.47)

&math(
&(1+\alpha^2)\frac{\dot X}{\lambda}=\alpha\gamma B+\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[
\frac{B}{B_w}-\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\right]\\
&(1+\alpha^2)\frac{\dot X}{\lambda}=\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[\left(\alpha^2
+1\right)\frac{B}{B_w}
-\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\right]\\
&\frac{\dot X}{\lambda}=\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[\frac{B}{B_w}
-\red{\frac{1}{1+\alpha^2}}\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\right]\\
);

を得る。

速さの時間平均は、

(5.48)

&math(
\left<\big|\dot X\big|\right>
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[\frac{B}{B_w}
-{\frac{1}{1+\alpha^2}}\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin\theta}\right]\\
&=\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[\frac{B}{B_w}
-{\frac{1}{1+\alpha^2}}\sqrt{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}\right]\\
);

ただし、

&math(
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{1}{A+\sin\theta}
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{1}{A+2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{1}{A+2\tan\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2}}\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{1}{A+2\frac{\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}}\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{A+2\frac{t}{1+t^2}}\frac{2}{t^2+1}\\
&=\frac{1}{\pi A}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^2+\frac{2}{A}t+1}\\
&=\frac{1}{\pi A}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{\left(t+\frac{1}{A}\right)^2+1-\frac{1}{A^2}}\\
&=\frac{1}{\pi A}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt'}{t'^2+1-\frac{1}{A^2}}\\
&=\frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{A^2}}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt''}{t''^2+1}\\
&=\frac{1}{\pi }\frac{1}{\sqrt{A^2-1}}\Big[\arctan t''\Big]_{-\infty}^{\infty}\\
&=\frac{1}{\sqrt{A^2-1}}\\
);

を使った。

この解は、&math(\phi_0,\dot X); とも角振動数 &math(\omega); で振動しながら運動し、
平均速度は &math(B); の増加と共に遅くなる。

&math(B\gg B_w); では、

&math(
\lim_{B/B_w\rightarrow\infty} \dot X
&=\frac{\lambda \gamma B_w}{\alpha}\left[\frac{B}{B_w}
-{\frac{1}{1+\alpha^2}}\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2}{\frac{B}{B_w}}\right]\\
&=\frac{\lambda \gamma B}{\alpha}\left[1-{\frac{1}{1+\alpha^2}}\right]\\
&=\lambda \gamma B\frac{\alpha}{1+\alpha^2}\\
);

となって、困難軸異方性のない時の解に漸近する。

* 磁壁移動速度の磁場依存性 [#f3f3dcfc]

図5.1 のように、磁壁の(平均)移動速度は &math(B=B_w); で最大値を取る。

-それより小さければ &math(B); と共に線形に増加し
-それより大きければ急速に困難軸異方性のない時の値に漸近する

すなわち、磁壁の移動速度は困難軸異方性により増大している。

* 固い磁壁の条件 [#u9e76fcf]

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