スピントロニクス理論の基礎/8-2 のバックアップ(No.3)

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スピントロニクス理論の基礎

8-2

この節ではハミルトニアンは時間に依存しない H(t)=H

t=t_0 で熱平衡にある系のハミルトニアンが時間に依存しなければ、 系は熱平衡から動かないため、ハミルトニアンが時間に依存しない場合を考えるのは かなり無意味なのだが、演習問題のような扱いと思えばよい。

(8.19)

&math(c_\mathrm H(\bm r,t) \equiv e^{\textcolor{red}{\frac{i}{\hbar}}H(t-t_0)}c(\bm r,t) e^{\textcolor{red}{\frac{-i}{\hbar}}H(t-t_0)});

ここでは (8.7C) を使って U(t,t_0) を書き下している。

(8.20)

n(\bm r,t)\equiv\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle

\hat n=c^\dagger c

n=\llangle \hat n \rrangle

\hat n_\mathrm H=U^\dagger \hat n U=U^\dagger c^\dagger c U=U^\dagger c^\dagger U U^\dagger c U=c^\dagger_\mathrm H c_\mathrm H

1粒子の量子論で言うところの、確率密度が波動関数の絶対値の自乗に比例するのと対応する式ですね。 ただし場の量子論では c^\dagger c は演算子で、波動関数 \ket{\alpha} に作用させることで始めて電子密度を表すことになります。一般的にはこの演算子は c(\bm r,t) ではなく \psi(\bm r,t) と書かれることが多いのかもしれません。

今考えているのは電子の密度なので、 c c^\dagger はフェルミオンの反交換関係を満たします。すなわち、 c(\bm r,t) およびそのフーリエ係数 c_{\bm k} について、

c(\bm r,t) c(\bm r',t)^\dagger+c(\bm r,t)^\dagger c(\bm r',t) = \{c(\bm r,t), c(\bm r',t)^\dagger\}=\delta^3 (\bm r-\bm r') (8.20A)

c_{\bm k} c_{\bm k'}^\dagger+c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}=\{c_{\bm k}, c_{\bm k'}^\dagger\}=\delta_{kk'} (8.20B)

相手がボゾンならば、

c(\bm r,t) c(\bm r',t)^\dagger-c(\bm r,t)^\dagger c(\bm r',t) = [c(\bm r,t), c(\bm r',t)^\dagger]=\delta^3 (\bm r-\bm r') (8.20C)

c_{\bm k} c_{\bm k'}^\dagger-c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}=[c_{\bm k}, c_{\bm k'}^\dagger]=\delta_{kk'} (8.20D)

となるはず。

(8.21)

\frac{\PD}{\PD t}c_\mathrm H(\bm r,t)=\frac{i}{\hbar}[H, c_\mathrm H(\bm r,t)]

これは、 H が時間に依らないとき、 U H が交換することから成り立つ。

すなわち、 H_\mathrm H=U^\dagger H U=U^\dagger U H=H である。

(8.22)

\hbar \dot n = \hbar \llangle \dot c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t) c_\mathrm H(\bm r,t) + c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t) \dot c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle
&math(=i\llangle [H, c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)]c_\mathrm H(\bm r,t)+ c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t) [H, c_\mathrm H(\bm r,t)]\rrangle);
&math(=i\llangle e^{\frac{i}{\hbar}H(t-t_0)} [H, c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t_0)]c_\mathrm H(\bm r,t_0)+ c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t_0) [H, c_\mathrm H(\bm r,t_0)] e^{\frac{-i}{\hbar}H(t-t_0)}\rrangle );

括弧内は t=t_0 における演算子の評価しか含んでいないことに注意。

[H, c_\mathrm H(\bm r,t_0)] [H, c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t_0)] を評価するために、

(8.23)

[AB,C]=A\{B,C\}-\{A,C\}B

が役に立つ。

[Math Conversion Error]


(8.22A)

ここで [Math Conversion Error]


であるから、

(8.24)

&math(&[K,c(\bm r,t_0)]\\ &=\int d^3r'\frac{\hbar^2}{2m}[ \nabla_{r'}c^\dagger(\bm r',t_0)\nabla_{r'}c(\bm r',t_0),c(\bm r,t_0)]\\ &=-\int d^3r'\frac{\hbar^2}{2m} [c^\dagger(\bm r',t_0)\nabla_{r'}^2c(\bm r',t_0),c(\bm r,t_0)]);

ここに現れる交換関係は以下のように評価できる。

&math(&[c^\dagger(\bm r',t_0)\nabla_{r'}^2c(\bm r',t_0),c(\bm r,t_0)]\\ &=c^\dagger(\bm r',t_0)\{\nabla_{r'}^2c(\bm r',t_0),c(\bm r,t_0)\}-\{c^\dagger(\bm r',t_0),c(\bm r,t_0)\}\nabla_{r'}^2c(\bm r',t_0)\\ &=-\delta^3(\bm r-\bm r')\nabla_{r'}^2c(\bm r',t_0));

最後の等号はフェルミオンの正準共役でない演算子の反交換関係がゼロになることを利用した(8.20A)、

\{\nabla_{r'}^2c(\bm r',t_0),c(\bm r,t_0)\}=0

\{c^\dagger(\bm r',t_0),c(\bm r,t_0)\}=\delta^3(\bm r-\bm r')

したがって、

&math(&[K,c(\bm r,t_0)]\\ &=\int d^3r'\frac{\hbar^2}{2m}\delta^3(\bm r-\bm r')\nabla_{r'}^2c(\bm r',t_0)\\ &=\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2c(\bm r,t_0));

同様に、

(8.24A)

&math(&[K,c^\dagger(\bm r,t_0)]\\ &=-\int d^3r'\frac{\hbar^2}{2m} [\nabla_{r'}^2c^\dagger(\bm r',t_0)c(\bm r',t_0),c^\dagger(\bm r,t_0)]\\ &=-\int d^3r'\frac{\hbar^2}{2m} \bigg(\nabla_{r'}^2c^\dagger(\bm r',t_0)\{c(\bm r',t_0),c^\dagger(\bm r,t_0)\}-\{\nabla_{r'}^2c^\dagger(\bm r',t_0),c^\dagger(\bm r,t_0)\}c(\bm r',t_0)\bigg)\\ &=-\int d^3r'\frac{\hbar^2}{2m} \nabla_{r'}^2c^\dagger(\bm r',t_0)\delta^3(\bm r-\bm r')\\ &=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2c^\dagger(\bm r,t_0));

一方、相互作用 V が空間微分を含まず、また電子数を変えない相互作用である場合 (化学ポテンシャル項もこの一つ) \hat n=c^\dagger c V は交換するため、

→ 「一体のハミルトニアンの和だけで書けて相互作用が無い」ことに相当?

(8.26)

&math(&i([V,c^\dagger]c+c^\dagger[V,c])=i(Vc^\dagger c-c^\dagger Vc+c^\dagger Vc-c^\dagger cV)\\ &=-i[c^\dagger c,V]=0);

したがって、

(8.25)

\hbar \dot n=i\llangle e^{\frac{i}{\hbar}H(t-t_0)} \big(c^\dagger[K,c]+[K,c^\dagger]c\big) e^{\frac{-i}{\hbar}H(t-t_0)} \rrangle

[Math Conversion Error]


[Math Conversion Error]


[Math Conversion Error]


[Math Conversion Error]


ここで、 U U^\dagger には空間座標は含まれていないため、 \nabla^2 c_\mathrm H=(\nabla^2 c)_\mathrm H であることを用いた。

(8.27)

\dot n=-\frac{1}{e}\nabla\cdot\bm j

(8.28)

[Math Conversion Error]


=-\frac{ie\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{c_\mathrm H}-\nabla_\mu^{c_\mathrm H^\dagger})\llangle c_\mathrm H^\dagger c_\mathrm H\rrangle

( \mu=x,y,z )

\bm r,\bm r' を導入し、最後に [Math Conversion Error]


の極限を取っているのは、 c_\mathrm H だけにかかるナブラ \nabla_\mu^{c_\mathrm H} や、 c_\mathrm H^\dagger だけにかかるナブラ \nabla_\mu^{c_\mathrm H^\dagger} を記述するための便宜的な手段なのだと理解したが、それで正しいのだろうか?

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