スピントロニクス理論の基礎/8-9 のバックアップ差分(No.1)

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* 8-9 不純物による電子散乱 [#q75a7950]

不純物による電子散乱が次のような性質を持つとする。
- 散乱により運動量が変化する
- 弾性的つまりエネルギーを変化させない
- 空間上の同じ点のみで作用するδ関数型である

これを表すポテンシャルは、

(8.106)

&math(V_i=\int d^3rv_i(\bm r,t)\hat n(\bm r,t));

(8.106A)

&math(v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ia^3\delta(\bm r-\bm R_k));

として、位置 &math(\bm R_k); に体積 &math(a^3); 高さ &math(v_i); 
のポテンシャルピークを作る不純物が存在して、
その場所の電子密度に比例するエネルギーを与えるものとする。

&math(N_i); は不純物の数であり、個々の不純物は 
&math(k=1,2,\dots,N_i); のラベルで区別する。
(ラベルを &math(i) にすると紛らわしい)

ポテンシャルの値からエネルギーの平均値をあらかじめ引いておくことで
そのフーリエ成分の &math(\bm k=\bm 0); の成分をゼロにしておくと、
後に便利である。

(8.107)

&math(v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ia^3\left(\delta(\bm r-\bm R_k)-\frac{1}{V}\right));

&math(\int_V d^3r\delta(\bm r-\bm R_k)=\int_V d^3r / V = 1); に注意せよ。

(8.24) あたりで行ったのと同様にして交換子を計算できる。

(8.108)

&math([V_i(t),c(\bm r,t)]=-v_i(\bm r)c(\bm r,t));

この &math(H_i=H_0+V_i); に対する Green 関数 &math(g); は (8.105) より、

(8.109)

&math(
&g(\bm r,t,\bm r',t')=g_0(\bm r,t,\bm r',t')\\
&+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,t,\bm r',t')\times
\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[V_i(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
&=g_0(\bm r,t,\bm r',t')
+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1v_i(\bm r)g_0(\bm r,t,\bm r',t')g(\bm r,t,\bm r',t')\\
);


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