スピントロニクス理論の基礎/8-11 のバックアップソース(No.4)

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* 8-11 不純物散乱のもとでの lesser Green 関数 [#f9ddef59]

この部分、11/7 のセミナーでの議論を元に見直しました。

(8.111) を波数表示に直すと、

(8.145), (8.114) より

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega}^<=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<
+\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
\big]
\\&=
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+\\
&\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) \big(
    \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
    +\sum_{\bm q'}\big[
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
     +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    \big]\big)\\
&\hspace{4mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q) \big(
    \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    +\sum_{\bm q'}
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    \big)
\big]
\\&=
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\sum_{\bm q}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q)
    \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q)
    \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\
&\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q)
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a\\
&\hspace{4mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
\Big]
);

したがって、8-10 の最後に (8-10.8) でやったように近似を用いれば、

&math(
\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i =\,&
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\sum_{\bm q}\langle v_i(\bm q) \rangle_i\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\
&\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
      \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i 
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\
&\hspace{2cm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
\Big] 
\\ \sim \, &
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\sum_{\bm q}0\cdot\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\
&\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
      \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i 
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\
&\hspace{2cm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
\Big] 
\\=\,&
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \\
&\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q,\bm q'}\delta_{\bm q+\bm q',\bm 0}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rg_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^ag_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
\Big]
\\=\,&
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rg_{\bm k,\bm k',\omega}^<
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<g_{\bm k,\bm k',\omega}^a
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^ag_{\bm k,\bm k',\omega}^a
\Big]
\\=\,&
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\bm k',\omega}^a
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\bm k',\omega}^a
\Big]
);

右辺に左辺を繰り返し代入すると &math(g_{\bm k,\bm k',\omega}\propto \delta_{\bm k,\bm k'}); 
が得られることから、

(8.124)

&math(
&g_{\bm k,\omega}^<
=
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\Big[
  g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\omega}^<
 +g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +g_{0\bm k,\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a
\Big]
);

を得る。

** 念のため [#jf60c058]

(8-10.11) での失敗で学んだとおり、(8-10.8) では "たまたま" うまく行った上記のような近似は、
何にも考えずに使うと痛い目に遭う。

上で行った近似から得られた

&math(
\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i 
 \sim \, &
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\\ &
\sum_{\bm q}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
      \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i 
\\ &\hspace{0.4cm} + 
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
     \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
\\ &\hspace{0.4cm} + 
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
     \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
\Big] 
);

に含まれる項と、元の

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega}^<=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<
+\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
\big]
);

に含まれる項とを比べてみる。

元の式の右辺を順次展開していくと、詳しくは (9.1B) で見るように

- &math(g_0^<);
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^<); ← 1次:たぶん無視できる
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a); ← 1次:たぶん無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^<); ← 2次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a); ← 2次
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a); ← 2次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^<); ← 3次:たぶん無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a); ← 3次:たぶん無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a); ← 3次:たぶん無視できる
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a); ← 3次:たぶん無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^r \,v(\bm q_4)\, g_0^<); ← 4次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< \,v(\bm q_4)\, g_0^a); ← 4次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a); ← 4次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a); ← 4次
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a); ← 4次
- ・・・         

といった項が出てくる。

一方で、上記近似式が含む項は

- &math(g_0^<);
- 1次:無視された
- 1次:無視された
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^<); ← 2次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(-\bm q_1)\, g_0^a); ← 2次
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(-\bm q_1)\, g_0^a); ← 2次
- 3次:無視された
- 3次:無視された
- 3次:無視された
- 3次:無視された
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^r \,v(-\bm q_3)\, g_0^<); ← 4次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< \,v(-\bm q_3)\, g_0^a); ← 4次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a); ← 4次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(-\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a); ← 4次
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(-\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a); ← 4次
- ・・・

となって、思った通りの項を含んでいそうなことが確認できる。

** 閑話休題 [#e04e1398]

以下、再び教科書を追っていく。

(8.148)

&math(
\Sigma^\alpha(\hbar\omega)\equiv n_iv_i^2\frac{1}{N}\sum_{\bm k}g_{0\bm k,\omega}^\alpha
);

(8-10.9) より

(8.149)

&math(
\frac{g_{\bm k,\omega}^r-g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r} = \Sigma^r g_{0\bm k,\omega}^r
);

&math(
\frac{g_{\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} = \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a
);

(8.150)

式を整理すると、

&math(
&g_{\bm k,\omega}^<
=
g_{0\bm k,\omega}^<+
\Big[
  g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\omega}^<
 +g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +g_{0\bm k,\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a
\Big]
\\&=
g_{0\bm k,\omega}^<+
\Big[
  \frac{g_{\bm k,\omega}^r-g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r} g_{\bm k,\omega}^<
 +g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +\frac{g_{\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<
\Big]
);

&math(
\frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r}g_{\bm k,\omega}^<=
 g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +\frac{g_{\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<
);

&math(
&g_{\bm k,\omega}^<=
 g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +\frac{g_{\bm k,\omega}^r}{g_{0\bm k,\omega}^r}\frac{g_{\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<
\\&=
 g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +\frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r}
  \frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a} 
  2\pi i f(\hbar\omega)\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})
\\&=
 g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +2\pi i f(\hbar\omega) 
  \frac{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})^2\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})}
  {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}
\\&=
 g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
=
  \frac{\Sigma^<}
  {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}
);

ここで、(8.148), (8.91) より

&math(
&\Sigma^< = \frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm k} f_{\bm k}(\hbar\omega)(g_{0\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^r)
\\&= f_{\bm k}(\hbar\omega) (\Sigma^a-\Sigma^r)
\\&= f_{\bm k}(\hbar\omega) \left( \frac{i\hbar}{\tau} \right)
);

したがって、

&math(
&g_{\bm k,\omega}^<=
  \frac{f_{\bm k}(\hbar\omega)(\Sigma^a-\Sigma^r)}
  {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}
\\&=f_{\bm k}(\hbar\omega)\left[
  \frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a}
 -\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r}
\right]
\\&=f_{\bm k}(\hbar\omega)\left[g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r\right]
\\&=2\pi i f_{\bm k}(\hbar\omega)\delta_\Sigma(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})
);

&math(\delta_\Sigma(\ )); はフェルミレベルのぼけによりなまったδ関数である。

* 疑問点 [#pdcc86ea]

上で見たように lesser Green 巻数が

- rrrr<
- rrr<a
- rr<aa
- r<aaa
- <aaaa

のような規則的な項からなっている意味はどこにあるのだろう?

* 質問・コメント [#q187aaf8]

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