スピントロニクス理論の基礎/8-7 のバックアップ(No.2)

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スピントロニクス理論の基礎

8-7 自由電子の場合の具体例

(8.80)

(8.29) の H_0 を代入し (8.23) と同様の変形をする。

&math( &\dot c_\mathrm H(\bm k)=\frac{i}{\hbar}[H_{0\mathrm H},c_\mathrm H(\bm k)]\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger[H_0,c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\left(\frac{\hbar^2 k'^2}{2m}-\varepsilon_F\right)[c^\dagger(\bm k') c(\bm k'),c(\bm k)]U\\ &=\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\Big(c^\dagger(\bm k')\{ c(\bm k'),c(\bm k)\}-\{c^\dagger(\bm k'),c(\bm k)\}c(\bm k')\Big)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}U^\dagger\sum_{\bm k'}\varepsilon_{\bm k'}\delta^3(\bm k-\bm k')c(\bm k')U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}U^\dagger c(\bm k)U\\ &=-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}c_\mathrm H(\bm k)\\ );

(8.81),(8.82)

&math( c_\mathrm H(\bm k,t)&=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c_\mathrm H(\bm k,t_0)\\ &=e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k,t_0)\\ &=U^\dagger(t-t_0)c(\bm k,t_0)U(t-t_0)\\ &=e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k,t_0)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)} );

c_\mathrm H(\bm k,t_0)=c(\bm k,t_0) に注意。

「等価である」について検証:

c_\mathrm H(\bm k) は消滅演算子なので、波数 \bm k を持つ粒子が1ついる状態 \ket{1}_{\bm k} に作用させるとその粒子が消滅する。その際の係数は 1 である。
フェルミオンの交換関係

つまり、

c(\bm k)\ket{1}_{\bm k} = \ket{0}_{\bm k}

そして、この状態は H_0 の固有状態であるから、

&math( &c_\mathrm H(\bm k)\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}c(\bm k)e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{1}_{\bm k} \\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}e^{\frac{i}{\hbar}0(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\ket{0}_{\bm k}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}c(\bm k)\ket{1}_{\bm k}\\ );

確かに矛盾していない。

(8.83)

g_{0\bm k,\bm k'}^<(t,t')=i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') c_\mathrm H(\bm k,t) \rrangle

=ie^{\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k'}(t'-t_0)}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t_0)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle

=ie^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\varepsilon_{\bm k'})t_0}e^{\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k'}t'-\varepsilon_{\bm k}t)}\llangle c^\dagger(\bm k',t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle

=i\delta_{\bm k,\bm k'}e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle

=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})

\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^<(t-t')

ただし、

\llangle c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0) \rrangle

&math(&=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0)|0}

  1. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c^\dagger(\bm k,t_0) c(\bm k,t_0)|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0}
  2. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|c^\dagger(\bm k,t_0)\cdot 0|0}
  3. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c^\dagger(\bm k,t_0)|0}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{ e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1});

同様に、

g_{0\bm k,\bm k'}^>(t,t')=-i\llangle c_\mathrm H(\bm k,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm k',t') \rrangle

=\delta_{\bm k,\bm k'}\cdot -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1-f(\varepsilon_{\bm k})]

\equiv \delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k}^>(t-t')

ただし、

\llangle c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0) \rrangle

&math( &=\frac{\sum_\alpha e^{-\beta\varepsilon_\alpha} \braket{\alpha|c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0)|\alpha}}{Z_0}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0)|0}

  1. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c(\bm k,t_0) c^\dagger(\bm k,t_0)|1}} {e^{-\beta 0} \braket{0|0}
  2. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|1} }\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|c^\dagger(\bm k,t_0)|1}
  3. e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}} \braket{1|c(\bm k,t_0)\cdot 0|1}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}}\\ &=\frac{ e^{-\beta 0} \braket{0|0}} {1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{1}{1+e^{-\beta\varepsilon_{\bm k}}} =\frac{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1} =1-\frac{1}{e^{\beta\varepsilon_{\bm k}}+1});

このように詳細に計算しても求まるが、もともとの反交換関係が c^\dagger c+cc^\dagger=1 なので、 cc^\dagger=1-c^\dagger c としてしまえば計算の必要は無い。
フェルミオンの交換関係

(8.84)

[Math Conversion Error]


(8.83) で \delta_{\bm k,\bm k'} が出るのは、

&math(\braket{\alpha|c^\dagger_\mathrm H(\bm k') c_\mathrm H(\bm k)|\alpha} =\braket{c_\mathrm H(\bm k')\alpha|c_\mathrm H(\bm k)\alpha}=\delta_{\bm k,\bm k'});

すなわち \bm k\ne\bm k' の時、

c_\mathrm H(\bm k')\ket{\alpha} \perp c_\mathrm H(\bm k)\ket{\alpha}

となるためである。

(8.85)

&math(g_{0\bm k\omega\omega'}^< &=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'

 e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')} f(\varepsilon_{\bm k})\\

&=i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'

 e^{\frac{i}{\hbar}[(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) t-(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k}) t']} f(\varepsilon_{\bm k})\\

&=i\hbar 2\pi\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})2\pi\delta(\hbar\omega'-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot 2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})f(\varepsilon_{\bm k})\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^<);

\int_{-\infty}^\infty dte^{i\omega t}=2\pi\delta(\omega) および \delta(ax)=\delta(x)/a を使った。

同様にして、

&math(g_{0\bm k\omega\omega'}^> &=-i\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'

 e^{i\omega t-i\omega' t'} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}(t-t')}[1- f(\varepsilon_{\bm k})]\\

&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot -2\pi i\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})[1-f(\varepsilon_{\bm k})]\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot g_{0\bm k\omega}^>);

(8.88)

&math( g_{0\bm k\omega}^r &=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'

 e^{i\omega t-i\omega' t'} \theta(t-t')\Big(g_{0\bm k}^>(t,t')-g_{0\bm k}^<(t,t')\Big)\\

&=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_{-\infty}^\infty dt

 e^{i\omega (t-t')}\theta(t-t') \Big(g_{0\bm k}^>(t-t')-g_{0\bm k}^<(t-t')\Big)\\

&=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i(\omega-\omega') t'} \int_0^\infty dt''

 e^{i\omega t''} \Big(g_{0\bm k}^>(t'')-g_{0\bm k}^<(t'')\Big)\\

&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\frac{1}{\hbar}\int_0^\infty dt''

 e^{i\omega ''} \Big(-ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}(1-f_{\bm k})
 -ie^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}f_{\bm k}\Big)\\

&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''

 e^{i\omega t''} e^{-\frac{i}{\hbar}\varepsilon_{\bm k}t''}\\

&=2\pi\delta(\omega-\omega')\cdot\textcolor{red}{-}\frac{i}{\hbar}\int_0^\infty dt''

 e^{-\frac{i}{\hbar}(\varepsilon_{\bm k}-\hbar\omega)t''}\\

);

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