スピントロニクス理論の基礎/8-11 のバックアップ(No.5)

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8-11 不純物散乱のもとでの lesser Green 関数

この部分、11/7 のセミナーでの議論を元に見直しました。

(8.111) を波数表示に直すと、

(8.145), (8.114) より

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega}^<=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<

  1. \sum_{\bm q}\big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    \big] \\&= \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+\\ &\sum_{\bm q}\big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) \big(
       \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
       +\sum_{\bm q'}\big[
         g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
        +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       \big]\big)\\
    &\hspace{4mm}
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q) \big(
       \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
       +\sum_{\bm q'}
         g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       \big)
    \big] \\&= \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \sum_{\bm q}\Big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q)
       \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q)
       \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\
    &\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q)
         g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
     +
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q)
        g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a\\
    &\hspace{4mm}
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q)
         g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    \Big] );

したがって、8-10 の最後に (8-10.8) でやったように近似を用いれば、

&math( \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i =\,& \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \sum_{\bm q}\langle v_i(\bm q) \rangle_i\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\

&\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i 
 +
 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
    \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\

&\hspace{2cm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<

    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 

\Big] \\ \sim \, & \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \sum_{\bm q}0\cdot\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\

&\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i 
 +
 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
    \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\

&\hspace{2cm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<

    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 

\Big] \\=\,& \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \\ &\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q,\bm q'}\delta_{\bm q+\bm q',\bm 0}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rg_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
 +
 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^ag_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a

\Big] \\=\,& \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rg_{\bm k,\bm k',\omega}^<
 +
 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<g_{\bm k,\bm k',\omega}^a
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^ag_{\bm k,\bm k',\omega}^a

\Big] \\=\,& \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\bm k',\omega}^<
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\bm k',\omega}^a
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\bm k',\omega}^a

\Big] );

右辺に左辺を繰り返し代入すると g_{\bm k,\bm k',\omega}\propto \delta_{\bm k,\bm k'} が得られることから、

(8.124)

&math( &g_{\bm k,\omega}^< = g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \Big[

 g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\omega}^<
+g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
+g_{0\bm k,\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a

\Big] );

を得る。

念のため

(8-10.11) での失敗で学んだとおり、(8-10.8) では "たまたま" うまく行った上記のような近似は、 何にも考えずに使うと痛い目に遭う。

上で行った近似から得られた

&math( \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i

\sim \, &

\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \\ & \sum_{\bm q}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
     \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i 

\\ &\hspace{0.4cm} +

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
    \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 

\\ &\hspace{0.4cm} +

    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 

\Big] );

に含まれる項と、元の

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega}^<=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<

  1. \sum_{\bm q}\big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    \big] );

に含まれる項とを比べてみる。

元の式の右辺を順次展開していくと、詳しくは (9.1B) で見るように

  • g_0^<
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< ← 1次:無視できる
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a ← 1次:無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< ← 2次
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a ← 2次
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a ← 2次
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< ← 3次:たぶん無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a ← 3次:たぶん無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a ← 3次:たぶん無視できる
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a ← 3次:たぶん無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^r \,v(\bm q_4)\, g_0^< ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< \,v(\bm q_4)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • ・・・

といった項が出てくる。

一方で、上記近似式が含む項は

  • g_0^<
  • 1次:無視された
  • 1次:無視された
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^< ← 2次
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(-\bm q_1)\, g_0^a ← 2次
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(-\bm q_1)\, g_0^a ← 2次
  • 3次:無視された
  • 3次:無視された
  • 3次:無視された
  • 3次:無視された
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^r \,v(-\bm q_3)\, g_0^< ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< \,v(-\bm q_3)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(-\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(-\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • ・・・

となって、思った通りの項を含んでいそうなことが確認できる。

高次の項を入れるには?

(8-10.15) でやったように3次や4次の効果を取り入れるにはどうするか。

(8-10.15) の操作をまねすると、 4次までで打ち切った表現に現われる各項の、最後の g_0 \langle g \rangle_i に置き換えれば良いので、

&math( \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i \sim \, & \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< + \\ &\sum_{\bm q}\langle v(\bm q)\rangle_i \Big[

 \\ & \hspace{0.4cm} +
   g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     \langle g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< \rangle_i
 \\ & \hspace{0.4cm} +
   g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
     \langle g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \rangle_i
 \Big] 
  1. \\ & \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') \rangle_i \Big[
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
         \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
          \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
          \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \Big] 
  2. \\ & \sum_{\bm q,\bm q',\bm q} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q)\rangle_i \Big[
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
         \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
          \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
          \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
          \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \Big] 
  3. \\ & \sum_{\bm q,\bm q',\bm q,\bm q} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q) v(\bm q)\rangle_i (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}) \Big[
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r 
         \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^< \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< 
          \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
          \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
          \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
          \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \Big] 
    );

んー、 (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o}) の部分もまったくまねしてみたけどこれでいいのかな???

これで良ければ、

&math( \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i \sim \, & \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<

  1. \\ & \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i \Big[
     \\ & \hspace{0.4cm} \phantom{+}
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
       \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
       \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
     \Big] 
  2. \\ & \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i \Big[
     \\ & \hspace{0.4cm} \phantom{+}
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
         \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
          \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
          \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
          \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
     \Big] 
  3. \\ & \sum_{\bm q,\bm q',\bm q} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q) v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}) \Big[
     \\ & \hspace{0.4cm} \phantom{+}
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r 
         \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< 
         \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
         \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
         \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
     \\ & \hspace{0.4cm} +
       g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
         \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
     \Big] \\
    \sim \, & \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<
  4. g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^r{}' \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i
  5. g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^<{}' \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
  6. g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< \Sigma^a{}' \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i );

として、2次までの時と非常に似た形に表せる。

ただし、自己エネルギーに3次及び4次から来る補正項が入ってきて、

&math( \Sigma^r{}' & = \overbrace{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i

   g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r }

\\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i

   g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 

\\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q',\bm q} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q) v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i

   g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r 
   (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})

);

&math( \Sigma^<{}' & = \overbrace{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i

   g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< }

\\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i

   ( g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< +
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a )

\\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q',\bm q} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q) v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i \Big \{

   g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< 

\\ & \hspace{1cm}+

   g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a 
  1.    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 
       g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a 
       \Big \} (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})
    );

&math( \Sigma^a{}' & = \overbrace{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i

   g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a }

\\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i

   g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 

\\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a \sum_{\bm q,\bm q',\bm q} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q) v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i

   g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 
   g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a 
   (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})

);

である。 \overbrace{\phantom{abcde}} で括った部分が2次の項。

この \Sigma^r{}' および \Sigma^a{}' の定義は 8-10 で見た物と同じになっている。

対照的に、 \Sigma^<{}' は和の部分が少し複雑になっていることに注意が必要。

どちらもちょうど、元の Green 関数の表示を1次や3次で打ち切った形になっているみたい。
これは、どういう意味を持っているのだろう???

閑話休題

以下、再び教科書を追っていく。

上で見たとおり、高次の項をより正確に取り込んだ場合にも \Sigma^\alpha\rightarrow \Sigma^\alpha{}' と置き換えれば、 以下の議論はそのまま成り立つのだと思う。

(8.148)

&math( \Sigma^\alpha(\hbar\omega)\equiv n_iv_i^2\frac{1}{N}\sum_{\bm k}g_{0\bm k,\omega}^\alpha );

(8-10.9) より

(8.149)

&math( \frac{g_{\bm k,\omega}^r-g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r} = \Sigma^r g_{0\bm k,\omega}^r );

&math( \frac{g_{\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} = \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a );

(8.150)

式を整理すると、

&math( &g_{\bm k,\omega}^< = g_{0\bm k,\omega}^<+ \Big[

 g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\omega}^<
+g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
+g_{0\bm k,\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a

\Big] \\&= g_{0\bm k,\omega}^<+ \Big[

 \frac{g_{\bm k,\omega}^r-g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r} g_{\bm k,\omega}^<
+g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
+\frac{g_{\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<

\Big] );

&math( \frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r}g_{\bm k,\omega}^<=

g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
+\frac{g_{\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<

);

&math( &g_{\bm k,\omega}^<=

g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
+\frac{g_{\bm k,\omega}^r}{g_{0\bm k,\omega}^r}\frac{g_{\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<

\\&=

g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
+\frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r}
 \frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a} 
 2\pi i f(\hbar\omega)\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})

\\&=

g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
+2\pi i f(\hbar\omega) 
 \frac{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})^2\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})}
 {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}

\\&=

g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a

=

 \frac{\Sigma^<}
 {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}

);

ここで、(8.148), (8.91) より

&math( &\Sigma^< = \frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm k} f_{\bm k}(\hbar\omega)(g_{0\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^r) \\&= f_{\bm k}(\hbar\omega) (\Sigma^a-\Sigma^r) \\&= f_{\bm k}(\hbar\omega) \left( \frac{i\hbar}{\tau} \right) );

したがって、

&math( &g_{\bm k,\omega}^<=

 \frac{f_{\bm k}(\hbar\omega)(\Sigma^a-\Sigma^r)}
 {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}

\\&=f_{\bm k}(\hbar\omega)\left[

 \frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a}
-\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r}

\right] \\&=f_{\bm k}(\hbar\omega)\left[g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r\right] \\&=2\pi i f_{\bm k}(\hbar\omega)\delta_\Sigma(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) );

\delta_\Sigma(\ ) はフェルミレベルのぼけによりなまったδ関数である。

疑問点

上で見たように lesser Green 巻数が

  • rrrr<
  • rrr<a
  • rr<aa
  • r<aaa
  • <aaaa

のような規則的な項からなっている意味はどこにあるのだろう?

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