スピントロニクス理論の基礎/8-2 のバックアップソース(No.1)

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[[スピントロニクス理論の基礎/8-1]]

* 8-2 [#xa2bd875]

この節ではハミルトニアンは時間に依存しない &math(H(t)=H);

&math(t=t_0); で熱平衡にある系のハミルトニアンが時間に依存しなければ、
系は熱平衡から動かないため、ハミルトニアンが時間に依存しない場合を考えるのは
かなり無意味なのだが、演習問題のような扱いと思えばよい。

(8.19)

&math(c_H(\bm r,t) \equiv e^{\textcolor{red}{\frac{i}{\hbar}}H(t-t_0)}c(\bm r,t)
e^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}H(t-t_0)});

ここでは (8.7C) を使って &math(U(t,t_0)); を書き下している。

(8.20)

&math(n(\bm r,t)\equiv\llangle c_H^\dagger(\bm r,t)c_H(\bm r,t)\rrangle);

&math(\hat n=c^\dagger c);

&math(n=\llangle n \rrangle);

&math(\hat n_H=U^\dagger \hat n U=U^\dagger c^\dagger c U=U^\dagger c^\dagger U U^\dagger c U=c^\dagger_H c);

1粒子の量子論で言うところの、確率密度が波動関数の絶対値の自乗に比例するのと対応する式ですね。
ただし場の量子論では &math(c^\dagger c); は演算子で、波動関数 &math(\ket{\alpha}); 
に作用させることで始めて電子密度を表すことになります。一般的にはこの演算子は &math(c(\bm r,t)); ではなく &math(\psi(\bm r,t)); と書かれることが多いのかもしれません。

今考えているのは電子の密度なので、&math(c); や &math(c^\dagger); はフェルミオンの反交換関係を満たします。すなわち、&math(c(\bm r,t)); およびそのフーリエ係数 &math(c_{\bm k}); について、

&math(c(\bm r,t) c(\bm r',t)^\dagger+c(\bm r,t)^\dagger c(\bm r',t) = \{c(\bm r,t), c(\bm r',t)^\dagger\}=\delta^3 (\bm r-\bm r')); (8.20A)

&math(c_{\bm k} c_{\bm k'}^\dagger+c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}=\{c_{\bm k}, c_{\bm k'}^\dagger\}=\delta_{kk'}); (8.20B)

相手がボゾンならば、

&math(c(\bm r,t) c(\bm r',t)^\dagger-c(\bm r,t)^\dagger c(\bm r',t) = [c(\bm r,t), c(\bm r',t)^\dagger]=\delta^3 (\bm r-\bm r')); (8.20C)

&math(c_{\bm k} c_{\bm k'}^\dagger-c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}=[c_{\bm k}, c_{\bm k'}^\dagger]=\delta_{kk'}); (8.20D)

となるはず。

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