スピントロニクス理論の基礎/8-5 のバックアップ(No.2)

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スピントロニクス理論の基礎

8-5 経路順序 Green 関数 (Gt : time ordered)

(8.58), (8.61)

&math(&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &=-i\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}\hbar}\int_C d\textcolor{red}{\tau}H(\textcolor{red}{\tau})}c(\bm r,\tau)c^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\ &=-i\Big\langle T_CU_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\ );

これを経路順序(path ordered) Green 関数、あるいは非平衡 Green 関数、あるいは Keldysh Green 関数と呼ぶ。

(8.56)

&math( &G^t(\bm r,t,\bm r',t')\\ &=-i\left[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle

  • \theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle \right]\\ &=-i\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &=-i\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t)c(\bm r,t)U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &= G(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\rightarrow) );

ここで、 t_1<t_2<t_3 のとき、

\overline U(t_1,t_2)=\overline U(t_1,t_3) U(t_3,t_2)

U(t_3,t_1) \overline U(t_1,t_2) = U(t_3,t_2)

を用いた。これらは (8.7A), (8.8A), (8.42) により明らかに成り立つ。

(8.57)

&math( &G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t')\\ &=i\left[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle

  • \theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle \right]\\ &=i\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &=i\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t)c(\bm r,t)\overline U(t,t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)\overline U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &= G(\bm r,\tau\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow) );

G^a G^r についてはこのように一筋縄では表せず、 後に出てくる G^< および G^> 経由で表すことになる。

(8.62) は、(8.51) の定義を用いれば、

&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau, \tau')= i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{\tau'}^\tau d\tau_1H(\tau_1)}\\ &=H(\tau)T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{\tau'}^\tau d\tau_1H(\tau_1)}\\ &=H(\tau)U_C(\tau,\tau'));

&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau',\tau)=-U_C(\tau',\tau)H(\tau)

(8.63)

&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}G(\bm r,t,\bm r',t')\\ &=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau')\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)\{c(\bm r,\tau),c^\dagger(\bm r',\textcolor{red}{\tau})\}U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\\ &\ \ \ +i[\theta(\tau-\tau')\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau_0)\big\rangle\\ &\ \ \ \phantom{i[}-\theta(\tau'-\tau)\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\\ &=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')\\ &\ \ \ +i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_C d\tau'H(\tau')}[H(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau') \big\rangle);

この式は (8.33) に合わせて交換関係の中のハミルトニアンを先に出して、符号を反転してある。

(8.64)

(8.30) と同様の手順で

\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)g_0^t(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')

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