スピントロニクス理論の基礎/8-11 のバックアップ差分(No.6)

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#contents

* 8-11 不純物散乱のもとでの lesser Green 関数 [#f9ddef59]

この部分、11/7 のセミナーでの議論を元に見直しました。

(8.111) を波数表示に直すと、

(8.145), (8.114) より

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega}^<=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<
+\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
\big]
\\&=
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+\\
&\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) \big(
    \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
    +\sum_{\bm q'}\big[
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
     +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    \big]\big)\\
&\hspace{4mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q) \big(
    \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    +\sum_{\bm q'}
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    \big)
\big]
\\&=
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\sum_{\bm q}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q)
    \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q)
    \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\
&\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q)
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a\\
&\hspace{4mm}
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q)
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
\Big]
);

したがって、8-10 の最後に (8-10.8) でやったように近似を用いれば、

&math(
\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i =\,&
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\sum_{\bm q}\langle v_i(\bm q) \rangle_i\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\
&\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
      \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i 
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\
&\hspace{2cm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
\Big] 
\\ \sim \, &
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\sum_{\bm q}0\cdot\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\
&\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
      \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i 
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\
&\hspace{2cm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
     \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
\Big] 
\\=\,&
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \\
&\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q,\bm q'}\delta_{\bm q+\bm q',\bm 0}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rg_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^ag_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
\Big]
\\=\,&
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rg_{\bm k,\bm k',\omega}^<
  +
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<g_{\bm k,\bm k',\omega}^a
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^ag_{\bm k,\bm k',\omega}^a
\Big]
\\=\,&
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\bm k',\omega}^a
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\bm k',\omega}^a
\Big]
);

右辺に左辺を繰り返し代入すると &math(g_{\bm k,\bm k',\omega}\propto \delta_{\bm k,\bm k'}); 
が得られることから、

(8.124)

&math(
&g_{\bm k,\omega}^<
=
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\Big[
  g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\omega}^<
 +g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +g_{0\bm k,\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a
\Big]
);

を得る。

本来であれば 8-10 で行ったのと同様に、
高次に現れる項がここで取り入れた項に比べて十分に小さいことを
&math(g^<); についても確認しなければならないが・・・

ここでは教科書を信じて先に進むことにする。

** 念のため [#jf60c058]

(8-10.11) での失敗で学んだとおり、(8-10.8) では "たまたま" うまく行った上記のような近似は、
何にも考えずに使うと痛い目に遭う。

上で行った近似から得られた

&math(
\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i 
 \sim \, &
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+
\\ &
\sum_{\bm q}\Big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
      \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i 
\\ &\hspace{0.4cm} + 
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
     \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
\\ &\hspace{0.4cm} + 
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
     \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
\Big] 
);

に含まれる項と、元の

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega}^<=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<
+\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
\big]
);

に含まれる項とを比べてみる。

元の式の右辺を順次展開していくと、詳しくは (9.1B) で見るように

- &math(g_0^<);
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^<); ← 1次:無視できる
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a); ← 1次:無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^<); ← 2次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a); ← 2次
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a); ← 2次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^<); ← 3次:たぶん無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a); ← 3次:たぶん無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a); ← 3次:たぶん無視できる
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a); ← 3次:たぶん無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^r \,v(\bm q_4)\, g_0^<); ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< \,v(\bm q_4)\, g_0^a); ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a); ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a); ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a); ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
- ・・・         

といった項が出てくる。

一方で、上記近似式が含む項は

- &math(g_0^<);
- 1次:無視された
- 1次:無視された
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^<); ← 2次
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(-\bm q_1)\, g_0^a); ← 2次
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(-\bm q_1)\, g_0^a); ← 2次
- 3次:無視された
- 3次:無視された
- 3次:無視された
- 3次:無視された
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^r \,v(-\bm q_3)\, g_0^<); ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< \,v(-\bm q_3)\, g_0^a); ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a); ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
- &math(g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(-\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a); ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
- &math(g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(-\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a); ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
- ・・・

となって、思った通りの項を含んでいそうなことが確認できる。

** 高次の項を入れるには? [#v8fee6fa]

(8-10.15) でやったように3次や4次の効果を取り入れるにはどうするか。

(8-10.15) の操作をまねすると、
4次までで打ち切った表現に現われる各項の、最後の &math(g_0); を &math(\langle g \rangle_i); 
に置き換えれば良いので、

&math(
\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i 
\sim \, &
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< + \\
&\sum_{\bm q}\langle v(\bm q)\rangle_i \Big[
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
      \langle g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
      \langle g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \rangle_i
  \Big] 
+ \\ &
\sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') \rangle_i \Big[
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
      \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
       \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
       \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \Big] 
+ \\ &
\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'')\rangle_i \Big[
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
      \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
       \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \Big] 
+ \\ &
\sum_{\bm q,\bm q',\bm q'',\bm q'''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(\bm q''')\rangle_i     (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})
\Big[
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r 
      \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^< \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< 
       \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
       \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
       \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
       \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \Big] 
);

んー、&math((1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o}));
の部分もまったくまねしてみたけどこれでいいのかな???

これで良ければ、

&math(
\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i 
\sim \, &
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<
+ \\ &
\sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i \Big[
  \\ & \hspace{0.4cm} \phantom{+}
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
    \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
  \Big] 
+ \\ &
\sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i \Big[
  \\ & \hspace{0.4cm} \phantom{+}
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
      \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
       \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i 
  \Big] 
+ \\ &
\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i 
(1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})
\Big[
  \\ & \hspace{0.4cm} \phantom{+}
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r 
      \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< 
      \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
      \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
      \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
  \\ & \hspace{0.4cm} +
    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
      \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
  \Big] \\
\sim \, &
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< 
+ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^r{}' \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i
+ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^<{}' \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
+ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< \Sigma^a{}' \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i
);

として、2次までの時と非常に似た形に表せる。

ただし、自己エネルギーに3次及び4次から来る補正項が入ってきて、

&math(
\Sigma^r{}' & = \overbrace{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r }
\\ & +
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
\\ & +
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r 
    (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})
);

&math(
\Sigma^<{}' & = \overbrace{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< }
\\ & +
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i 
    ( g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< +
      g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a )
\\ & +
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i \Big \{
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< 
\\ & \hspace{1cm}+
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a 
+
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a 
    \Big \} (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})
);

&math(
\Sigma^a{}' & = \overbrace{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a }
\\ & +
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 
\\ & +
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i 
    g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a 
    (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})
);

である。&math(\overbrace{\phantom{abcde}}); で括った部分が2次の項。

この &math(\Sigma^r{}'); および &math(\Sigma^a{}'); 
の定義は 8-10 で見た物と同じになっている。

対照的に、&math(\Sigma^<{}'); は和の部分が少し複雑になっていることに注意が必要。

どちらもちょうど、元の Green 関数の表示を1次や3次で打ち切った形になっているみたい。~
これは、どういう意味を持っているのだろう???

** 閑話休題 [#e04e1398]

以下、再び教科書を追っていく。

上で見たとおり、高次の項をより正確に取り込んだ場合にも
&math(\Sigma^\alpha\rightarrow \Sigma^\alpha{}'); と置き換えれば、
以下の議論はそのまま成り立つのだと思う。

(8.148)

&math(
\Sigma^\alpha(\hbar\omega)\equiv n_iv_i^2\frac{1}{N}\sum_{\bm k}g_{0\bm k,\omega}^\alpha
);

(8-10.9) より

(8.149)

&math(
\frac{g_{\bm k,\omega}^r-g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r} = \Sigma^r g_{0\bm k,\omega}^r
);

&math(
\frac{g_{\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} = \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a
);

(8.150)

式を整理すると、

&math(
&g_{\bm k,\omega}^<
=
g_{0\bm k,\omega}^<+
\Big[
  g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\omega}^<
 +g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +g_{0\bm k,\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a
\Big]
\\&=
g_{0\bm k,\omega}^<+
\Big[
  \frac{g_{\bm k,\omega}^r-g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r} g_{\bm k,\omega}^<
 +g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +\frac{g_{\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<
\Big]
);

&math(
\frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r}g_{\bm k,\omega}^<=
 g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +\frac{g_{\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<
);

&math(
&g_{\bm k,\omega}^<=
 g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +\frac{g_{\bm k,\omega}^r}{g_{0\bm k,\omega}^r}\frac{g_{\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<
\\&=
 g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +\frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r}
  \frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a} 
  2\pi i f(\hbar\omega)\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})
\\&=
 g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
 +2\pi i f(\hbar\omega) 
  \frac{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})^2\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})}
  {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}
\\&=
 g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a
=
  \frac{\Sigma^<}
  {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}
);

ここで、(8.148), (8.91) より

&math(
&\Sigma^< = \frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm k} f_{\bm k}(\hbar\omega)(g_{0\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^r)
\\&= f_{\bm k}(\hbar\omega) (\Sigma^a-\Sigma^r)
\\&= f_{\bm k}(\hbar\omega) \left( \frac{i\hbar}{\tau} \right)
);

したがって、

&math(
&g_{\bm k,\omega}^<=
  \frac{f_{\bm k}(\hbar\omega)(\Sigma^a-\Sigma^r)}
  {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}
\\&=f_{\bm k}(\hbar\omega)\left[
  \frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a}
 -\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r}
\right]
\\&=f_{\bm k}(\hbar\omega)\left[g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r\right]
\\&=2\pi i f_{\bm k}(\hbar\omega)\delta_\Sigma(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})
);

&math(\delta_\Sigma(\ )); はフェルミレベルのぼけによりなまったδ関数である。

* 疑問点 [#pdcc86ea]

上で見たように lesser Green 巻数が

- rrrr<
- rrr<a
- rr<aa
- r<aaa
- <aaaa

のような規則的な項からなっている意味はどこにあるのだろう?

* 質問・コメント [#q187aaf8]

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